（新高考）2021届高三入学调研试卷 数学（三） Word版含解析 18页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎（新高考）2021届高三入学调研试卷 数 学（三）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知（为虚数单位），则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）种．‎ A．24 B．36 C．48 D．64‎ ‎4．在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知定义域为(－1，1)的奇函数又是减函数，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知四棱锥的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则与底面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎7．二项式的展开式中的系数是，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（）》于年月日正式实施．车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，‎ 喝瓶啤酒的情况且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）个小时才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，）‎ 驾驶行为类型 阀值 饮酒后驾车 ‎，‎ 醉酒后驾车 车辆驾车人员血液酒精含量阀值 A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F重合，则（ ）‎ A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的离心率为3‎ C．双曲线的渐近线方程为 D．F到渐近线的距离为 ‎10．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（ ）‎ A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调增 D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为 ‎11．已知，，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（ ）‎ A．该地水稻的平均株高为100 cm B．该地水稻株高的方差为10‎ C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设为坐标原点，抛物线的准线为，焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于两点，且，若直线与相交与，则_________．‎ ‎14．任意实数a，b，定义，设函数，正项数列是公比大于0的等比数列，且，，则______．‎ ‎15．已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______．‎ ‎16．如图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是_________．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎18．（12分）已知函数（k为常数，且）．‎ ‎（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由．‎ ‎①数列是首项为2，公比为2的等比数列；‎ ‎②数列是首项为4，公差为2的等差数列；‎ ‎③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和．‎ ‎19．（12分）某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？‎ ‎（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）‎ 列联表 男性 女性 合计 消费金额 消费金额 合计 临界值表：‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎，其中．‎ ‎20．（12分）如图，在三棱柱中，平面，为的中点，交于点，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）设函数．‎ ‎（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．‎ ‎（新高考）2021届高三入学调研试卷 数 学（三）答 案 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】由题意得，，，‎ 则，故选C．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由，得，故选D．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】当按照进行分配时，则有种不同的方案；‎ 当按照进行分配，则有种不同的方案，‎ 故共有36种不同的派遣方案，故选B．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设，，‎ 又，C(1，1)，所以，，‎ - 18 -‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 即的取值范围是，故选C．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】由条件得，即，∴，‎ 故选B．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】因为的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，‎ 则点在面内的射影落在正方形的中心，连接交于点，‎ 设球心为，连接，则在直线上，，‎ 由，解得，‎ 又，所以，‎ 所以或，‎ 当时，，‎ - 18 -‎ 则与底面所成角的正弦值为，‎ 当时，，‎ 则与底面所成角的正弦值为，‎ 即与底面所成角的正弦值为或，故选D．