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  • 2021-06-24 发布

浙江省宁波市十校2020届高三下学期3月联考数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 浙江省宁波市十校2020届高三3月联考 数学试题 参考公式:‎ 如果事件,互斥,那么 如果事件,相互独立,那么 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积,表示台体的高 柱体的体积公式其中表示柱体的底面积,表示柱体的高 锥体的体积公式其中表示锥体的底面积,表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式其中表示球的半径 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据交集的定义计算即可得到答案.‎ ‎【详解】因为,,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算,考查基本运算求解能力,属于容易题.‎ - 20 -‎ ‎2.双曲线离心率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由标准方程求出和,继而可求离心率.‎ ‎【详解】解:,所以. 由 可知..‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了离心率的求解.‎ ‎3.若满足约束条件,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件画出可行域,通过平移 分析即可得最优解,代回中即可求出最小值.‎ ‎【详解】解:画出可行域为如图所示的阴影部分.由可知.‎ 则当过时,.‎ 故选:B.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下,首先画出可行域,然后根据目标函数的几何意义,分析出最优解.这里在画可行域时应注意,边界线是实线还是虚线.‎ ‎4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:),可得这个几何体的体积是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原出几何体,依据锥体体积的公式即可求解.‎ ‎【详解】解:由三视图可知,该几何体为底面是正方形的四棱锥,高为2.‎ 所以体积为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体体积求解,考查了三视图.‎ ‎5.函数的图像如图所示,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解析式及图像判断出,结合复合函数单调性,可知.‎ ‎【详解】解:由可知, ,所以函数对称轴为,由图可知.设 ,则.由图可知,‎ 函数先增后减.因为单调递增,所以应先增后减,故.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图像,考查了复合函数的单调性.若,则该函数的对称轴为;对于复合函数的单调性,遵循同增异减的原则.‎ ‎6.设,则“”关于的方程“有实数根”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为条件,判断有实数根是否成立;以有实数根为条件,判断是否成立,即可选出正确答案.‎ ‎【详解】解:当时, ,此时有实数根;‎ 当有实数根时,,即.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步,若,则 是 的充分条件;若,则 是 的必要条件.‎ ‎7.正方体,是线段(不含端点)上的点.记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则( )‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设 为 的中点,连接交于,做 的中点为 ,连接 ‎,经过分析,从而可求出,进而可比较三个角的大小.‎ ‎【详解】解:如图,不妨设 为 的中点,连接交于,做 的中点为 ,‎ 连接,则面.设正方体的边长为.‎ 由题意知., ‎ ‎,则; 则;‎ ‎.因为,所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了线线角,考查了线面角,考查了二面角.对于空间中角的问题,在求解时有两种思路,一是按定义直接找到所求角,结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解;二是结合空间向量求解.‎ ‎8.已知随机变量的分布列如下:‎ - 20 -‎ 则( )‎ A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值0 D. 有最大值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所有概率之和为1求出,进而可求,,结合 ‎,可求最值.‎ ‎【详解】解:由题意知,,即.则,‎ 所以没有最值. ‎ ‎.由可知,当时,有最大值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了分布列,考查了数学期望,考查了方差.对于分布列的题目,隐藏条件为,所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.‎ ‎9.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,这样的四位数一共有( )个.‎ A. 576 B. 1296 C. 1632 D. 2020‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 分成两种情况:取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可;第二种情况下,千位有3种可能,再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.‎ ‎【详解】解:当取出的4个数字中没0时,再组成四位数,这样的四位数有个;‎ 当取出的4个数字中有0时,共有中组合,这四位数字所组成的四位数有 个,所以这种情况下的四位数共有个. ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数,千位不能为零.