浙江省2021届高三上学期9月百校联考数学试题 Word版含答案 16页

‎2020～2021学年金色联盟-浙江省百校联考 数学试卷 ‎ 注意事项：‎ ‎1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;‎ ‎2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 球的表面积公式 S=4πR2‎ 球的体积公式 V=πR3‎ 其中R表示球的半径 锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高 柱体的体积公式 V=Sh 其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高 台体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, ‎ h表示台体的高 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则（　　）‎ A． B． C．　 D．‎ ‎2．复数（为虚数单位）的虚部为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若实数，满足约束条件，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数的部分图象是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎（第5题图）‎ ‎5．一个空间几何体的三视图(单位：)如 ‎ 图所示，则该几何体的体积为（ ）．‎ A．　　　　B．　　　　　‎ C．　　 D．‎ ‎6．“空间三个平面，，两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知，且，设，，则（　　）‎ A．　　　B．　 　C．　 D．‎ ‎8．已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是( )‎ A． B. C. D. ‎ ‎9．已知数列，，，，n∈N*，则 （　　）‎ A． B. C. D. ‎ ‎10．已知向量，，，，，则（　　）‎ A． 　　　　　 B． 　　　　　 C．　　　　　 D． ‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题 (本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分)‎ ‎11．已知数列中,,且点在抛物线上,则数列的前4项和是　　．‎ ‎12．二项式的展开式中,常数项为_____，若，则等于______．‎ ‎13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则_____,_______．‎ ‎14．在棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,过点的平面截正方体所得的平面多边形的周长为________，该截面与底面所成锐二面角的正切值为_______．‎ ‎15．在一袋中有个大小相同的球,其中记上的有个，记上号的有个(＝，，，)，现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则______，若，且，则_____．‎ ‎16．已知函数有两个零点为和，则实数的范围是 ‎　▲ ． ‎ ‎17．已知函数，，设的最大值为，若时，则的取值范围为　▲ ． ‎ 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)‎ ‎18．(本小题满分14分)‎ 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）设点是的中点，若,求的取值范围．‎ ‎19． (本小题满分15分)‎ 如图，平面平面，且菱形与菱形全等，且，为中点.‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）求直线与平面的所成角的正弦值.‎ ‎20． (本小题满分15分)‎ 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）证明：，设的前项的和为，求证：.‎ ‎21．(本小题满分15分)‎ 设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.‎ ‎（I）求抛物线方程和椭圆方程；‎ ‎（II）若不经过的直线与抛物线交于两点，且(为坐标原点)，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎22．(本小题满分15分) ‎ 已知函数.‎ ‎（I）若在有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（II），证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎2020～2021学年金色联盟-浙江省百校联考 数学试卷 注意事项：‎ ‎1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;‎ ‎2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 球的表面积公式 S=4πR2‎ 球的体积公式 V=πR3‎ 其中R表示球的半径 锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高 柱体的体积公式 V=Sh 其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高 台体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, ‎ h表示台体的高 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C C A D A B A D C B 提示：‎ ‎8. D 解：如图所示，因双曲线线的渐近线为，‎ 对于，直线：，‎ 由原点到直线：的距离得，因此，‎ 则根据几何图形的性质可得，‎ 根据双曲线的定义得，‎ 因此可得，则双曲线的线近线为．‎ ‎ ‎ ‎9．C 解：因，，‎ ‎10．B 解：由 ‎，则 ‎；‎ 则问题转化为四边形中，‎ 二、填空题 (本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分)‎ ‎11． 12．； 13．； 14．， ‎ ‎15．； 16． 17．‎ 提示：‎ ‎16． 解：令，‎ 则，，因，又，则，‎ 可得，则，即 ‎17． 解：‎ ‎，由题意得的含义即：存在，对于任意的，的最小值为1，由于在数轴上的点和点之间的距离恰为2，因此要使得的最小值为1，则必有且，解得.‎ 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)‎ ‎18．解：（I）在中，‎ 由正弦定理，可得，‎ 又由，可得，‎ 即，………………………………………………………………… 3分 即，可得，‎ 又因为，所以． …………………………………………………… 7分 ‎（II）法一：如图，延长到，满足，连接，‎ 则为平行四边形，且，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 即，可得，即，……………… 10分 由基本不等式得：，‎ 即，即，可得 ‎（当且仅当取等号号） ……………………………………… 12分 又由，即，‎ 故的取值范围是 .………………………………………………………… 14分 法二：也可以用中线向量+基本不等式解决，酌情给分.‎ ‎19．解：（I）连接交于，连接，易知.因为平面，‎ 平面，所以平面. ………………………… 3分 又，同理可证平面.‎ 又因为，所以平面平面. ………………………… 7分 ‎（II）（几何法）连接，由菱形与菱形全等且，‎ 可得出，.‎ 所以，又平面平面且相交于，所以平面.‎ 由，又且，所以平面，‎ 平面平面，‎ 过作，所以平面，‎ 连接，由,所以即为直线与平面的所成角. ……… 10分 由（I）平面平面,‎ 即为直线与平面的所成角. ……………… 12分 由条件有，.‎ 在直角三角形中，，所以，则 所以，又在直角三角形,,所以 易知，所以.‎ 则直线与平面的所成角的正弦值为． ………………………15分 ‎（II）（坐标法）连接，由菱形与菱形全等且，‎ 可得出，.‎ 所以，又平面平面且相交于，所以平面.‎ 则可以以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，令，则，，，，， ……… 10分 设平面的法向量为，则由得 则可令，得，，平面的法向量为， ………… 12分 设直线与平面的所成角为，，‎ 则直线与平面的所成角的正弦值为． ……………… 15分 ‎20. 解：（1）由是，的等差中项得，‎ 所以，解得， ……………………………3分 由，得，解得或，‎ 因为，所以. ………………………………6分 所以. …………………………………7分 ‎（Ⅱ）先证右边，‎ ‎ ………………………………11分 又有， ………………………………15分 ‎21．解：(Ⅰ)由已知得，，，‎ ‎ 所以抛物线方程为，椭圆方程为. ………………5分 ‎(Ⅱ)设直线方程为：，‎ 由消去得，，‎ 设，则 ‎ 因为 ……………7分 所以或(舍去)，所以直线方程为：. …………9分 由消去得，.‎ 设，则 ……………11分 所以 ‎ ‎ ‎ . ……………13分 令，则，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即时，取最大值. ………………15分 ‎22．证明：（I）设函数．‎ 在有两个零点当且仅当在有两个零点．‎ ‎（i）当时，，没有零点；‎ ‎（ii）当时，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以在单调递减，在单调递增．‎ 故是在的最小值．‎ ‎①若，即，在没有零点；‎ ‎②若，即，在只有一个零点；‎ ‎③若，即，由于，所以在有一个零点，‎ 当时，易证 ，所以．‎ 故在也有一个零点，因此在有两个零点．‎ 综上，在有两个零点时，．‎ 注：采用分离参数进行求解也可以 ‎（II）证明：，‎ 故，令，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，，，‎ 由零点存在性定理及的单调性知，‎ 方程在有唯一根，‎ 设为且，从而有两个零点和，‎ 所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增，‎ 从而存在唯一的极大值点即证，‎ 由得，，‎ 取等不成立，所以得证，‎ 又，在单调递增，‎ 所以得证.‎ 从而.‎