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  • 2021-06-24 发布

2008年海南省高考数学试卷(理)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2008年海南省高考数学试卷(理)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)‎)在区间‎[0, 2π]‎的图象如图:那么ω=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎2. 已知复数z=1-i,则z‎2‎‎-2zz-1‎‎=(‎        ‎‎)‎ A.‎2i B.‎-2i C.‎2‎ D.‎‎-2‎ ‎3. 如果等腰三角形的周长是底边长的‎5‎倍,那么它的顶角的余弦值为( )‎ A.‎5‎‎18‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎7‎‎8‎ ‎4. 设等比数列‎{an}‎的公比q=2‎,前n项和为Sn,则S‎4‎a‎2‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎2‎ B.‎4‎ C.‎15‎‎2‎ D.‎‎17‎‎2‎ ‎5. 下面程序框图,如果输入三个实数a、b、c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )‎ A.c>x B.x>c C.c>b D.‎b>c ‎6. 已知a‎1‎‎>a‎2‎>a‎3‎>0‎,则使得‎(1-aix‎)‎‎2‎<1(i=1, 2, 3)‎都成立的x的取值范围是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(0,‎1‎a‎1‎)‎ B.‎(0,‎2‎a‎1‎)‎ C.‎(0,‎1‎a‎3‎)‎ D.‎‎(0,‎2‎a‎3‎)‎ ‎7. ‎3-sin‎70‎‎∘‎‎2-‎cos‎2‎‎10‎‎∘‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎8. 平面向量a‎→‎,b‎→‎共线的充要条件是( )‎ A.a‎→‎,b‎→‎方向相同 B.a‎→‎,b‎→‎两向量中至少有一个为零向量 C.‎∃λ∈R,‎b‎→‎‎=λa‎→‎ D.存在不全为零的实数λ‎1‎,λ‎2‎,‎λ‎1‎a‎→‎‎+λ‎2‎b‎→‎=‎‎0‎‎→‎ ‎9. 甲、乙、丙‎3‎位志愿者安排在周一至周五的‎5‎天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有 ‎ 8 / 8‎ ‎( )‎ A.‎20‎种 B.‎30‎种 C.‎40‎种 D.‎60‎种 ‎10. 由直线x=‎‎1‎‎2‎,x=2‎,曲线y=‎‎1‎x及x轴所围图形的面积为( )‎ A.‎15‎‎4‎ B.‎17‎‎4‎ C.‎1‎‎2‎ln2‎ D.‎‎2ln2‎ ‎11. 已知点P在抛物线y‎2‎‎=4x上,那么点P到点Q(2, -1)‎的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎(‎1‎‎4‎,-1)‎ B.‎(‎1‎‎4‎,1)‎ C.‎(1, 2)‎ D.‎‎(1, -2)‎ ‎12. 某几何体中的一条线段长为‎7‎,在该几何体的正视图中,这条线段的投影是长为‎6‎的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为( )‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎2‎‎5‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13. 已知向量知a‎→‎‎=(0, -1, 1)‎,b‎→‎‎=(4, 1, 0)‎,‎|λa‎→‎+b‎→‎|=‎‎29‎,且λ>0‎,则λ=‎________.‎ ‎14. 设双曲线x‎2‎‎9‎‎-y‎2‎‎16‎=1‎的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则‎△AFB的面积为________.‎ ‎15. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为‎3‎,底面周长为‎3‎,那么这个球的体积为________.‎ ‎16. