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- 2021-06-24 发布
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浙江省宁波市十校2020届高三3月联考
数学试题
参考公式:
如果事件,互斥,那么
如果事件,相互独立,那么
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积,表示台体的高
柱体的体积公式其中表示柱体的底面积,表示柱体的高
锥体的体积公式其中表示锥体的底面积,表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式其中表示球的半径
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据交集的定义计算即可得到答案.
【详解】因为,,
所以.
故选:B.
【点睛】本题考查集合的交运算,考查基本运算求解能力,属于容易题.
- 20 -
2.双曲线离心率( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由标准方程求出和,继而可求离心率.
【详解】解:,所以. 由 可知..
故选:A.
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了离心率的求解.
3.若满足约束条件,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域,通过平移 分析即可得最优解,代回中即可求出最小值.
【详解】解:画出可行域为如图所示的阴影部分.由可知.
则当过时,.
故选:B.
- 20 -
【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下,首先画出可行域,然后根据目标函数的几何意义,分析出最优解.这里在画可行域时应注意,边界线是实线还是虚线.
4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:),可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图还原出几何体,依据锥体体积的公式即可求解.
【详解】解:由三视图可知,该几何体为底面是正方形的四棱锥,高为2.
所以体积为.
故选:C.
【点睛】本题考查了几何体体积求解,考查了三视图.
5.函数的图像如图所示,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
- 20 -
【解析】
【分析】
由解析式及图像判断出,结合复合函数单调性,可知.
【详解】解:由可知, ,所以函数对称轴为,由图可知.设 ,则.由图可知,
函数先增后减.因为单调递增,所以应先增后减,故.
故选:D.
【点睛】本题考查了函数的图像,考查了复合函数的单调性.若,则该函数的对称轴为;对于复合函数的单调性,遵循同增异减的原则.
6.设,则“”关于的方程“有实数根”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
以为条件,判断有实数根是否成立;以有实数根为条件,判断是否成立,即可选出正确答案.
【详解】解:当时, ,此时有实数根;
当有实数根时,,即.
故选:A.
【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步,若,则 是 的充分条件;若,则 是 的必要条件.
7.正方体,是线段(不含端点)上的点.记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则( )
- 20 -
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
不妨设 为 的中点,连接交于,做 的中点为 ,连接
,经过分析,从而可求出,进而可比较三个角的大小.
【详解】解:如图,不妨设 为 的中点,连接交于,做 的中点为 ,
连接,则面.设正方体的边长为.
由题意知.,
,则; 则;
.因为,所以.
故选:A.
【点睛】本题考查了线线角,考查了线面角,考查了二面角.对于空间中角的问题,在求解时有两种思路,一是按定义直接找到所求角,结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解;二是结合空间向量求解.
8.已知随机变量的分布列如下:
- 20 -
则( )
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最小值0 D. 有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】
由所有概率之和为1求出,进而可求,,结合
,可求最值.
【详解】解:由题意知,,即.则,
所以没有最值.
.由可知,当时,有最大值为.
故选:D.
【点睛】本题考查了分布列,考查了数学期望,考查了方差.对于分布列的题目,隐藏条件为,所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.
9.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,这样的四位数一共有( )个.
A. 576 B. 1296 C. 1632 D. 2020
【答案】B
【解析】
【分析】
- 20 -
分成两种情况:取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可;第二种情况下,千位有3种可能,再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.
【详解】解:当取出的4个数字中没0时,再组成四位数,这样的四位数有个;
当取出的4个数字中有0时,共有中组合,这四位数字所组成的四位数有
个,所以这种情况下的四位数共有个.
故选:B.
【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数,千位不能为零.
10.数列满足,则( )
A. 存在,使 B. 存在,,
C. 存在, D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由数列单调性的定义作差可得,可得为递增数列,又
,两边取到数,结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.
【详解】解:由题意知, .由于 ,所以,
则,所以为递增数列. ,,
.即,则
- 20 -
.由为递增数列,可得,则.
即
故选:D.
【点睛】本题考查了数列递推式的应用,考查数列的单调性,考查了裂项求和,考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.
