高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-1-2　集合的基本关系 48页

1.2 　集合的基本关系 必备知识 · 自主学习 1.Venn 图 为了直观地表示集合间的关系 , 常用平面上封闭曲线的内部表示集合 , 称为 Venn 图 . 导思 1. 子集、真子集是如何定义和表示的 ? 2. 如何利用集合间的包含关系定义两个集合相等 ? 3. 通常用什么图形表示集合之间的关系 ? 1.Venn 图 为了直观地表示集合间的关系 , 常用平面上封闭曲线的内部表示集合 , 称为 Venn 图 . 【 思考 】 符号“∈”与“⊆”有什么区别 ? 提示 : ①“∈” 是表示 元素与集合之间的关系 , 比如 1∈N,-1 ∉ N. ② “ ⊆ ” 是表示集合与集合之间的关系 , 比如 N⊆R,{1,2,3}⊆{3,2,1}. ③ “ ∈ ” 的左边是元素 , 右边是集合 , 而 “ ⊆ ” 的两边均为集合 . (2) 集合相等 (3) 真子集 (4) 本质 : 集合之间的关系是对集合深入认识的开始 , 同时也是集合在整个高中学习应用的基础和关键 , 是能否理解和掌握集合知识的重要部分 . (5) 应用 :① 用数学语言表达集合之间的关系 ;② 求参数的值或范围 . 【 思考 】 　集合 M,N 是两个至少含有一个元素的集合 , 试画图说明这两个集合关系有哪几种 ? 提示 : 有以下五种关系 1 2 3 4 5 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 任何一个集合都有子集 . ( 　　 ) (2) 空集是任何集合的真子集 . ( 　　 ) (3)A⊆B 的含义是 A B 或 A=B. ( 　　 ) (4) 若 A⊆B,B⊆C, 则 A⊆C. ( 　　 ) 提示 : (1)√. 任何一个集合都是其本身的子集 . (2)×. 空集是任何非空集合的真子集 . (3)√. 若 A 是 B 的子集 , 则说明这两个集合的关系有以下两种可能 :A 是 B 的真子集或 A 与 B 相等 . (4)√. 由子集的定义可知 , 此说法正确 . 2. 集合 {(1,2),(3,4)} 的子集个数为 ( 　　 ) A.3 B.4 C.15 D.16 【 解析 】 选 B.{(1,2),(3,4)} 的元素有 2 个 , 所以子集个数有 4 个 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 用适当的符号填空 : (1)2 ________ {x|x 2 =2x}.  (2){3,4,8} ________ Z.  (3){x|x 是平行四边形 } ________ {x|x 是中心对称图形 }.  (4)(-∞,1) __________ (-∞,2).  【 解析 】 (1) 因为 {x|x 2 =2x}={0,2}, 所以 2∈{x|x 2 =2x}; (2) 因为 3,4,8 都是整数 , 所以 {3,4,8} Z; (3) 因为平行四边形是中心对称图形 , 所以 {x|x 是平行四边形 } {x|x 是中心对 称图形 }; (4) 显然对于任意 x∈(-∞,1), 必有 x∈(-∞,2), 且 1.5∈(-∞,2), 但 1.5∉(-∞,1), 所以 (-∞,1) (-∞,2). 答案 : (1)∈ 　 (2) 　 (3) 　 (4) 关键能力 · 合作学习 类型一　集合的子集、真子集问题 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 合肥高一检测 ) 集合 A={x|0≤x<3,x∈N} 的真子集的个数是 ( 　　 ) A.16 B.8 C.7 D.4 2.(2020· 台州高一检测 ) 已知集合 A={x|x 2 +x=0,x∈R}, 则集合 A= ________ . 若集 合 B 满足 {0} B⊆A, 则集合 B= ________ .  3. 已知集合 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 试写出 A 的所有子集 . 【 解析 】 1. 选 C. 由已知得 ,A={0,1,2}, 此集合的真子集为∅ , {0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2} 共 7 个 . 2. 因为解方程 x 2 +x=0, 得 x=-1 或 x=0, 所以集合 A={x|x 2 +x=0,x∈R}={-1,0}, 因为集合 B 满足 {0} B⊆A, 所以集合 B={-1,0}. 答案 : {-1,0} 　 {-1,0} 3. 