‎ ‎10.数列满足,则( )‎ A. 存在,使 B. 存在,,‎ C. 存在, D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列单调性的定义作差可得,可得为递增数列,又 ‎,两边取到数,结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.‎ ‎【详解】解:由题意知, .由于 ,所以,‎ 则,所以为递增数列. ,,‎ ‎.即,则 - 20 -‎ ‎.由为递增数列,可得,则.‎ 即 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推式的应用,考查数列的单调性,考查了裂项求和,考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.‎ 非选择题部分(共110分)‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,多空题每小题6分,共36分 ‎11.欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数域,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知,___________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知,运用诱导公式可求出,以及,继而可求.‎ ‎【详解】解:由题意知,,,‎ 同理,.故.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数求值,考查了推理能力和计算能力.‎ ‎12.的展开式中项的系数为___________‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理写出通向,求出通项中,即可求系数.‎ ‎【详解】解: 展开式中的第 项为,则 - 20 -‎ 当时,;当时,,.‎ 故答案为:14.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.‎ ‎13.在四边形中,且,则___________,___________‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出 的值,利用勾股定理逆定理判断,由正弦定理和诱导公式即可求出的值.‎ ‎【详解】解:在中,由余弦定理可知 ‎ 即,.又,‎ 所以.由,可知 .‎ 故答案为: ;.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理,考查了正弦定理,考查了诱导公式.本题的关键是判断.在解三角形时,已知两边及其夹角或已知三边,一般套用余弦定理求解;已知两角及一角的对边,常用正弦定理解三角形.‎ ‎14.已知直线,椭圆,点,若直线和椭圆有两个不同交点,则周长是___________,的重心纵坐标的最大值是___________‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义可求出三角形的周长为;设,联立直线与椭圆的方程,消去,即可求出,进而可知重心纵坐标为,分 两种情况,结合基本不等式,即可求出,从而可求出重心纵坐标的最大值.‎ ‎【详解】解:由题意知,可知恒过定点,此点为椭圆的左焦点,记为.‎ 则.所以周长为 ‎.设 ‎ 设的重心纵坐标为.则 .联立直线与椭圆方程得 ‎ ,整理得.‎ 则, ‎ 所以.当 时,,‎ 当且仅当,即 时,等号成立,此时;‎ 当时,,当且仅当,‎ 即时,等号成立,此时.‎ - 20 -‎ 综上所述:.所以的重心纵坐标的最大值是.‎ 故答案为: ;.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题,常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时,未对 进行讨论.应用基本不等式时,一定要注意一正二定三相等.‎ ‎15.的值域为___________;若函数的两个不同零点,满足,则实数的取值范围是___________‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数化为分段函数的形式,作出图像,即可求出值域;依题意,的零点必然在和上或者和上,分类讨论结合已知即可求出.‎ ‎【详解】解:,作出图像如下,由图像可知,函数的值域为.‎ 由得,显然,零点必然在和上或和上,‎ 令,解得,又,则,‎ 由,可得;令,解得,‎ - 20 -‎ 又,则,同时,得. 综上所述:.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查了函数值域的求法,考查函数零点与方程根的关系,考查不等式的求解,考查数形结合的思想,考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时,一般采用的思路有:图像法、导数法、结合函数的性质等.‎ ‎16.已知双曲线,曲线,则曲线的交点个数是___________个,原点与曲线上的点之间的距离最小值是___________‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立曲线的方程,通过配方法,解方程可判断交点个数;由两点的距离公式和三角换元,结合同角公式和二倍角公式,以及正弦函数的值域,可得所求最小值.‎ ‎【详解】解:联立方程组 ,整理可得,,即,‎ 由可知方程无解,即两条曲线没有交点.设曲线上的点为,‎ 则原点与上的点之间的距离为.设,,‎ 代入得 ‎ 整理得.由,可得,解得 当 时,取最小值为2.‎ 故答案为: ;.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查曲线方程的关系,考查两曲线的交点个数,考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大,计算容易出错.‎ ‎17.设向量,记,若圆上的任意三点,且,则的最大值是___________‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,根据条件得,则 ‎,所以当直线 与圆相切时, 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.‎ ‎【详解】解:由圆的方程得,则圆心,半径.