非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,多空题每小题6分,共36分
11.欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数域,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知,___________
【答案】1
【解析】
【分析】
由已知可知,运用诱导公式可求出,以及,继而可求.
【详解】解:由题意知,,,
同理,.故.
故答案为:1.
【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数求值,考查了推理能力和计算能力.
12.的展开式中项的系数为___________
【答案】14
【解析】
【分析】
由二项式定理写出通向,求出通项中,即可求系数.
【详解】解: 展开式中的第 项为,则
- 20 -
当时,;当时,,.
故答案为:14.
【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.
13.在四边形中,且,则___________,___________
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出 的值,利用勾股定理逆定理判断,由正弦定理和诱导公式即可求出的值.
【详解】解:在中,由余弦定理可知
即,.又,
所以.由,可知 .
故答案为: ;.
【点睛】本题考查了余弦定理,考查了正弦定理,考查了诱导公式.本题的关键是判断.在解三角形时,已知两边及其夹角或已知三边,一般套用余弦定理求解;已知两角及一角的对边,常用正弦定理解三角形.
14.已知直线,椭圆,点,若直线和椭圆有两个不同交点,则周长是___________,的重心纵坐标的最大值是___________
【答案】 (1). (2).
- 20 -
【解析】
【分析】
由椭圆的定义可求出三角形的周长为;设,联立直线与椭圆的方程,消去,即可求出,进而可知重心纵坐标为,分 两种情况,结合基本不等式,即可求出,从而可求出重心纵坐标的最大值.
【详解】解:由题意知,可知恒过定点,此点为椭圆的左焦点,记为.
则.所以周长为
.设
设的重心纵坐标为.则 .联立直线与椭圆方程得
,整理得.
则,
所以.当 时,,
当且仅当,即 时,等号成立,此时;
当时,,当且仅当,
即时,等号成立,此时.
- 20 -
综上所述:.所以的重心纵坐标的最大值是.
故答案为: ;.
【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题,常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时,未对 进行讨论.应用基本不等式时,一定要注意一正二定三相等.
15.的值域为___________;若函数的两个不同零点,满足,则实数的取值范围是___________
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
将函数化为分段函数的形式,作出图像,即可求出值域;依题意,的零点必然在和上或者和上,分类讨论结合已知即可求出.
【详解】解:,作出图像如下,由图像可知,函数的值域为.
由得,显然,零点必然在和上或和上,
令,解得,又,则,
由,可得;令,解得,
- 20 -
又,则,同时,得.
综上所述:.
故答案为:;.
【点睛】本题考查了函数值域的求法,考查函数零点与方程根的关系,考查不等式的求解,考查数形结合的思想,考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时,一般采用的思路有:图像法、导数法、结合函数的性质等.
16.已知双曲线,曲线,则曲线的交点个数是___________个,原点与曲线上的点之间的距离最小值是___________
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
联立曲线的方程,通过配方法,解方程可判断交点个数;由两点的距离公式和三角换元,结合同角公式和二倍角公式,以及正弦函数的值域,可得所求最小值.
【详解】解:联立方程组 ,整理可得,,即,
由可知方程无解,即两条曲线没有交点.设曲线上的点为,
则原点与上的点之间的距离为.设,,
代入得
整理得.由,可得,解得
当 时,取最小值为2.
故答案为: ;.
- 20 -
【点睛】本题考查曲线方程的关系,考查两曲线的交点个数,考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大,计算容易出错.
17.设向量,记,若圆上的任意三点,且,则的最大值是___________
【答案】16
【解析】
【分析】
设,根据条件得,则
,所以当直线 与圆相切时, 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.
【详解】解:由圆的方程得,则圆心,半径.
设,由得为直径,
由此可得,即.
则,为圆上的一点,
当直线与圆相切时, 有最大值.则圆心到直线的距离
,解得或.则当时, 有最大值为16.
故答案为:16.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查平面向量的运算,考查转化的思想.本题的难点在于将的最值问题转化为直线与圆相切的问题.
三、解答题
18.设函数.
(1)已知,函数是奇函数,求的值;
(2)若,求.
【答案】(1)或(2)
- 20 -
【解析】
【分析】
(1)由三角恒等变换求得,再由奇函数可知,结合可求出符合题意的的值.