因为 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以 A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以 A 的子集有 :∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)}, {(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 【 解题策略 】 1. 求集合子集、真子集的步骤 2. 求元素个数有限的集合的子集的两个关注点 (1) 要注意两个特殊的子集 :∅ 和自身 . (2) 按集合中含有元素的个数由少到多 , 分类一一写出 , 保证不重不漏 . 【 补偿训练 】 设 A={x|(x 2 -16)(x 2 +5x+4)=0}, 写出集合 A 的子集 , 并指出其中哪些是它的真子集 . 【 解析 】 由 (x 2 -16)(x 2 +5x+4)=0, 得 (x-4)(x+1)(x+4) 2 =0, 则方程的根为 x=-4 或 x=-1 或 x=4. 故集合 A={-4,-1,4}, 由 0 个元素构成的子集为 :∅. 由 1 个元素构成的子集为 :{-4},{-1},{4}. 由 2 个元素构成的子集为 :{-4,-1},{-4,4},{-1,4}. 由 3 个元素构成的子集为 :{-4,-1,4}. 因此集合 A 的子集为 :∅,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4},{-4,-1,4}. 真子集为 :∅,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}. 【 拓展延伸 】 与子集、真子集个数有关的 3 个结论 (1) 假设集合 A 中含有 n 个元素 , 则有 :A 的子集的个数为 2 n 个 ; (2)A 的真子集的个数为 (2 n -1) 个 . (3)A 的非空真子集的个数为 (2 n -2) 个 . 【 拓展训练 】 1. 设含有 4 个元素的集合的全部子集数为 S, 其中由 2 个元素组成的子集数为 T, 则 的值为 ________ .  【 解析 】 含有 4 个元素的集合的全部子集数 S=2 4 =16, 其中由 2 个元素组成的子集 数 T=6, 则 答案 : 2. 设集合 A={x∈Z|-1≤x+1≤6}, 求 A 的非空真子集的个数 . 【 解析 】 化简集合 A 得 A={x∈Z|-2≤x≤5}. 因为 x∈Z, 所以 A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 即 A 中含有 8 个元素 , 所以 A 的非空真子集个数为 2 8 -2=254( 个 ). 类型二　集合间关系的判断 ( 逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 抚州高一检测 ) 设集合 则集合 A 与 B 的关系是 ( 　　 ) A.A⊆B B.B⊆A C.A=B D.A 与 B 关系不确定 2.(2020· 太原高一检测 ) 在下列各组中的集合 M 与 N 中 , 使 M=N 的是 ( 　　 ) A.M={(1,-3)},N={(-3,1)} B.M=∅,N={0} C.M={y|y=x 2 +1,x∈R},N={(x,y)|y=x 2 +1,x∈R} D.M={y|y=x 2 +1,x∈R},N={t|t=(y-1) 2 +1,y∈R} 3. 判断下列两个集合之间的关系 : (1)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=4n,n∈Z}. (2)P={x|x-3>0},Q={x|2x-5≥0}. (3)P={x|x 2 -x=0},Q= . 【 思路导引 】 1. 先把两个集合中元素满足的等式适当变形 , 统一形式 , 然后根据子集的定义判断 . 2. 先明确集合中元素是数、点还是其他 , 然后判断两个集合的元素是否一样 . 3. 先分析或计算判断各组中两个集合是由哪些元素构成的 , 然后确定两个集合的关系 . 【 解析 】 1. 选 B. 因为 当 k∈Z 时 ,k+2 为整数 ,2k+1 为奇数 , 所以 B ⊆ A. 2. 选 D. 在 A 中 ,M 和 N 表示点集 , 因为 (1,-3) 和 (-3,1) 是不同的点 , 所以 M≠N. 在 B 中 ,M 是空集 ,N 是单元素集合 , 所以 M≠N. 在 C 中 ,M 是数集 ,N 是点集 , 所以 M≠N. 在 D 中 ,M={y|y=x 2 +1,x∈R}={y|y≥1},N={t|t=(y-1) 2 +1,y∈R}={t|t≥1}, 所以 M=N. 3.(1) 因为 P 是偶数集 ,Q 是 4 的倍数集 , 所以 Q P; (2)P={x|x-3>0}={x|x>3},Q={x|2x-5≥0}= 所以 P Q. (3)P={x|x 2 -x=0}={0,1}. 