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】由题意，二项式的展开式中的通项公式，‎ 令，解得，‎ 所以含项的系数为，解得，故选B．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】由图知，当时，函数取得最大值，此时；‎ 当时，，当车辆驾驶人员血液中酒精小于时可以开车，此时．‎ 由，得，两边取自然对数得，‎ 即，解得，‎ 所以，喝啤酒需个小时候才可以合法驾车，故选B．‎ - 18 -‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．【答案】CD ‎【解析】抛物线的焦点，故，，‎ 故双曲线方程为，双曲线的实轴长为，A错误；‎ 双曲线的离心率为，B错误；‎ 双曲线的渐近线方程为，C正确；‎ F到渐近线的距离为，D正确，‎ 故选CD．‎ ‎10．【答案】BCD ‎【解析】由函数（其中，，）的图像可得，，‎ 因此，，‎ 所以，过点，‎ 因此，‎ 又，所以，，‎ 当时，，故A错；‎ - 18 -‎ 当时，，故B正确；‎ 当，，所以在上单调递增，故C正确；‎ 当时，，‎ 所以与函数有的交点的横坐标为，，故D正确，‎ 故选BCD．‎ ‎11．【答案】ABD ‎【解析】对于A，，‎ 当且仅当时，等号成立，故A正确；‎ 对于B，，所以，故B正确；‎ 对于C，，‎ 当且仅当时，等号成立，故C不正确；‎ 对于D，因为，‎ 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确，‎ 故选ABD．‎ ‎12．【答案】AC ‎【解析】，故，，故A正确，B错误；‎ ‎，故C正确；‎ - 18 -‎ 根据正态分布的对称性知：，故D错误，‎ 故选AC．‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】过且斜率为的直线方程为，‎ 与抛物线联立得．‎ ‎，，‎ 则直线方程为，与的交点，‎ 因此，故答案为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题意，‎ 因为时，；‎ 时，，‎ 所以时，恒成立，‎ 因为正项数列是公比大于0的等比数列，且，‎ - 18 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以，‎ 当时，，所以，此时无解；‎ 当时，，所以，解得，‎ 故答案为．‎ ‎15．【答案】2‎ ‎【解析】因为球的直径，且，‎ 所以，，‎ ‎（其中为点到底面的距离），‎ 故当最大时，的体积最大，‎ 即当面面时，最大且满足，‎ 即，此时．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由题意得在线段中垂线上，所以到直线上的距离取值范围为，‎ 因此圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是，‎ 故答案为．‎ - 18 -‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由的面积为且为的中点可知：的面积为，‎ 由三角形的面积公式可知，‎ 由正弦定理可得，所以．‎ ‎（2）因为，所以在中，由正弦定理可得，‎ 所以，‎ 由（1）可知，所以，，‎ ‎∵，∴，‎ 在直角中，，，所以，，‎ ‎∵，，‎ 在中用余弦定理，可得，‎ ‎．‎ ‎18．【答案】（1）②，理由见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）①③不能使成等比数列，②可以．‎ 由题意，‎ - 18 -‎ 即，得，且，．‎ 常数且，为非零常数，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎19．【答案】（1），；（2）列联表见解析，有的把握认为；（3）395元．‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知，，‎ 由中间三组的人数成等差数列可知，‎ 可解得，．‎ ‎（2）周平均消费不低于300元的频率为，‎ 因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人．‎ 所以列联表为 男性 女性 合计 消费金额 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 消费金额 ‎25‎ ‎15‎ ‎40‎ 合计 ‎45‎ ‎55‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以有的把握认为消费金额与性别有关．‎ - 18 -‎ ‎（3）调查对象的周平均消费为，‎ 由题意，∴，‎ ‎．‎ ‎∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】证明：（1）因为为三棱柱，所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ 又因为，，平面，‎ 所以平面．‎ 由题知：四边形为矩形，又因交于点，所以为的中点，‎ 又因为为的中点，所以为的中位线，所以，‎ 所以平面．‎ ‎（2）由（1）知：两两互相垂直，所以以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 设，‎ 则，，，，，，‎ 所以，，‎ - 18 -‎ 因为，所以，所以，解得，‎ 所以，，，‎ 所以，，，，‎ 设平面的法向量为，则，所以，‎ 不妨令，则；‎ 设平面的法向量为，则，所以，‎ 不妨令，则，‎ 所以，‎ 因为平面与平面所成的角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由题知当时，不等式恒成立，‎ 因为，故必有在上恒成立．‎ 此时，该不等式等价于，‎ 令，则，‎ 故与同号．‎ 因，‎ 当时，在递减，显然不符合，‎ - 18 -‎ 故必；‎ 当时，即时，在上恒成立，‎ 即在递增，满足，‎ 故．‎ ‎（2）等价于不等式，‎ 两边取对数得，‎ 即证明恒成立．‎ 由（1）知当，时有恒成立．‎ 故令，，‎ 即得恒成立，‎ 即成立．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）由已知可得，解得，‎ 所以椭圆C的方程为．‎ - 18 -‎ ‎（2）因为椭圆C的方程为，所以，，‎ 设，则，即．‎ 则直线BM的方程为，令，得；‎ 同理：直线AM的方程为，令，得，‎ 所以 ‎，‎ 即四边形ABCD的面积为定值2．‎ - 18 -‎