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- 2021-06-24 发布
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2008年海南省高考数学试卷（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)）在区间[0, 2π]的图象如图：那么ω=( )
A.1 B.2 C.12 D.13
2. 已知复数z=1-i，则z2-2zz-1=( )
A.2i B.-2i C.2 D.-2
3. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.518 B.34 C.32 D.78
4. 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则S4a2=( )
A.2 B.4 C.152 D.172
5. 下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A.c>x B.x>c C.c>b D.b>c
6. 已知a1>a2>a3>0，则使得(1-aix)2<1(i=1, 2, 3)都成立的x的取值范围是( )
A.(0,1a1) B.(0,2a1) C.(0,1a3) D.(0,2a3)
7. 3-sin70∘2-cos210∘=( )
A.12 B.22 C.2 D.32
8. 平面向量a→，b→共线的充要条件是（ ）
A.a→，b→方向相同
B.a→，b→两向量中至少有一个为零向量
C.∃λ∈R，b→=λa→
D.存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→
9. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有
8 / 8
（ ）
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
10. 由直线x=12，x=2，曲线y=1x及x轴所围图形的面积为（ ）
A.154 B.174 C.12ln2 D.2ln2
11. 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2, -1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A.(14，-1) B.(14，1) C.(1, 2) D.(1, -2)
12. 某几何体中的一条线段长为7，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A.22 B.23 C.4 D.25
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 已知向量知a→=(0, -1, 1)，b→=(4, 1, 0)，|λa→+b→|=29，且λ>0，则λ=________．
14. 设双曲线x29-y216=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
15. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为________．
16. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图：
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①________；
②________．
三、解答题（共8小题，22--24题选做其中一题，满分70分）
17. 已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5．
1求{an}的通项an；
2求{an}前n项和Sn的最大值．
8 / 8
18. 如图，已知点P在正方体ABCD-A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDA=60∘．
（1）求异面直线DP与CC'所成角的大小；
（2）求DP与平面AA'D'D所成角的大小．
19. A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
X2
2%
8%
12%
P
0.8
0.2
P
0.2
0.5
0.3
（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；
（2）将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．（注：D(aX+b)=a2DX）
20. 在直角坐标系xOy中，椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=53．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的点N满足MN→=MF1→+MF2→，直线l // MN，且与C1交于A，B两点，若OA→⋅OB→=0，求直线l的方程．
8 / 8
21. 设函数f(x)=ax+1x+b(a, b∈Z)，曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程是y=3．
（1）求y=f(x)的解析式；
（2）证明：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线y=f(x)上任意一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积是定值，并求出这个定值．
22. 如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．
（1）证明：OM⋅OP＝OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM＝90∘．
8 / 8
23. 自选题：已知曲线C1:x=cosθy=sinθ（θ为参数），曲线C2:x=22t-2y=22t（t为参数）．
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'．写出C1'，C2'的参数方程．C1'与C2'公共点的个数和C与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
24. 自选题：已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|．
（1）作出函数y=f(x)的图象；
（2）解不等式|x-8|-|x-4|>2．
8 / 8
参考答案与试题解析
2008年海南省高考数学试卷（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.B
2.B
3.D
4.C
5.A
6.B
7.C
8.D
9.A
10.D
11.A
12.C
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13.3
14.3215
15.4π3
16.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度,乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度
三、解答题（共8小题，22--24题选做其中一题，满分70分）
17.解：1设{an}的公差为d，由已知条件，a1+d=1，a1+4d=-5，
解出a1=3，d=-2，所以an=a1+(n-1)d=-2n+5．
2Sn=na1+n(n-1)2d=-n2+4n=4-(n-2)2．
所以n=2时，Sn取到最大值4．
18.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．
则DA→=(1,0,0)，CC'→=(0,0,1)．
连结BD，B'D'．
在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．
设DH→=(m,m,1)(m>0)，
由⟨DH→,DA→⟩=60∘，及DH→⋅DA→=|DH→||DA→|cos⟨DH→,DA→⟩，
可得2m=2m2+1，
解得m=22，
所以DH→=22,22,1．
（1）因为cos⟨DH→,CC'→⟩=11×2=22，
所以⟨DH→,CC'→⟩=45∘，
即异面直线DP与CC'所成的角为45∘．
（2）平面AA'D'D的一个法向量是DC→=(0,1,0)．
因为cos⟨DH→,DC→⟩=22×0+22×1+1×01×2=12，
所以⟨DH→,DC→⟩=60∘．
即DP与平面AA'D'D所成的角为30∘．
19.解：（1）∵ Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
8 / 8
根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2的分布列
可以得到Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
Y2
2
8
12
P
0.8
0.2
P
0.2
0.5
0.3
EY1=5×0.8+10×0.2=6，
DY1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4，
EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8，
DY2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12．
（2）f(x)=D(x100Y1)+D(100-x100Y2)
=(x100)2DY1+(100-x100)2DY2
=41002[x2+3(100-x)2]
=41002(4x2-600x+3×1002)，
当x=6002×4=75时，
f(x)=3为最小值．
20.解：（1）由C2:y2=4x知F2(1, 0)．
设M(x1, y1)，M在C2上，因为|MF2|=53，
所以x1+1=53，得x1=23，y1=263．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，
于是49a2+83b2=1b2=a2-1.