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了‎25‎根棉花的纤维长度(单位:mm),结果如下:‎ 甲品种:‎271 273 280 285 285‎  ‎‎287 292 294 295 301 303 303 307‎ ‎308 310 314 319 323 325 325‎‎  ‎‎328 331 334 337 352‎ 乙品种:‎‎284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318‎ ‎320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356‎ 由以上数据设计了如下茎叶图:‎ 根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论:‎ ‎①________;‎ ‎②________.‎ 三、解答题(共8小题,22--24题选做其中一题,满分70分)‎ ‎17. 已知‎{an}‎是一个等差数列,且a‎2‎‎=1‎,a‎5‎‎=-5‎.‎ ‎1‎求‎{an}‎的通项an;‎ ‎2‎求‎{an}‎前n项和Sn的最大值.‎ ‎ 8 / 8‎ ‎18. 如图,已知点P在正方体ABCD-‎A‎'‎B‎'‎C‎'‎D‎'‎的对角线BD‎'‎上,‎∠PDA=‎‎60‎‎∘‎.‎ ‎(1)求异面直线DP与CC‎'‎所成角的大小;‎ ‎(2)求DP与平面AA‎'‎D‎'‎D所成角的大小.‎ ‎19. A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X‎1‎和X‎2‎.根据市场分析,X‎1‎和X‎2‎的分布列分别为 X‎1‎‎ ‎ ‎5%‎‎ ‎ ‎10%‎‎ ‎ ‎ ‎ X‎2‎ ‎2%‎‎ ‎ ‎8%‎‎ ‎ ‎12%‎‎ ‎ P‎ ‎ ‎0.8‎‎ ‎ ‎ ‎‎0.2‎ ‎ ‎ P ‎ ‎‎0.2‎ ‎ ‎‎0.5‎ ‎ ‎‎0.3‎ ‎(1)在A,B两个项目上各投资‎100‎万元,Y‎1‎和Y‎2‎分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差DY‎1‎,DY‎2‎;‎ ‎(2)将x(0≤x≤100)‎万元投资A项目,‎100-x万元投资B项目,f(x)‎表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)‎的最小值,并指出x为何值时,f(x)‎取到最小值.(注:D(aX+b)=a‎2‎DX)‎ ‎20. 在直角坐标系xOy中,椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎,F‎2‎.F‎2‎也是抛物线C‎2‎‎:y‎2‎=4x的焦点,点M为C‎1‎与C‎2‎在第一象限的交点,且‎|MF‎2‎|=‎‎5‎‎3‎.‎ ‎(1)求C‎1‎的方程;‎ ‎(2)平面上的点N满足MN‎→‎‎=MF‎1‎‎→‎+‎MF‎2‎‎→‎,直线l // MN,且与C‎1‎交于A,B两点,若OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=0‎,求直线l的方程.‎ ‎ 8 / 8‎ ‎21. 设函数f(x)=ax+‎1‎x+b(a, b∈Z)‎,曲线y=f(x)‎在点(‎2, f(2)‎)处的切线方程是y=3‎.‎ ‎(1)求y=f(x)‎的解析式;‎ ‎(2)证明:函数y=f(x)‎的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;‎ ‎(3)证明:曲线y=f(x)‎上任意一点的切线与直线x=1‎和直线y=x所围成的三角形的面积是定值,并求出这个定值.‎ ‎22. 如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A作直线AP垂直直线OM,垂足为P.‎ ‎(1)证明:OM⋅OP=OA‎2‎;‎ ‎(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明:‎∠OKM=‎90‎‎∘‎.‎ ‎ 8 / 8‎ ‎23. 自选题:已知曲线C‎1‎‎:‎x=cosθy=sinθ(θ为参数),曲线C‎2‎‎:‎x=‎2‎‎2‎t-‎‎2‎y=‎2‎‎2‎t(t为参数).‎ ‎(1)指出C‎1‎,C‎2‎各是什么曲线,并说明C‎1‎与C‎2‎公共点的个数;‎ ‎(2)若把C‎1‎,C‎2‎上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C‎1‎‎'‎,C‎2‎‎'‎.写出C‎1‎‎'‎,C‎2‎‎'‎的参数方程.C‎1‎‎'‎与C‎2‎‎'‎公共点的个数和C与C‎2‎公共点的个数是否相同?说明你的理由.‎ ‎24. 自选题:已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|‎.‎ ‎(1)作出函数y=f(x)‎的图象;‎ ‎(2)解不等式‎|x-8|-|x-4|>2‎.‎ ‎ 8 / 8‎ 参考答案与试题解析 ‎2008年海南省高考数学试卷(理)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.B ‎2.B ‎3.D ‎4.C ‎5.A ‎6.B ‎7.C ‎8.D ‎9.A ‎10.D ‎11.A ‎12.C 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎‎32‎‎15‎ ‎15.