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- 2021-06-16 发布
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2021届高三入学调研试卷
理 科 数 学(四)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.命题:“,”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
3.已知命题:对任意,总有;:“”是“,”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中正确的是( )
A.“”是“”的充分条件
B.命题“,”的否定是“,”
C.使函数是奇函数
D.设,是简单命题,若是真命题,则也是真命题
5.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则( )
A. B. C. D.
6.设,,,则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
9.将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数,
则函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
10.在锐角中,若,,,则( )
A. B. C. D.
11.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若函数有个零点,
则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数的定义域为 .
14.曲线在处的切线方程为 .
15.已知,,,均为锐角,则的值是 .
16.如图,在中,,,,点在边上,且,将射线绕着逆时针方向旋转,并在所得射线上取一点,使得,连接,则的面积为 .
三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知,,其中.
(1)若且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
18.(12分)已知函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)求函数在区间的最小值.
19.(12分)设函数.
(1)求的最小正周期和对称中心;
(2)当时,求函数的最值.
20.(12分)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
21.(12分)已知中,角,,所对的边分别为,,,满足.
(1)求的大小;
(2)如图,,在直线的右侧取点,使得.当角为何值时,四边形面积最大.
22.(12分)已知函数.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若对任意,恒成立,求实数的最大值.
2021届高三入学调研试卷
理 科 数 学(四)答 案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】∵,∴,故选C.
2.【答案】A
【解析】命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,即,,故选A.
3.【答案】D
【解析】命题:对任意,总有,是假命题,例如取时,;
命题:由,可以推出,
反之不成立,例如,,所以“”是“,”的必要不充分条件,是假命题,
所以下列命题是真命题的是,故选D.
4.【答案】D
【解析】对于A,,,则A错误;
对于B,根据含全称量词命题的否定可知原命题的否定为,,则B错误;
对于C,若为奇函数,则,方程无解,
则不存在,使得为奇函数,则C错误;
对于D,若是真命题,则,均为真命题,那么为真命题,则D正确,
故选D.
5.【答案】B
【解析】∵函数是定义在上的奇函数,
- 13 -
当时,,∴,故选B.
6.【答案】C
【解析】对数函数为上的增函数,则;
指数函数为上的减函数,则;
对数函数为上的增函数,则,即,
因此,,故选C.
7.【答案】C
【解析】函数的定义域是,要使函数有意义,
需使有意义且,
所以,解得,故答案为C.
8.【答案】A
【解析】令,
则,为奇函数,
又因为为偶函数,的定义域为,
故为奇函数,排除B,C;
因为,
,排除D,
故选A.
9.【答案】D
【解析】由
- 13 -
,
将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,
即,
由,,得,此时,
即函数的对称中心为,当时,对称中心为,故答案为D.
10.【答案】C
【解析】∵在锐角中,若,,,
∴由正弦定理,可得,
∴由为锐角,可得,故选C.
11.【答案】D
【解析】∵,∴,
即函数在时是单调增函数,
则恒成立,∴,
令,则,
时,,单调递减;时,,单调递增,
∴,∴,故选D.
12.【答案】D
【解析】由题可知,函数有个零点,
- 13 -
令,有,
设,可知恒过定点,
画出函数,的图象,如图所示:
则函数与函数的图象有个交点,
由图象可得,则,即,解得,
故选D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.【答案】
【解析】要使函数有意义,必有,解得,
所以函数的定义域为,故答案为.
14.【答案】
【解析】,
当时,,,
故切线方程为,即,故答案为.
- 13 -
15.【答案】
【解析】∵,均为锐角,∴,从而,,
∵,,∴,,
∴,
故答案为.
16.【答案】
【解析】由,得,解得,
因为,所以,,
所以,
又因为,所以,
因为,所以,
故答案为.
三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】(1);(2).
【解析】(1)由,解得,所以,
又,因为,解得,所以.
当时,,
- 13 -
又为真,,都为真,所以,即.
(2)由是的充分不必要条件,即,,
所以,所以,解得,即.
18.【答案】(1)函数的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)见解析.
【解析】(1)由题可知:,对称轴为,开口向上,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由题可知:,,
对称轴为,开口向上,
当时,函数在单调递增,所以;
当时,函数在单调递减,在单调递增,
所以;
当时,函数在单调递减,所以,
则函数在区间的最小值为.
19.【答案】(1),对称中心是,;(2)的最小值为,最大值为.
【解析】(1)
,
- 13 -
∴的最小正周期是,
由,得,,对称中心是,.
(2)时,,此时.
最大值为,此时,;
最小值为,此时,,
综上,的最小值为,最大值为.
20.【答案】(1);(2)最大值为,最小值为.
【解析】(1)因为,所以,,
又因为,所以曲线在点处的切线方程为.
(2)设,
则.
当时,,所以在区间上单调递减,
所以对任意有,即,
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为,最小值为.
21.【答案】(1);(2),四边形的面积取得最大值.
- 13 -
【解析】(1)(法一):在中,由正弦定理得,
∴,∴,
∵,∴,
∵,故.
(2)由(1)知,且,为等边三角形,
设,则在中,由余弦定理得,
∴,,
∴四边形的面积,
∵,∴,
∴当,即时,,
所以当时,四边形的面积取得最大值.
22.【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1),,,
∴的单调增区间是,单调减区间是,
∴在处取得极小值,极小值为.
(2)由变形,得恒成立,
令,,
由;,
- 13 -
所以,在上是减函数,在上是增函数,
所以,,即,所以的最大值是.
- 13 -
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