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- 2021-06-24 发布
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课时作业24 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝12，sinC＝1，则abc等于( )
A．123 B．321
C．12 D．21
解析：由sinC＝1，∴C＝，
由AB＝12，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，
由正弦定理得，abc＝sinAsinBsinC＝1＝12.
答案：C
2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
答案：C
4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B.
C．2 D．1
解析：由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，
即＝×1×sinB，解得sinB＝.
∴B＝45°或B＝135°.
当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝1.
此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；
当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．故选B.
答案：B
5．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：在△ABC中，由已知条件及余弦定理可得c2＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2abcos，整理得ab＝6，
再由面积公式S＝absinC，得S△ABC＝×6×sin＝.故选C.
答案：C
6．已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC.若△ABC的面积为sinC，则角C的大小为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：由已知可得
∴c＝1，a＋b＝.
又absinC＝sinC，∴ab＝.
∵cosC＝＝＝，
∴C＝60°.
答案：B
二、填空题
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.
解析：由已知条件可得sinA＝，sinB＝，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，根据正弦定理＝得c＝.
答案：
8．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________.
解析：因为bcosC＋ccosB＝2b，所以由正弦定理可得
sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，
即sin(B＋C)＝2sinB，
所以sin(π－A)＝2sinB，即sinA＝2sinB.
于是a＝2b，即＝2.
答案：2
9．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a＝2csinA，c＝，△ABC的面积为，则a＋b＝________.
解析：由a＝2csinA及正弦定理得＝＝，∵sinA≠0，∴sinC＝.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝，∴S△ABC＝ab·sin＝，即ab＝6，∵c＝，由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7，解得(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.
答案：5
三、解答题
10．(2014·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是
a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.
由正弦定理、余弦定理得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－.由于0
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