河北省唐山一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案 11页

唐山一中2019-2020学年高一年级第二学期自命题期末考试数学试卷 说明：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ ‎2.考试时间120分钟，满分150分.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目对应的答题区域作答.超出答题区域书写的答案完效.‎ 卷Ⅰ（选择题共60分）‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知菱形的边长为a.，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（ ）‎ A.14 B.15 C.16 D.17‎ ‎3.某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试.为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析.完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ）‎ A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法 C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法 ‎4.某个微信群某次进行的抢红包活动中群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知等差数列中，，，则此数列前30项和等于（ ）‎ A.810 B.900 C.870 D.840‎ ‎7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（ ）‎ A. B. C.1 D.‎ ‎8.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）‎ A.若，，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，，或 ‎9.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西，北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）‎ A.海里 B.海里 C.海里 D.40海里 ‎10.在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图，在正方体中，平面垂直于对角线，且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为l，则（ ）‎ A.S为定值，l不为定值 B.S不为定值，l为定值 C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值 ‎12.已知，，，若P点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）‎ A.13 B.15 C.19 D.21‎ 卷Ⅱ（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，则的取值范围是______.‎ ‎14.一个多面体的直观图和三视图所示，M是的中点，一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，由它飞入几何体内的概率为______.‎ ‎15.正四棱锥中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角的大小为：______.‎ ‎16.在的内角A，B.C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是______‎ ‎①若，则 ‎②若，则 ‎③若，则为锐角三角形 ‎④若，则 三、解答题：本题共6小题，17题10分，12分.‎ ‎17.如图，在中，a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，外接圆的半径为2，.‎ ‎（1）求b；‎ ‎（2）求周长的最大值.‎ ‎18.为数列的前n项和.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和.‎ ‎19.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组，，，，得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：‎ ‎（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；‎ ‎（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.‎ ‎20.已知数列满足（），，，，且，，成等差数列 ‎（1）求q的值和的通项公式 ‎（2）设，，求数列的前n项和 ‎21.如图所示，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，平面且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎22.（本小题12分）如图1，梯形中，，过A，B分别作，，垂足分别为E、F，，，已知，将梯形沿，同侧折起，得空间几何体，如图2.‎ ‎（1）若，证明：平面；‎ ‎（2）若，，线段上存在一点P，满足与平面所成角的正弦值为，求的长.‎ 高一年级第二学期自命题期末考试数学答案 一、选择 ‎1-5.DABBD 6-10.DDAAD 11-12.BA 二、填空 ‎13. 14. 15. 16.①②③‎ 三、解答题 ‎17.【答案】‎ 解：（1）由正弦定理及，得，‎ 由，得，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ 又外接圆的半径，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 由 可得，‎ ‎，当且仅当时，等号成立.‎ 又，周长的最大值为.‎ ‎18.【答案】‎ 解：（Ⅰ）由，可知 两式相减得，‎ 即，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎（舍）或，‎ 则是首项为3，公差的等差数列，‎ 的通项公式；‎ ‎（Ⅱ），‎ 数列的前n项和.‎ ‎19.【答案】‎ ‎（1）男生自主学习不超过40分钟的人数：人，‎ 女生自主学习不超过40分钟的人数：人，‎ 所以估计全区高三学生网上学习时间不超过40分钟的人数为225人.‎ ‎（2）在80名学生中，男生网上学习不超过40分钟的人数：人，‎ 女生网上学习不超过40分钟的人数：人，‎ 所以选4名男生，2名女生.4名男生设为，，，，2名女生设为，，任选2人有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种.没有男生的有，共1种.‎ 所以至少有一名男生的概率.‎ ‎20.【答案】‎ 解析：（1）依题意可知：，，‎ ‎，，成等差数列 即 或（舍）‎ 当（）时，，，即 当（）时，，，即 综上所述：‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 记数列的前n项和为，‎ 则，‎ ‎，‎ 两式相减，得 ‎（）.‎ ‎21.【答案】‎ ‎（1）过点E作，连接，，‎ 因为平面平面，平面，平面平面，‎ 所以平面，‎ 因为，，‎ 所以，，故平行四边形，所以，‎ 由平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）连接，根据题意，，以H为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得 由，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎22.【答案】‎ ‎（1）由已知得四边形是正方形，且边长为2，在图2中，，‎ 由已知得，，平面，‎ 又平面，，‎ 又，，‎ 平面.‎ ‎（2）在图2中，，，，即面，‎ 在梯形中，过点D作交于点M，连接，‎ 由题意得，，由勾股定理可得，则，，‎ 过E作交于点G，可知，，两两垂直，‎ 以E为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由得，取得，‎ 设，则，（），得 设与平面所成的角为，.‎ ‎.‎