在 Q 中 , 当 n 为奇数时 ,x= =0, 当 n 为偶数时 ,x= =1, 所以 Q={0,1}, 所以 P=Q. 【 解题策略 】 1. 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 2. 证明集合相等的两种方法 (1) 用两个集合相等的定义 , 证明两个集合 A,B 中的元素全部相同 , 即可证明 A=B. (2) 证明 A⊆B, 同时 B⊆A , 推出 A=B. 　 【 补偿训练 】 判断下列各组中集合之间的关系 : (1)A={x|x 是 12 的约数 },B={x|x 是 36 的约数 }. (2)A={x|x 2 -x=0},B={x∈R|x 2 +1=0}. (3)A={x|x 是等边三角形 },B={x|x 是等腰三角形 }. 【 解析 】 (1) 因为若 x 是 12 的约数 , 则必定是 36 的约数 , 反之不成立 , 所以 A B. (2) 因为 A={x|x 2 -x=0}={0,1},B={x∈R|x 2 +1=0}=∅, 所以 B A. (3) 等边三角形是三边相等的三角形 , 等腰三角形是两边相等的三角形 , 所以 A B. (4) 方法一 : 对于集合 M, 其组成元素是 分子部分表示所有的整数 ; 对于集合 N, 其组成元素是 +n= 分子部分表示所有的奇数 . 由真子集的概念知 , N M. 方法二 : 用列举法表示集合如下 : 所以 N M. 类型三　由集合间的关系求参数的值或取值范围 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 (2020· 临沂高一检测 ) 已知集合 A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3}, 若 B⊆A, 求实数 a 的取值范围 . 四步 内容 理解 题意 条件 :A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3},B⊆A 结论 : 求实数 a 的取值范围 思路 探求 B=∅ 时 , 必有 B⊆A, 求出实数 a 的取值范围 ;B≠∅ 时 , 根据 B⊆A 画数轴列出不等式组 , 求实数 a 的取值范围 . 【 解题策略 】 1. 由集合之间的包含关系求参数的两类问题 (1) 若集合中的元素是一一列举的 , 依据集合之间的关系 , 可转化为解方程 ( 组 ) 求解 , 此时要注意集合中元素的互异性 . (2) 若集合中的元素由不等式 ( 组 ) 限制 , 常借助于数轴转化为不等式 ( 组 ) 求解 , 此时要注意端点值能否取到 . 2. 由集合之间的包含关系求参数的一个关注点 空集是任何集合的子集 , 因此在解 A⊆B(B≠∅) 的含参数的问题时 , 要注意讨论 A=∅ 和 A≠∅ 两种情况 , 前者常被忽视 , 造成思考问题不全面 . 【 跟踪训练 】 已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1}, 若 B⊆A, 求实数 m 的取值范围 . 【 解题指南 】 分 B=∅ 和 B≠∅ 两种情况讨论 ,B≠∅ 时根据 B⊆A 列不等式组求 m 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 当 B= ∅ 时 , 有 m-6>2m-1, 则 m<-5, 此时 B⊆A 成立 . (2) 当 B≠∅ 时 ,B⊆A, 此时满足 不等式组解集为∅ . 由 (1)(2) 知 , 实数 m 的取值范围是 (-∞,-5). 课堂检测 · 素养达标 1. 设 A,B 是集合 I={1,2,3,4} 的子集 ,A={1,2}, 则满足 A⊆B 的 B 的个数是 ( 　　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 【 解析 】 选 B. 满足条件的集合 B 可以是 {1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}, 所以满足 A ⊆ B 的 B 的个数是 4. 2. 给出下列关系式 :① ∈Q; ②{1,2}={(1,2)}; ③2∈{1,2}; ④∅⊆{0}, 其 中正确关系式的个数是 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 【 解析 】 选 C.① 为无理数 , 故不正确 ;②{1,2} 是以 1,2 为元素的集合 ,{(1,2)} 可以看成是以点 (1,2) 为元素的集合 , 故不相等 , 所以不正确 ;③ 是元素与集合的 关系 , 正确 ;④ ∅ 是任何集合的子集 , 故正确 . 3. 设集合 A={x|02. (2) 若 B⊆A, 由图可知 ,1≤a≤2.