‎‎4π‎3‎ ‎16.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度,乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度 三、解答题(共8小题,22--24题选做其中一题,满分70分)‎ ‎17.解:‎1‎设‎{an}‎的公差为d,由已知条件,‎a‎1‎‎+d=1,‎a‎1‎‎+4d=-5,‎ 解出a‎1‎‎=3‎,d=-2‎,所以an‎=a‎1‎+(n-1)d=-2n+5‎.‎ ‎2‎Sn‎=na‎1‎+n(n-1)‎‎2‎d=-n‎2‎+4n=4-(n-2‎‎)‎‎2‎‎.‎ 所以n=2‎时,Sn取到最大值‎4‎.‎ ‎18.解:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz.‎ 则DA‎→‎‎=(1,0,0)‎,CC‎'‎‎→‎‎=(0,0,1)‎.‎ 连结BD,B‎'‎D‎'‎.‎ 在平面BB‎'‎D‎'‎D中,延长DP交B‎'‎D‎'‎于H.‎ 设DH‎→‎‎=(m,m,1)(m>0)‎,‎ 由‎⟨DH‎→‎,DA‎→‎⟩=‎‎60‎‎∘‎,及DH‎→‎‎⋅DA‎→‎=|DH‎→‎||DA‎→‎|cos⟨DH‎→‎,DA‎→‎⟩‎,‎ 可得‎2m=‎‎2m‎2‎+1‎,‎ 解得m=‎‎2‎‎2‎,‎ 所以DH‎→‎‎=‎‎2‎‎2‎‎,‎2‎‎2‎,1‎.‎ ‎(1)因为cos⟨DH‎→‎,CC‎'‎‎→‎⟩=‎1‎‎1×‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,‎ 所以‎⟨DH‎→‎,CC‎'‎‎→‎⟩=‎‎45‎‎∘‎,‎ 即异面直线DP与CC‎'‎所成的角为‎45‎‎∘‎.‎ ‎(2)平面AA‎'‎D‎'‎D的一个法向量是DC‎→‎‎=(0,1,0)‎.‎ 因为cos⟨DH‎→‎,DC‎→‎⟩=‎2‎‎2‎‎×0+‎2‎‎2‎×1+1×0‎‎1×‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 所以‎⟨DH‎→‎,DC‎→‎⟩=‎‎60‎‎∘‎.‎ 即DP与平面AA‎'‎D‎'‎D所成的角为‎30‎‎∘‎.‎ ‎19.解:(1)∵ Y‎1‎和Y‎2‎分别表示投资项目A和B所获得的利润,‎ ‎ 8 / 8‎ 根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X‎1‎和X‎2‎的分布列 可以得到Y‎1‎和Y‎2‎的分布列分别为 Y‎1‎‎ ‎ ‎5‎ ‎10‎ Y‎2‎ ‎2‎ ‎8‎‎ ‎ ‎12‎ P‎ ‎ ‎0.8‎‎ ‎ ‎0.2‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ EY‎1‎=5×0.8+10×0.2=6‎‎,‎ DY‎1‎=(5-6‎)‎‎2‎×0.8+(10-6‎)‎‎2‎×0.2=4‎‎,‎ EY‎2‎=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8‎‎,‎ DY‎2‎=(2-8‎)‎‎2‎×0.2+(8-8‎)‎‎2‎×0.5+(12-8‎)‎‎2‎×0.3=12‎‎.‎ ‎(2)‎f(x)=D(x‎100‎Y‎1‎)+D(‎100-x‎100‎Y‎2‎)‎ ‎=(x‎100‎‎)‎‎2‎DY‎1‎+(‎100-x‎100‎‎)‎‎2‎DY‎2‎ ‎=‎4‎‎100‎‎2‎[x‎2‎+3(100-x‎)‎‎2‎]‎ ‎=‎4‎‎100‎‎2‎(4x‎2‎-600x+3×‎100‎‎2‎)‎‎,‎ 当x=‎600‎‎2×4‎=75‎时,‎ f(x)=3‎为最小值.‎ ‎20.解:(1)由C‎2‎‎:y‎2‎=4x知F‎2‎‎(1, 0)‎.‎ 设M(x‎1‎, y‎1‎)‎,M在C‎2‎上,因为‎|MF‎2‎|=‎‎5‎‎3‎,‎ 所以x‎1‎‎+1=‎‎5‎‎3‎,得x‎1‎‎=‎‎2‎‎3‎,y‎1‎‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎.M在C‎1‎上,且椭圆C‎1‎的半焦距c=1‎,‎ 于是‎4‎‎9‎a‎2‎‎+‎8‎‎3‎b‎2‎=1‎b‎2‎‎=a‎2‎-1.‎ 消去b‎2‎并整理得‎9a‎4‎-37a‎2‎+4=0‎,解得a=2‎(a=‎‎1‎‎3‎不合题意,舍去).‎ 故椭圆C‎1‎的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎.‎ ‎(2)由MF‎1‎‎→‎‎+MF‎2‎‎→‎=‎MN‎→‎知四边形MF‎1‎NF‎2‎是平行四边形,其中心为坐标原点O,‎ 因为l // MN,所以l与OM的斜率相同,‎ 故l的斜率k=‎2‎‎6‎‎3‎‎2‎‎3‎=‎‎6‎.