山东省枣庄市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析 20页

‎2019-2020学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（ ）‎ A. （1，+∞） B. [1，+∞） C. （0，+∞） D. （0，1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数的定义域和指数函数的值域化简集合A和B，再利用交集的定义求解即可．‎ ‎【详解】集合A＝{x|y＝}=， B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝[1，+∞）‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查指数函数和幂函数的性质，考查学生计算能力，属于基础题．‎ ‎2. 命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，写出即可．‎ ‎【详解】命题“”的否定是 “”． ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎3. 已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的图象与性质，求出的图象所过定点，再计算的值．‎ ‎【详解】解：函数，且中，‎ 令，得，‎ 所以，‎ 所以的图象过定点，‎ 所以，；‎ 所以．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与指数运算问题，属于基础题．‎ ‎4. 若复数z满足2z+＝3+2i2021（i为虚数单位），则z＝（ ）‎ A. 1+2i B. 1﹣2i C. ﹣1+2i D. ﹣1﹣2i ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，表示出，再根据复数的乘方求出，再根据复数相等得到方程组，解得即可；‎ ‎【详解】解：设，则 所以 因为 所以 又，所以，所以，所以 故选：A ‎【点睛】本题考查复数的运算以及复数相等的应用，属于基础题.‎ - 20 -‎ ‎5. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 任意按最后一位数字，不超过2次就按对有两种情形一种是按1次就按对和第一次没有按对，第二次按对，求两种情形的概率和即可；‎ ‎【详解】密码的最后一个数是偶数，可以为 按一次就按对的概率： ,‎ 第一次没有按对，第二次按对的概率： ‎ 则不超过两次就按对概率：,‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的运用，是基础题.‎ ‎6. 若展开式的常数项等于 ，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.‎ ‎【详解】解：展开式的通项公式为：，‎ - 20 -‎ 所以当时，项的系数为：，‎ 的展开式无常数项，‎ 所以展开式的常数项为：，解得： ‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.‎ ‎7. 已知点在幂函数y＝f（x）的图象上，设，，c＝f（0.30.5），则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A. b＜c＜a B. c＜b＜a C. a＜c＜b D. a＜b＜c ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数所过的点可得幂函数的解析式，从而得出幂函数的单调性，又比较指数式，对数式的大小关系，可得选项.‎ ‎【详解】设幂函数y＝f（x）为，因为点在幂函数y＝f（x）的图象上，所以，解得，‎ 所以，且函数在上单调递减，‎ 又，，，且0.，‎ 所以 ，所以a＜b＜c，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，并且根据函数的单调性比较函数值的大小关系，属于中档题.‎ ‎8. ‎ - 20 -‎ 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】解：设这个球落入④号球槽为时间，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立重复试验，属于基础题.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 下列说法正确的是　　‎ A 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 B. 回归直线至少经过点，，，，，，中的一个 C. 若，，则 D. 设随机变量，若，则 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 根据残差图中残差点的分布情况与模型的拟合效果可判断选项，线性回归直线一定经过样本中心点，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，判断选项，根据公式计算出结果，判断选项，根据正态分布的性质，判断选项．‎ ‎【详解】解：对于，在残差图中，残差点比较均匀的分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，选项正确；‎ 对于，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，选项错误；‎ 对于，，选项正确；‎ 对于，随机变量，若，则，选项正确；‎ 综上可得，正确的选项为，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线性回归直线以及正态分布，考查学生的逻辑推理能力以及分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎10. 已知符号函数，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 是奇函数 D. 函数的值域为（﹣∞，1）‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A，判断出log23•log3＜0，根据函数解析式可得函数值；对于B，＝﹣2＜0‎ - 20 -‎ ‎，根据函数解析式可得函数值；对于C，讨论当x＞0，x＜0和x＝0时的函数值，利用奇函数的定义判断即可；对于D，写出函数解析式画出图象可得函数的值域．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，log23＞0而log3＜0，则log23•log3＜0，故sgn（log23•log3）＝﹣1，A错误；‎ 对于B，＝﹣2＜0，则sgn（）＝﹣1，B正确；‎ 对于C，sgn（x）＝，当x＞0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝﹣1，当x＜0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝1，当x＝0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝0，则对于任意的x，都有sgn（﹣x）＝﹣sgn（x），故sgn（x）是奇函数，C正确；‎ 对于D，函数y＝2x•sgn（﹣x）＝，其图象大致如图，值域不是（﹣∞，1），D错误；‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算以及函数奇偶性的判断，属于基础题．