高中数学必修2教案：第一章 1_3_2球的体积和表面积 10页

‎1．3.2　球的体积和表面积 ‎[学习目标]　1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.‎ ‎2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.‎ ‎3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h.‎ ‎4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl，体积V＝πr2h.‎ ‎[预习导引]‎ 球的体积公式与表面积公式 ‎(1)球的体积公式V＝πR3(其中R为球的半径)．‎ ‎(2)球的表面积公式S＝4πR2.‎ 要点一　球的表面积和体积 例1　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；‎ ‎(2)已知球的体积为π，求它的表面积．‎ 解　(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，‎ 所以球的体积V＝πR3＝π·(4)3＝π.‎ ‎(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，‎ 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.‎ 规律方法　1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．‎ ‎2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．‎ 跟踪演练1　一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　)‎ A．64π B. C．32π D.π 答案　D 解析　设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR3＝π.‎ 要点二　球的截面问题 例2　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)‎ A.π B．4π C．4π D．6π 答案　B 解析　如图，设截面圆的圆心为O′，‎ M为截面圆上任一点，‎ 则OO′＝，O′M＝1.‎ ‎∴OM＝＝.‎ 即球的半径为.‎ ‎∴V＝π()3＝4π.‎ 规律方法　有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．‎ 跟踪演练2　已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．‎ 答案　1或7‎ 解析　若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为－＝1；‎ 若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为＋＝7.‎ 要点三　球的组合体与三视图 例3　某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．‎ 解　由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为 S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.‎ 该几何体的体积为 V＝23＋×π×13＝8＋.‎ 规律方法　1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．‎ ‎2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．‎ 跟踪演练3　已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．‎ 答案　12π 解析　由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝2，∴R＝.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.‎ ‎1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)‎ A．36π，144π B．36π，36π C．144π，36π D．144π，144π 答案　B 解析　球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.‎ ‎2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)‎ A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 答案　C 解析　设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．‎ ‎3．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．‎ 答案　 解析　设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，‎ R3＝2，∴R＝.‎ ‎4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．‎ 答案　14π 解析　长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．‎ 答案　3π 解析　由三视图可知，该几何体为一个半径为1‎ 的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.‎ ‎1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法．‎ ‎2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．‎ 一、基础达标 ‎1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)‎ A.π B. C．4π D．32π 答案　C 解析　由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.‎ 设正方体外接球的半径为R，则 a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.‎ ‎2．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(　　)‎ A．8 B．8 C．8 D．4 答案　A 解析　∵球的半径为1，且正方体内接于球，‎ ‎∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝.‎ ‎∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8.‎ ‎3．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m3.‎ 答案　9π＋18‎ 解析　将三视图还原为实物图后求解．‎ 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；‎ 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，‎ 所以V＝π××2＋1×3×6＝9π＋18.‎ ‎4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　)‎ A．1∶ B．1∶3‎ C．1∶3 D．1∶9‎ 答案　C 解析　设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3.‎ ‎5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)‎ A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2‎ C．4πRr D．π(R＋r)2‎ 答案　C 解析　方法一　如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，‎ 解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.‎ 方法二　如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.‎ ‎6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________．‎ 答案　 解析　先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a，球半径为R，‎ 则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.‎ ‎7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？‎ 解　设取出小球后，容器中水面下降h cm，‎ 两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，‎ 此体积即等于它们在容器中排开水的体积 V＝π×52×h，‎ 所以＝π×52×h，‎ 所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.‎ 二、能力提升 ‎8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)‎ A. cm3 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ 答案　A 解析　利用球的截面性质结合直角三角形求解．‎ 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，‎ ‎∴V球＝π×53＝π(cm3)．‎ ‎9．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B.‎ ‎10. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.‎ 答案　4‎ 解析　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．‎ ‎11．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．‎ 解　∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，‎ 也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，‎ ‎∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．‎ 设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r，‎ 在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝＝，‎ ‎∴∠O′CO＝30°，∴＝cos 30°＝，即R＝r，(*)‎ 又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10.‎ ‎∴球的表面积为S＝4πR2＝4π(10)2＝1 200π.‎ 球的体积为V＝πR3＝π(10)3＝4 000π.‎ 三、探究与创新 ‎12. 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)‎ 解　如图所示，‎ 过C作CO1⊥AB于O1.‎ 在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，‎ ‎∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，‎ S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，‎ S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，‎ ‎∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧 ‎＝πR2＋πR2＝πR2.‎ 故旋转所得几何体的表面积为πR2.‎ ‎13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？‎ 解　设圆锥形杯子的高为h cm，‎ 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，‎ 而V半球＝×πr3＝××43，‎ V圆锥＝Sh＝πr2h＝×42×h.‎ 依题意：×42×h≥××43，‎ 解得h≥8，‎ 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．‎ 又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，‎ 当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，‎ 所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．‎