上海市华东师大二附中2021届高三数学9月月考试题（Word版带答案） 10页

华东师大二附中2021届高三上学期9月月考 数学试卷 ‎2020.09‎ 一. 填空题 ‎1. 已知集合，，则 ‎ ‎2. 若复数满足，则复数的虚部为 ‎ ‎3. 若，则 ‎ ‎4. 二项式的展开式中的系数为 ‎ ‎5. 记为等差数列的前项和，若，，则 ‎ ‎6. 若、满足约束条件，则的最大值是 ‎ ‎7. 圆锥的母线长为10，高为8，它的侧面展开图的中心角为 弧度 ‎8. 已知方程恰有3个解，则的取值范围为 ‎ ‎9. 已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点为坐标原点，‎ 则的最大值为 ‎ ‎10. 有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，则抽 到的最大数与最小数的差小于4的概率是 ‎ ‎11. 已知，，则的最大值为 ‎ ‎12. 在△中，，，点为△内（包括边界）任意一点，‎ 若，则的取值范围为 ‎ 二. 选择题 ‎13. 已知空间向量和，设和，则 ‎“∥”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎14. 已知的反函数为，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎15. 运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖 去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体（如图2），‎ 用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明 新几何体与半球体积相等，现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如 图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ A. B. C. D. ‎ ‎16. 已知数列满足，，则下列选项错误的是（ ）‎ A. 数列单调递增 B. 不存在正数，使得恒成立 C. D. ‎ 三. 解答题 ‎17. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）已知，为上的点，求与 平面所成角的正弦值的最大值.‎ ‎18. 已知函数（为实常数）.‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）当为奇函数时，对任意的，不等式恒成立，‎ 求实数的最大值.‎ ‎19. 今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离，现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区，经测量，边界与的长都是‎200米，，.‎ ‎（1）若，求的长；（结果精确到米）‎ ‎（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）‎ ‎20. 已知抛物线（）的焦点为，直线过点且与相交于、‎ 两点，当直线的倾斜角为时，.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若点是抛物线上、之间一点，当点到直线的距离最大时，求△面积的最小值；‎ ‎（3）若的垂直平分线与相交于、两点，且、、、四点在同一圆上，求的方程.‎ ‎21. 在无穷数列中，，、是给定的非零整数.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）证明：数列中必存在的项；‎ ‎（3）证明：数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列.‎ 参考答案 一. 填空题 ‎1. 2. 1 3. 4.252‎ ‎5. 25 6. 8 7. 8. ‎ ‎9. 6 10. 11. 12. ‎ ‎【第10题解析】（所选的数字均来自1，2，3，4或者2，3，4，5的情况，再去掉重复的部分——所选的数字均来自2，3，4的情况）．‎ ‎【第11题解析】‎ ‎（*）‎ 令，则（*）式，其在上单调递减，‎ ‎∴当时，即或时，（*）式取得最大值，‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎【第12题解析】记，‎ 从而，‎ 于是由“等系数和线”知识，‎ 当位于直线上时，；‎ 当为点时，取得最大值[此时，]；‎ 当为点时，取得最小值[此时 ‎，]；‎ 从而，可知的取值范围为．‎ 二. 选择题 ‎13. A 14. D 15. B 16. D ‎【第15题解析】由“祖暅原理”，易得该几何体的体积为底面半径为3，高为8的圆柱的体积的，∴其体积，选B．‎ ‎【第16题解析】，又，易得数列单调递增，‎ 且，，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，故A、B、C均正确，选D．‎ 三. 解答题 ‎17.（1）证明略；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵底面，底面，∴．‎ 又底面是正方形，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵，平面，∴平面，‎ ‎∵平面，平面平面，∴，∴平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 由（1）可设，则，‎ 设是平面的法向量，则即 可取，‎ ‎∴，‎ 设与平面所成角为，则，‎ ‎∵，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值的最大值为．‎ ‎18.（1）当时，既不是偶函数，也不是奇函数；当时，是奇函数；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵当时，，∴，且，‎ 于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；‎ 当时，，即，‎ ‎∴此时函数是奇函数．‎ ‎（2）∵是奇函数，∴由（1）知，从而，‎ 由不等式，得，‎ 令（），∴，‎ ‎∵函数在单调递增，∴，‎ ‎∴当不等式在上恒成立时，．‎ ‎19.（1）‎163米；（2）‎631米.‎ ‎【解析】（1）联结，则在中，‎ 由，得：，‎ ‎∴的长约为‎163米.‎ ‎（2）方法一：设，则，‎ 在中，由，‎ 得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最大值，‎ 此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为千米，约为‎631米 方法二：设千米，千米（），‎ 在中，由，得，‎ ‎∴，‎ 又由，得，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴围成该施工区域所需的板材长度最长为千米，约为‎631米.‎ ‎20.（1）；（2）2；（3）或.‎ ‎【解析】（1），设直线的方程为，代入，得，‎ 于是，得，∴的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，、，‎ 将代入，得，于是，‎ 由题意，抛物线过点的切线与直线平行，可设该切线的方程为，‎ 代入，得，由，可得，‎ 从而可得点到直线的距离为，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立，即面积的最小值为2．‎ ‎（3）由题意知与坐标轴不垂直，∴可设的方程为，‎ 代入，得，‎ 设、，则，．‎ ‎∴的中点为，，‎ 又的斜率为，∴的方程为，‎ 将上式代入，并整理得，‎ 设、，则，，‎ ‎∴的中点为，，‎ 由于垂直平分，∴、、、四点在同一圆上等价于，‎ 从而，‎ 即，‎ 化简得：，解得：或，‎ 所求直线的方程为或．‎ ‎21.（1）；（2）证明略；（3）证明略.‎ ‎【解析】（1）∵，，，，，，，，，，……‎ ‎∴自第20项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，‎ 又，∴．‎ ‎（2）假设中没有“0”项，由于，∴，当都有，‎ 若，则，‎ 若，则，‎ 即要么比至少小1，要么比至少小1，‎ 令，，则，‎ 由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，‎ ‎∴中必有“0”项．‎ ‎（3）若第一次出现“0”项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值0，，，即，，，，‎ ‎∴数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列． ‎