‎ ‎11. 下面结论正确的是（ ）‎ A. 若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为35‎ B. 1×1!+2×2!+…+nn!＝（n+1）!﹣1（n∈N*）‎ - 20 -‎ C. （n+1）＝（m+1）（n＞m，）‎ D. （）‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎．利用乘法原理即可得出；‎ ‎．利用，分别相加求和即可得出；‎ ‎．利用组合数计算公式即可得出;‎ ‎．由二项式定理可得：的展开式的奇数项与偶数项的二项式系数相等，即可判断出结论．‎ ‎【详解】．若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为，因此不正确；‎ ‎．，‎ ‎！！，因此正确；‎ ‎．，，，，因此正确；‎ ‎．由二项式定理可得：的展开式的奇数项与偶数项的二项式系数相等，可得：，因此正确．‎ 故选：BCD．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开式及其性质、排列组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎12. 设函数，则（ ）‎ A. 的定义域为 B. 若，的极小值点为1‎ - 20 -‎ C. 若，则在上单调递增 D. 若，则方程无实根 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质以及分母不为0求出函数的定义域，分别代入，，求出函数的导数，求出函数的单调区间，判断即可，结合，的结论判断即可．‎ ‎【详解】由题意得，解得：且，‎ 故函数的定义域是，，，故正确；‎ 当时，，，‎ 令，则，‎ 在定义域递增，而（1），‎ 故，，时，，即，递减，‎ 时，，即，递增，‎ 故时，的极小值点是1，故正确；‎ 时，，，‎ 令，，递增，‎ 而（1），（e），‎ 故存在，使得，即，‎ 故在递减，在，递增，故错误；‎ 由得：的极小值即的最小值为（1），‎ 由得：的最小值是，‎ - 20 -‎ 综合，，时，的最小值是1，时，的最小值大于1，‎ 故若，则方程无实根，‎ 故正确；‎ 故选：ABD．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性、极值、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知条件，，若是的必要条件，则实数 的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设条件对应的集合为，根据题意得，再根据集合关系求解即可.‎ ‎【详解】解：条件对应集合为，‎ 因为是的必要条件，‎ 所以，‎ 所以根据集合关系得：‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查必要条件的集合关系，是基础题.‎ ‎14. 已知，则的最小值是_____.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式中 “1”的用法，即可求出结果．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以， ‎ - 20 -‎ 当且仅当时，即时取等号.‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎15. 若定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)＝0，则的解集为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由奇函数的性质分析可得以及在上单调递增，且，又由或或，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，为定义在上的奇函数，则，所以当时，满足；‎ 又由函数在 上单调递增，且，则函数在上单调递增，且，‎ 所以或或， 解可得：或或或， ‎ 即的解集为； ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题．‎ ‎16. 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物组织中的碳14含量保持不变.‎ - 20 -‎ 死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的残余量占原始含量的比值P与生物体死亡年数t满足P＝at（a为正常数）.已知碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半.则a＝_____；2020年1月10日，中国社会科学院考古研究所发布了“2019年中国考古新发现”六大考古项目，位于滕州市官桥镇大韩村东的“大韩墓地”成功入选.考古人员发现墓地中某一尸体内碳14的残余量占原始含量的73%，则“大韩墓地”距测算之时约_____年.（参考数据：lg73≈1.86，lg2≈0.3）‎ ‎【答案】 (1). (2). 2674‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据每经过5730年衰减为原来的一半，可得生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式，进而解出即可；‎ ‎（2）利用碳14的残余量约占原始含量的，代入计算即可．‎ ‎【详解】解：根据题意令，，则有，解得；‎ 令，将代入得，‎ 即，‎ 则，‎ 解得，‎ 故答案为：；2674．‎ ‎【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 某中学高二甲、乙两个兴趣班进行了一次数学对抗赛，该对抗赛试题满分为150分，规定：成绩不小于135分为“优秀”，成绩小于135分为“非优秀”，对这两个班的所有学生的数学成绩统计后，得到如图条形图.‎ - 20 -‎ ‎（1）根据图中数据，完成如下的2×2列联表； ‎ 甲班 乙班 总计 优秀 非优秀 总计 ‎（2）计算随机变量的值（精确到0.001），并由此判断：能否有90%的把握认为“成绩与班级有关”？‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中 ‎【答案】（1）答案见解析；（2），没有90%的把握认为“成绩与班级有关”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条形图中数据完成表格即可；‎ - 20 -‎ ‎（2）根据公式计算出的值，然后可得答案.