(2)由可求出,,则所求,即可求出值.
【详解】解:(1),
因为为奇函数,所以,解得
∵∴当或 时,或.
(2)因为,所以,即,可得
所以
当时,;当时,.
【点睛】本题考查了辅助角公式,考查了三角恒等变换,考查了同角三角函数的基本关系,考查了正弦函数的奇偶性.若已知 为奇函数,则;若已知为偶函数,则.
19.如图,三棱锥中,是正三角形,是直角三角形,点是的中点,且,.
(1)求证:;
- 20 -
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连接,通过证明,则可证面,从而证明线线垂直.
(2)由面可知二面角为直二面角,作于,则 平面,连接,则 是 和平面所成的角,由此能求出 和平面所成的角的正弦值.
【详解】解:(1)证明:在和中,∵,
∴,∴.∴为等腰直角三角形
取的中点,连接,则,
∴面,面,∴
(2)∵面,∴二面角为直二面角,作于,则平面,连接,则为和平面所成的角.
设,则的边长为4,.
中,
中,,为的中点,∴,
在中,,故与平面所成角的正弦值
【点睛】本题考查了线线垂直的证明,考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时,可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时,有两种思路,一是直接找到二面角,在三角形内进行求解;二是建立空间直角坐标系,结合空间向量进行求解.
20.设等差数列的前项和为,.数列的前项和为,,.
(1)求数列,的通项公式;
- 20 -
(2)记,数列的前项和为,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)结合基本量法,将已知用首项和公差表示出来,即可求出通项公式;由推出,两式相减进行整理可求出的通项公式.
(2)求出,分别讨论 为奇数和偶数,结合数列的分组求和,以及裂项法、放缩法,结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.
【详解】解:(1)∵∴,∴
∵,∴,两式相减得,,则
(2)①当时,则形,
∵,
当时,
∴,∴成立.
②当时,成立.
综上①②得:
【点睛】本题考查了等差数列通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了裂项求和,考查了分组求和,考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对 取奇数和偶数进行讨论.
21.已知点,,抛物线上点处的切线交轴于点,且直线交抛物线于另一个点,过点作的平行线轴于点.
- 20 -
(1)证明:;
(2)记直线,与轴围成的三角形面积为,的面积为,是否存在实数,使?若存在,求实数的值若不存在,请说明理.
【答案】(1)证明见解析(2)存在;
【解析】
【分析】
(1)设,,则可知直线的方程,由在可知,求出在处的切线的方程可得,从而可求出直线的方程,继而可得,由可证明平行.
(2)设直线 相交于点,则 ,四边形为平行四边形,由此推导出存在使得.
【详解】解:(1)证明:设,,则直线的方程为
由在可知,,又在处的切线的方程为,
令可得即∴.直线的方程为
,令可得即
∴即
(2)设和相交于点则,由(1)可知,四边形为平行四边形
∴,
∵,∴,即存在
【点睛】本题考查了线线平行的证明,考查了直线方程,考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大,应注意计算的准确性,避免出错.在解析几何中,若证明两条直线平行,通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.
- 20 -
22.已知函数,其中为自然对数的底.
(1)试求函数的单调区;
(2)若函数的定义域为,且存在极小值.
①求实数的取值范围;
②证明:.(参考数据:)
【答案】(1)函数在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)①②证明见解析
【解析】
【分析】
(1)求出导数为,令导数为零,解方程,结合函数的定义域,可探究 随 的变化情况,即可求出单调区间.
(2)①由定义域为可知恒成立,所以,可求出,求出,令得,结合第一问的单调性可知,即.②由及可知存在,使,则极小值.结合导数可证明在上递增,从而可求.
【详解】(1)求导得,由,解得.
当时,;当时,.又因为函数的定义域为,
故函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)①因为函数的定义域为,则恒成立
故,即
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又
则等价于,
由(1)知在上递增,在上递减,
故函数存在极小值,必有,即.
②又,,故对任意,
存在,使,即,
因此,在上递增,在上递减,
所以,极小值.
记函数,,则,即在上递增,
故,即,所以,.
【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解,考查了结合导数证明不等式,考查了极值的求解,考查了不等式恒成立问题.
- 20 -
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