百校联考2020届高三考前冲刺必刷卷（二）数学（理）试题 Word版含解析 26页

www.ks5u.com 百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(二)‎ 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解法求出集合，根据指数函数单调性求出集合，取并集即可得出答案.‎ ‎【详解】∵集合 ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合并集的运算，以及一元二次不等式的解法和指数函数单调性，属于基础题.‎ ‎2.已知向量，，则与共线的单位向量为( )‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.‎ - 26 -‎ ‎【详解】因为，，则，‎ 所以，‎ 设与共线的单位向量为，‎ 则，‎ 解得 或 所以与共线的单位向量为或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.‎ ‎3.已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】根据题意，，解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.‎ ‎4.已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.‎ ‎【详解】根据题意，，所以点的坐标为，‎ 又 ，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.‎ ‎5.下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( )‎ A. . B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.‎ ‎【详解】A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；‎ B中，，所以在区间上为减函数，则错误；‎ - 26 -‎ D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.‎ ‎6.已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.‎ ‎【详解】已知与分别为函数与函数的图象上一点，‎ 可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，‎ 设抛物线的切点为，则由可得，‎ ‎，所以切点为，‎ 则切点到直线的距离为线段的最小值，‎ 则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.‎ ‎7.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间 - 26 -‎ 内的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.‎ ‎【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，‎ 所以 的周期为， 则， ‎ 所以，‎ 由正弦函数和正切函数图象可知正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.‎ ‎8.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且 - 26 -‎ ‎，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.‎ ‎【详解】由得，‎ 即，即，‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理，所以，‎ 由的面积公式得 故选：A ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎9.在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.‎ ‎【详解】由题意，直角梯形中，，，，，‎ 可求得，所以·‎ ‎∵点在线段上， 设 ， ‎ 则 ‎，‎ 即，‎ 又因为 所以，‎ 所以，‎ 当时，等号成立.‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.‎ ‎10.已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则 - 26 -‎ ‎，，的大小关系为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.‎ ‎【详解】因为，且的图象经过第一、二、四象限，‎ 所以，，‎ 所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又，，‎ 则|，‎ 即，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.‎ ‎11.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ - 26 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则，‎ 所以当时，，‎ 在有且仅有5个零点， ‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.‎ ‎12.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数 - 26 -‎ 的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.‎ 详解】设函数，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 或，‎ 因为 时，，‎ 或时，，，其图象如下：‎ - 26 -‎ 当时，至多一个整数根；‎ 当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知函数，若，则的取值范围是__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】当时， ，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 故的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.‎ ‎14.若，则____.‎ - 26 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.‎ ‎【详解】因为， 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.‎ ‎15.如图，已知扇形的半径为1，面积为，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角，再根据等腰三角形性质求出，利用向量的数量积公式求出.‎ ‎【详解】设角， 则，‎ ‎，‎ - 26 -‎ 所以在等腰三角形中，，‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.‎ ‎16.在中，角，，所对的边分别边，且，设角的角平分线交于点，则的值最小时，___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.‎ ‎【详解】因为，则，‎ 由余弦定理得：‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 又因为，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.‎ - 26 -‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.‎ ‎17.已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，求得，，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；‎ ‎（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.‎ ‎【详解】（1） 因为 ， ， ‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以函数的最小正周期为.‎ ‎ （2）因为，所以 ‎，‎ - 26 -‎ 所以，‎ 故函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.‎ ‎18.已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；‎ ‎（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，‎ - 26 -‎ ‎，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 又因为和，‎ 则，‎ 所以 得 解得，即， ‎ 故的取值范围为；‎ ‎（2） 由于恒成立，‎ 恒成立，‎ 设，‎ ‎ 则 ‎， ‎ 令， 则，‎ - 26 -‎ 所以在区间上单调递增， ‎ 所以，‎ 根据条件，只要 ，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.‎ ‎19.在中， 角，，的对边分别为， 其中， .‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，，为边上的任意一点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；‎ ‎（2）在中， 由余弦定理得，在中结合正弦定理求出，从而得出，即可得出的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出的最小值.‎ ‎【详解】（1） ，‎ ‎，‎ 由题知，，则，则 ‎，‎ - 26 -‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）在中， 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 设， 其中.‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以的几何意义为两点连线斜率的相反数，‎ 数形结合可得，‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.‎ ‎20.已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）‎ ‎（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）e；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；‎ ‎（2）设，求导，求出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.‎ ‎【详解】（1）根据题意，与的图象关于直线对称，‎ 所以函数的图象与互为反函数，则,，‎ 设点，，又，‎ 当时，，‎ 曲线在点处的切线为，‎ 即，代入点，‎ 得，即，‎ 构造函数， ‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 且，当时，单调递增，‎ 而， 故存在唯一的实数根.‎ - 26 -‎ ‎（2）由于不等式恒成立，‎ 可设，‎ 所以，‎ 令，得. ‎ 所以当时，；当时，，‎ 因此函数在是增函数，在是减函数. ‎ 故函数的最大值为 .‎ 令， ‎ 因为， ，‎ 又因为在是减函数.‎ 所以当时，.‎ 所以正整数的最小值为2.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.‎ ‎21.某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.‎ - 26 -‎ ‎（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；‎ ‎（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.‎ ‎【答案】（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；‎ ‎（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.‎ ‎【详解】（1）由题可知，设点的坐标为，‎ 又，‎ 则直线的方程为，‎ - 26 -‎ 由此得直线与坐标轴交点为：，‎ 则，故，‎ 设，则.‎ 令，解得=10.‎ 当时，是减函数；‎ 当时，是增函数.‎ 所以当时，函数有极小值，也是最小值， ‎ ‎ 所以， 此时.‎ 故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.‎ ‎（2） 在中，，,‎ 所以， ‎ 所以，‎ 根据正弦定理 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又， ‎ 所以.‎ 在中，，，‎ 由勾股定理可得，‎ - 26 -‎ 即，‎ 解得，（千米）.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.‎ ‎22.已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若方程有两个实根，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；‎ ‎（2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.‎ ‎【详解】（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.‎ 则在上单调递减，‎ 因为，‎ - 26 -‎ 当时，内单调递减.，‎ 当时，由，有，‎ 此时，当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 综上，，所以. ‎ ‎（2）由为方程的两个实根，‎ 得，‎ 两式相减，可得， ‎ 因此，‎ 令，由，得， ‎ 则，‎ 构造函数.‎ 则，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 故，‎ 即， 可知，‎ 故，命题得证.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能力和计算能力.‎ - 26 -‎ - 26 -‎