设l的方程为y=‎6‎(x-m)‎.‎ 由‎3x‎2‎+4y‎2‎=12‎y=‎6‎(x-m)‎ 消去y并化简得‎9x‎2‎-16mx+8m‎2‎-4=0‎.‎ 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎16m‎9‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎8m‎2‎-4‎‎9‎.‎ 因为OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,所以x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎.‎ x‎1‎x‎2‎‎+‎y‎1‎y‎2‎ ‎=x‎1‎x‎2‎+6(x‎1‎-m)(x‎2‎-m)‎ ‎=7x‎1‎x‎2‎-6m(x‎1‎+x‎2‎)+6‎m‎2‎ ‎=7⋅‎8m‎2‎-4‎‎9‎-6m⋅‎16m‎9‎+6m‎2‎=‎1‎‎9‎(14m‎2‎-28)=0‎‎.‎ 所以m=±‎‎2‎.此时‎△=(16m‎)‎‎2‎-4×9(8m‎2‎-4)>0‎,‎ 故所求直线l的方程为y=‎6‎x-2‎‎3‎,或y=‎6‎x+2‎‎3‎.‎ ‎21.解:(1)f'(x)=a-‎‎1‎‎(x+b‎)‎‎2‎,‎ 于是‎2a+‎1‎‎2+b=3‎a-‎1‎‎(2+b‎)‎‎2‎=0‎ 解得a=1‎b=-1‎或a=‎‎9‎‎4‎b=-‎8‎‎3‎.‎ 因a,b∈Z,故f(x)=x+‎‎1‎x-1‎.‎ ‎(2)证明:已知函数y‎1‎‎=x,y‎2‎‎=‎‎1‎x都是奇函数.‎ 所以函数g(x)=x+‎‎1‎x也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.‎ ‎ 8 / 8‎ 而f(x)=x-1+‎1‎x-1‎+1‎.可知,函数g(x)‎的图象按向量a=(1, 1)‎平移,即得到函数f(x)‎的图象,‎ 故函数f(x)‎的图象是以点‎(1, 1)‎为中心的中心对称图形.‎ ‎(3)证明:在曲线上任取一点‎(x‎0‎,x‎0‎+‎1‎x‎0‎‎-1‎)‎.‎ 由f'(x‎0‎)=1-‎‎1‎‎(x‎0‎-1‎‎)‎‎2‎知,过此点的切线方程为y-x‎0‎‎2‎‎-x‎0‎+1‎x‎0‎‎-1‎=[1-‎1‎‎(x‎0‎-1‎‎)‎‎2‎](x-x‎0‎)‎.‎ 令x=1‎得y=‎x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎,切线与直线x=1‎交点为‎(1,x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎)‎.‎ 令y=x得y=2x‎0‎-1‎,切线与直线y=x交点为‎(2x‎0‎-1, 2x‎0‎-1)‎.‎ 直线x=1‎与直线y=x的交点为‎(1, 1)‎.‎ 从而所围三角形的面积为‎1‎‎2‎‎|x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎-1||2x‎0‎-1-1|=‎1‎‎2‎|‎2‎x‎0‎‎-1‎||2x‎0‎-2|=2‎.‎ 所以,所围三角形的面积为定值‎2‎.‎ ‎22.因为MA是圆O的切线,‎ 所以OA⊥AM,又因为AP⊥OM,‎ 在Rt△OAM中,由射影定理知OA‎2‎=OM⋅OP,‎ 故OM⋅OP=OA‎2‎得证.‎ 因为BK是圆O的切线,BN⊥OK,同(1)有:‎ OB‎2‎‎=ON⋅OK,又OB=OA,‎ 所以OM⋅OP=ON⋅OK,即ONOP‎=‎OMOK,又‎∠NOP=‎∠MOK,‎ 所以‎△ONP∼△OMK,‎ 故‎∠OKM=‎∠OPN=‎90‎‎∘‎.‎ 即有:‎∠OKM=‎90‎‎∘‎.‎ ‎23.解:(1)C‎1‎是圆,C‎2‎是直线.C‎1‎的普通方程为x‎2‎‎+y‎2‎=1‎,‎ 圆心C‎1‎‎(0, 0)‎,半径r=1‎.C‎2‎的普通方程为x-y+‎2‎=0‎.‎ 因为圆心C‎1‎到直线x-y+‎2‎=0‎的距离为‎1‎,‎ 所以C‎2‎与C‎1‎只有一个公共点.‎ ‎(2)压缩后的参数方程分别为C‎1‎‎':‎x=cosθy=‎1‎‎2‎sinθ(θ为参数);‎ C‎2‎‎':‎x=‎2‎‎2‎t-‎‎2‎y=‎2‎‎4‎t‎(t为参数).‎ 化为普通方程为:C‎1‎‎':x‎2‎+4y‎2‎=1‎,C‎2‎‎':y=‎1‎‎2‎x+‎‎2‎‎2‎,‎ 联立消元得‎2x‎2‎+2‎2‎x+1=0‎,‎ 其判别式‎△=(2‎2‎‎)‎‎2‎-4×2×1=0‎,‎ 所以压缩后的直线C‎2‎‎'‎与椭圆C‎1‎‎'‎仍然只有一个公共点,和C‎1‎与C‎2‎公共点个数相同.‎ ‎24.解:(1)‎f(x)=‎‎4‎x≤4‎‎-2x+12‎‎48‎ 图象如下:‎ ‎(2)不等式‎|x-8|-|x-4|>2‎,即f(x)>2‎,观察知当‎4