消去b2并整理得9a4-37a2+4=0，解得a=2（a=13不合题意，舍去）．
故椭圆C1的方程为x24+y23=1．
（2）由MF1→+MF2→=MN→知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，
因为l // MN，所以l与OM的斜率相同，
故l的斜率k=26323=6．设l的方程为y=6(x-m)．
由3x2+4y2=12y=6(x-m)
消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，x1+x2=16m9，x1x2=8m2-49．
因为OA→⊥OB→，所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+y1y2
=x1x2+6(x1-m)(x2-m)
=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2
=7⋅8m2-49-6m⋅16m9+6m2=19(14m2-28)=0．
所以m=±2．此时△=(16m)2-4×9(8m2-4)>0，
故所求直线l的方程为y=6x-23，或y=6x+23．
21.解：（1）f'(x)=a-1(x+b)2，
于是2a+12+b=3a-1(2+b)2=0
解得a=1b=-1或a=94b=-83.
因a，b∈Z，故f(x)=x+1x-1．
（2）证明：已知函数y1=x，y2=1x都是奇函数．
所以函数g(x)=x+1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
8 / 8
而f(x)=x-1+1x-1+1．可知，函数g(x)的图象按向量a=(1, 1)平移，即得到函数f(x)的图象，
故函数f(x)的图象是以点(1, 1)为中心的中心对称图形．
（3）证明：在曲线上任取一点(x0，x0+1x0-1)．
由f'(x0)=1-1(x0-1)2知，过此点的切线方程为y-x02-x0+1x0-1=[1-1(x0-1)2](x-x0)．
令x=1得y=x0+1x0-1，切线与直线x=1交点为(1,x0+1x0-1)．
令y=x得y=2x0-1，切线与直线y=x交点为(2x0-1, 2x0-1)．
直线x=1与直线y=x的交点为(1, 1)．
从而所围三角形的面积为12|x0+1x0-1-1||2x0-1-1|=12|2x0-1||2x0-2|=2．
所以，所围三角形的面积为定值2．
22.因为MA是圆O的切线，
所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知OA2＝OM⋅OP，
故OM⋅OP＝OA2得证．
因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有：
OB2＝ON⋅OK，又OB＝OA，
所以OM⋅OP＝ON⋅OK，即ONOP=OMOK，又∠NOP＝∠MOK，
所以△ONP∼△OMK，
故∠OKM＝∠OPN＝90∘．
即有：∠OKM＝90∘．
23.解：（1）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2+y2=1，
圆心C1(0, 0)，半径r=1．C2的普通方程为x-y+2=0．
因为圆心C1到直线x-y+2=0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
（2）压缩后的参数方程分别为C1':x=cosθy=12sinθ（θ为参数）；
C2':x=22t-2y=24t（t为参数）．
化为普通方程为：C1':x2+4y2=1，C2':y=12x+22，
联立消元得2x2+22x+1=0，
其判别式△=(22)2-4×2×1=0，
所以压缩后的直线C2'与椭圆C1'仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．
24.解：（1）f(x)=4x≤4-2x+1248
图象如下：
（2）不等式|x-8|-|x-4|>2，即f(x)>2，观察知当4
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