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- 2021-06-24 发布
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考点规范练48 直线与圆锥曲线
考点规范练B册第35页
基础巩固组
1.双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),焦距为4,一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率e=( )
A.2 B.3 C.32 D.2
答案A
解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.
又2c=4,c=2,∴e=ca=2.
2.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为( )
A.至多一个 B.2 C.1 D.0
答案B
解析∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,
∴4m2+n2>2.∴m2+n2<4.
∴m29+n240,m>-12.
又AB的中点-12,m+1在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是34,+∞.
4.已知动点P(x,y)在椭圆C:x225+y216=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|MF|=1,且MP·MF=0,则|PM|的最小值为( )
A.3 B.3 C.125 D.1〚导学号74920528〛
答案A
解析由题意得F(3,0),|PM|2=|PF|2-|MF|2≥(a-c)2-1=(5-3)2-1=3.所以|PM|min=3.
5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2 B.455 C.4105 D.8105〚导学号74920529〛
答案C
解析设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,
由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.
则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.
所以|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=2·-85t2-4×4(t2-1)5
=425·5-t2,
当t=0时,|AB|max=4105.
6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为( )
A.32 B.52 C.2 D.3〚导学号74920530〛
答案A
解析由双曲线的定义知2a=4,得a=2,
所以抛物线的方程为y=2x2.
因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,
所以y1=2x12,y2=2x22,
两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),
不妨设x1b>0)的离心率为22,且右焦点F到直线l:x=-a2c的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
解(1)由题意,得ca=22且c+a2c=3,
解得a=2,c=1,则b=1,
所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,AB=2,又CP=3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
则x1,2=2k2±2(1+k2)1+2k2,C的坐标为2k21+2k2,-k1+2k2,
且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=(1+k2)(x2-x1)2=22(1+k2)1+2k2.
若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与直线l:x=-a2c平行,不合题意.
从而k≠0,故直线PC的方程为y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,则P点的坐标为-2,5k2+2k(1+2k2),
从而PC=2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2).
因为PC=2AB,
所以2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)=42(1+k2)1+2k2,解得k=±1.
此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.〚导学号74920532〛
10.(2016全国乙卷,文20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求|OH||ON|;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
解(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t.
又N为M关于点P的对称点,
故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.
所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.
理由如下:
直线MH的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.〚导学号74920533〛
能力提升组
11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)〚导学号74920534〛
答案D
解析如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则y12=4x1,y22=4x2,
两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.
当l的斜率k存在,即x1≠x2时,
有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.
由CM⊥AB,得kCM=y0x0-5=-y02,即x0=3.
因为点M在抛物线内部,所以y02<4x0=12,
又x1≠x2,所以y1+y2≠0,即0|F1F2|2,
即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>72,
所以720,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .〚导学号74920536〛
答案2+3
解析不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=ba(x-c),与C交于P(x0,y0).
∵x0=2a,∴y0=ba(2a-c).
又P(x0,y0)在双曲线C上,∴(2a)2a2-b2a2(2a-c)2b2=1.
∴整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,
故1-4e+e2=0.
∴e1=2-3(舍去),e2=2+3.
即双曲线C的离心率为2+3.
14.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1.
解得4-73b>0),
则由题意得a2-b2=1,1a2+322b2=1,解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知F(-1,0),M(1,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
设过点F的直线方程为x=my-1,联立椭圆方程消去x得(3m2+4)y2-6my-9=0,
∴y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.
∴|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4.
∴△MAB的面积S=12|MF||y1-y2|
=|y1-y2|=12m2+13m2+4
=12m2+1[3(m2+1)+1]2
=12m2+19(m2+1)2+6(m2+1)+1
=1219(m2+1)+1m2+1+6.
∵m2+1≥1,而函数y=9t+1t在区间[1,+∞)上单调递增,
∴9(m2+1)+1m2+1+6≥16,m=0时取“=”,
∴S≤124=3.
∴当m=0时,△MAB的面积取得最大值,且最大值为3.〚导学号74920538〛
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