高中数学必修2教案：2_1_2空间直线与直线之间的位置关系 (3) 6页

第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）了解空间中两条直线的位置关系；‎ ‎（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；‎ ‎（3）理解并掌握公理4；‎ ‎（4）理解并掌握等角公理；‎ ‎（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。‎ ‎2．过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.‎ ‎3．情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.‎ 难点：异面直线所成角的计算.‎ ‎（三）教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合；‎ 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？‎ 师投影问题，学生讨论回答 生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.‎ 生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……‎ 师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.‎ 以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.‎ 探索新知 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；‎ 平行直线：同一平面内，没有公共点 ‎1．空间的两条直线位置关系：‎ 共面直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.‎ 师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点 ‎②平行直线—在同一平面内，没有公共点.‎ ‎③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.‎ 随堂练习：‎ 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类 如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.‎ 答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.‎ 生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.‎ 师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”‎ 学生讨论发现不能去掉“任何”‎ 师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”‎ 培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解 ‎（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行 ‎（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.‎ 证明：连接BD，‎ 因为EH是△ABD的中位线，‎ 所以EH∥BD，且.‎ 同理FG∥BD，且.‎ 因为EH∥FG，且EH = FG，‎ 所以 四边形EFGH为平行四边形.‎ 师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.‎ 师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ 师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.‎ 生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.‎ 师（肯定）下面我们来看一个例子 观察图，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？‎ 生：从图中可以看出，‎ ‎∠ADC = ∠A′D′C′，‎ ‎∠ADC + ∠A′B′C′=180°‎ 师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.‎ 培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.‎ 通过分析和引导，培养学生解题能力.‎ 师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.‎ 师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.‎ 探索新知 ‎3．异面直线所成的角 ‎（1）异面直线所成角的概念.‎ 已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).‎ ‎（2）异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.‎ 例3 如图，已知正方体ABCD – A′B′C′D′.‎ ‎（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？‎ ‎（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？‎ ‎（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？‎ 解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.‎ ‎（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.‎ ‎（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.‎ 师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.‎ ‎①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；‎ ‎②两条异面直线所成的角 ‎；‎ ‎③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；‎ ‎④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；‎ ‎⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；‎ ‎⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.‎ 然后师生共同分析例题 加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.‎ 随堂练习 ‎1．填空题：‎ 学生独立完成 答案：.‎ ‎2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与 ‎（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有 条.‎ ‎（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .‎ 答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.‎ ‎2．如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB =，AD =，AA′ =2.‎ ‎（1）BC和A′C′所成的角是多少度？‎ ‎（2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？‎ BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=，B′C′=，所以∠B′C′A′ = 45°.‎ ‎（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角.‎ 在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =，BB′= AA′=2，‎ 所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.‎ 因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.‎ 归纳总结 ‎1．空间中两条直线的位置关系.‎ ‎2．平行公理及等角定理.‎ ‎3．异面直线所成的角.‎ 学生归纳，教师点评并完善 培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.‎ 作业 ‎2.1 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 附加例题 ‎ 例1 “a、b为异面直线”是指：‎ ‎①a∩b =，且a∥b；‎ ‎②a面，b面，且a∩b =；‎ ‎③a面，b面，且∩=；‎ ‎④a面，b面；‎ ‎⑤不存在面，使a面，b面成立.‎ 上述结论中，正确的是（ ）‎ A．①④⑤正确 B．①③④正确 C．仅②④正确 D．仅①⑤正确 ‎【解析】 ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D 例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条. ‎ a b A a′‎ b′‎ O P A′‎ B′‎ ‎【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线 a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有 ‎∠A′PO =∠B′PO = 25°.‎ ‎∵∠APA′＞A′PO，‎ ‎∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.‎ 例3 空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =，且AD⊥BC，对角线BD =，AC =，求AC和BD所成的角。‎ ‎【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG.‎ ‎∥‎ ‎＝‎ ‎∥‎ ‎＝‎ 则 MG ‎ ‎ EM ‎ ‎∵AD⊥BC ∴EM⊥MG 在R t△EMG中，有 在RFG中，∵EF =‎ ‎∴EF 2 +FG 2 = EG 2‎ ‎∴EF⊥FG，即AC⊥BD ‎∴AC和BD所成角为90°.‎ ‎【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为相交直线所成角，注意角的范围是.‎