‎ ‎【详解】（1）根据条形图中的数据可得如下表格，‎ 甲班 乙班 总计 优秀 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非优秀 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 总计 ‎55‎ ‎50‎ ‎105‎ ‎（2）‎ 因为，所以没有90%的把握认为“成绩与班级有关”.‎ ‎【点睛】本题考查的是独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎18. 已知是定义在上的偶函数，且当时， .‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的偶函数性质求解解析式即可；‎ ‎（2）根据偶函数性质和函数的单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】解：（1）设，则，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ 是定义在上的偶函数，‎ ‎∴ .‎ - 20 -‎ ‎∴的解析式为：；‎ ‎（2）∵ 函数的对称轴为，开口向上，‎ ‎∴ 当时，在区间单调递增，‎ 又∵是定义在上的偶函数，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得：，‎ 故实数取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数单调性与奇偶性解不等式，是中档题.‎ ‎19. 已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）.‎ ‎（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（x）＞0.‎ ‎【答案】（1）-1,6；（2）答案见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}结合韦达定理即可求解参数a，b的值；‎ ‎（2）原式可因式分解为，再分类讨论即可，对再细分为即可求解.‎ ‎【详解】（1）由f（x）≥b得，因为f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，故满足，，解得；‎ ‎（2）原式因式分解可得，‎ 当时，，解得；‎ - 20 -‎ 当时，的解集为；‎ 当时，，‎ ‎①若，即，则的解集为；‎ ‎②若，即时，解得；‎ ‎③若，即时，解得.‎ ‎【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题.‎ ‎20. 1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为，A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.‎ ‎（1）求A恰好答对两个问题的概率；‎ ‎（2）求B恰好答对两个问题的概率；‎ ‎（3）设A答对题数为X，B答对题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ；(3)选择A.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由组合知识和古典概率公式可得出 A恰好答对两个问题的概率；‎ ‎(2)由3次独立重复实验中事件发生2次的概率公式可得出B恰好答对两个问题的概率；‎ ‎(3) X所有可能的取值为1,2,3. 利用古典概率公式分别求出X取每一个值的概率，得出X - 20 -‎ 的分布列，从而求得X的期望和方差，再由，求得Y的 期望和方差，比较可得结论.‎ ‎【详解】(1) A恰好答对两个问题的概率为；‎ ‎(2) B恰好答对两个问题的概率为；‎ ‎(3) X所有可能的取值为1,2,3. ，，，所以，；‎ 而，，，‎ 所以，，‎ 可见，A与B的平均水平相当，但A比B的成绩更稳定.‎ 所以选择投票给学生A ‎【点睛】本题考查古典概率公式的应用，独立重复实验发生的概率公式，以及离散型随机变量的分布列，二项分布，期望和方差的实际运用，属于中档题.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若∀x∈R，f（x）≥0，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）用min{m，n}表示m，n中的较小者.设h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有三个零点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用判别式解得结果可得答案；‎ ‎（2）当时，在上无零点；所以在 - 20 -‎ 上有三个零点，再转化为是的一个零点，且在上有两个零点，再根据二次函数知识列式可得结果.‎ ‎【详解】（1）根据题意知对任意实数恒成立，‎ 所以，解得.‎ ‎（2）当时，，所以，‎ 所以在上无零点；‎ 所以在上有三个零点，‎ ‎，，‎ 当时，，得，所以，所以是的一个零点；‎ 当时，，所以，所以不是的一个零点；‎ 当时，，‎ 由题意可知，是的一个零点，且在上有两个零点，‎ 所以，且，解得，‎ 综上所述，若有三个零点，则的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了函数与方程思想，考查了由函数零点个数求参数范围，考查了分析推理能力，属于中档题.‎ ‎22. 已知函数，证明：‎ ‎(1)f(x)存在唯一的极值点，且为极小值点；‎ ‎(2)有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；‎ ‎(3) ().‎ - 20 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数确定函数的单调性，根据函数的单调性判断即可； ‎ ‎（2）由（1）可知在递增，在递减，且，从而证明结论成立； ‎ ‎（3）求出，令，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【详解】证明：（1）的定义域是， ‎ 由，得，， ‎ 令，解得：，令，解得：， ‎ 故在递减，在递增， ‎ 故， ‎ 当时，显然，‎ 当时，，， ‎ 故存在唯一的实数，使得， ‎ 综上，在递减，在递增， ‎ 因此，存在唯一的极值点，且是极小值点；‎ ‎（2）由(1)知：，，且在递增， ‎ ‎∴在上存在唯一的实数根，且， ‎ 由得，， ‎ 由（1）得，故， ‎ - 20 -‎ 又在递减，故在上存在唯一的实根，‎ 综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；‎ ‎（3）由， ‎ 可得，因此， ‎ 由（2）可得，对，，，‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 令，则， ， ‎ 当时，，故在递增， ‎ 故时，，故在递增， ‎ ‎∴时，，即， ‎ 故， ‎ ‎∵，∴，‎ 所以原不等式成立．‎ ‎【点睛】本题考查了导数在函数的单调性，最值，零点问题中应用，考查利用导数证明不等式，考查转化思想，属于难题．‎ - 20 -‎