‎ 设,由得为直径,‎ 由此可得,即.‎ 则,为圆上的一点,‎ 当直线与圆相切时, 有最大值.则圆心到直线的距离 ‎,解得或.则当时, 有最大值为16.‎ 故答案为:16.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查平面向量的运算,考查转化的思想.本题的难点在于将的最值问题转化为直线与圆相切的问题.‎ 三、解答题 ‎18.设函数.‎ ‎(1)已知,函数是奇函数,求的值;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎【答案】(1)或(2)‎ - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由三角恒等变换求得,再由奇函数可知,结合可求出符合题意的的值.‎ ‎(2)由可求出,,则所求,即可求出值.‎ ‎【详解】解:(1),‎ 因为为奇函数,所以,解得 ‎∵∴当或 时,或.‎ ‎(2)因为,所以,即,可得 所以 当时,;当时,.‎ ‎【点睛】本题考查了辅助角公式,考查了三角恒等变换,考查了同角三角函数的基本关系,考查了正弦函数的奇偶性.若已知 为奇函数,则;若已知为偶函数,则.‎ ‎19.如图,三棱锥中,是正三角形,是直角三角形,点是的中点,且,.‎ ‎(1)求证:;‎ - 20 -‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取的中点,连接,通过证明,则可证面,从而证明线线垂直.‎ ‎(2)由面可知二面角为直二面角,作于,则 平面,连接,则 是 和平面所成的角,由此能求出 和平面所成的角的正弦值.‎ ‎【详解】解:(1)证明:在和中,∵,‎ ‎∴,∴.∴为等腰直角三角形 取的中点,连接,则,‎ ‎∴面,面,∴‎ ‎(2)∵面,∴二面角为直二面角,作于,则平面,连接,则为和平面所成的角.‎ 设,则的边长为4,.‎ 中,‎ 中,,为的中点,∴,‎ 在中,,故与平面所成角的正弦值 ‎【点睛】本题考查了线线垂直的证明,考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时,可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时,有两种思路,一是直接找到二面角,在三角形内进行求解;二是建立空间直角坐标系,结合空间向量进行求解.‎ ‎20.设等差数列的前项和为,.数列的前项和为,,.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ - 20 -‎ ‎(2)记,数列的前项和为,证明:.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)结合基本量法,将已知用首项和公差表示出来,即可求出通项公式;由推出,两式相减进行整理可求出的通项公式.‎ ‎(2)求出,分别讨论 为奇数和偶数,结合数列的分组求和,以及裂项法、放缩法,结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.‎ ‎【详解】解:(1)∵∴,∴‎ ‎∵,∴,两式相减得,,则 ‎(2)①当时,则形,‎ ‎∵,‎ 当时,‎ ‎∴,∴成立.‎ ‎②当时,成立.‎ 综上①②得:‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了裂项求和,考查了分组求和,考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对 取奇数和偶数进行讨论.‎ ‎21.已知点,,抛物线上点处的切线交轴于点,且直线交抛物线于另一个点,过点作的平行线轴于点.‎ - 20 -‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)记直线,与轴围成的三角形面积为,的面积为,是否存在实数,使?若存在,求实数的值若不存在,请说明理.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)存在;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,,则可知直线的方程,由在可知,求出在处的切线的方程可得,从而可求出直线的方程,继而可得,由可证明平行.‎ ‎(2)设直线 相交于点,则 ,四边形为平行四边形,由此推导出存在使得.‎ ‎【详解】解:(1)证明:设,,则直线的方程为 由在可知,,又在处的切线的方程为,‎ 令可得即∴.直线的方程为 ‎,令可得即 ‎∴即 ‎(2)设和相交于点则,由(1)可知,四边形为平行四边形 ‎∴,‎ ‎∵,∴,即存在 ‎【点睛】本题考查了线线平行的证明,考查了直线方程,考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大,应注意计算的准确性,避免出错.在解析几何中,若证明两条直线平行,通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.‎ - 20 -‎ ‎22.已知函数,其中为自然对数的底.‎ ‎(1)试求函数的单调区;‎ ‎(2)若函数的定义域为,且存在极小值.‎ ‎①求实数的取值范围;‎ ‎②证明:.(参考数据:)‎ ‎【答案】(1)函数在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)①②证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导数为,令导数为零,解方程,结合函数的定义域,可探究 随 的变化情况,即可求出单调区间.‎ ‎(2)①由定义域为可知恒成立,所以,可求出,求出,令得,结合第一问的单调性可知,即.②由及可知存在,使,则极小值.结合导数可证明在上递增,从而可求.‎ ‎【详解】(1)求导得,由,解得.‎ 当时,;当时,.又因为函数的定义域为,‎ 故函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ ‎(2)①因为函数的定义域为,则恒成立 故,即 - 20 -‎ 又 则等价于,‎ 由(1)知在上递增,在上递减,‎ 故函数存在极小值,必有,即.‎ ‎②又,,故对任意,‎ 存在,使,即,‎ 因此,在上递增,在上递减,‎ 所以,极小值.‎ 记函数,,则,即在上递增,‎ 故,即,所以,.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解,考查了结合导数证明不等式,考查了极值的求解,考查了不等式恒成立问题.‎ - 20 -‎ - 20 -‎