高三数学总复习学案67 10页

学案67　二项分布及其应用 导学目标： 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．‎ 自主梳理 ‎1．条件概率及其性质 ‎(1)设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．‎ ‎(2)条件概率具有的性质：‎ ‎①__________________；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝________________.‎ ‎2．相互独立事件 ‎(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________.‎ ‎(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______，‎ P(AB)＝________________＝________________.‎ ‎(3)若A与B相互独立，则________________，________________，________________也都相互独立．‎ ‎(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________．‎ ‎3．二项分布 ‎(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ ‎(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布．记作____________．‎ 自我检测 ‎1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，则密码被译出的概率为(　　)‎ A．0.45 B．‎0.05 ‎ C．0.4 D．0.6‎ ‎2．(2011·三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．(2011·临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中至少3次出现正误差的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 探究点一　条件概率 例1　在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件．试求：‎ ‎(1)第一次取到不合格品的概率；‎ ‎ (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．‎ 变式迁移1　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：‎ ‎(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？‎ ‎(2)从2号箱取出红球的概率是多少？‎ 探究点二　相互独立事件 例2　(2011·宁波模拟)甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求 ‎(1)两人都射中的概率；‎ ‎(2)两人中恰有一人射中的概率；‎ ‎(3)两人中至少一人射中的概率；‎ ‎(4)两人中至多一人射中的概率．‎ 变式迁移2　甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是.‎ ‎(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；‎ ‎(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．‎ 探究点三　独立重复试验与二项分布 例3　(2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球 在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.‎ ‎(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；‎ ‎(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率．‎ 变式迁移3　粒子A位于数轴x＝0处，粒子B位于数轴x＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为，向左移动的概率为.‎ ‎(1)求4秒后，粒子A在点x＝2处的概率；‎ ‎(2)求2秒后，粒子A、B同时在x＝2处的概率．‎ ‎1．一般地，每一个随机试验都在一定的条件下进行，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中的P(AB)是指事件A、B同时发生的概率．‎ ‎2．一般地，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，这时，我们称两个事件A、B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．事件的独立是一种对等的性质．如果事件A对事件B独立，那么就可以说事件A与B相互独立．显然，必然事件与任何事件是相互独立的．‎ ‎3．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．‎ ‎4．独立重复试验概率公式的特点：关于Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n、p、k的意义，才能正确运用公式．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是‎3”‎为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2011·温州月考)位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)‎ A.5 B．C5‎ C．C3 D．CC5‎ ‎3．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，问需要几门高射炮射击，才能至少以99%的概率击中它(　　)‎ A．3 B．‎4 ‎ C．5 D．6‎ ‎4．(2011·合肥模拟)‎ 一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．同时抛掷三颗骰子：设A＝“三个点数都不相同”，B＝“至少有一个6点”，则P(B|A)为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2010·湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．‎ ‎7．(2010·重庆)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．‎ ‎8．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口，假设他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都为.求：‎ ‎(1)这名学生在途中遇到红灯次数ξ的分布列；‎ ‎(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数η的分布列；‎ ‎(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．‎ ‎10．(12分)(2011·六安模拟)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．‎ ‎(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；‎ ‎(2)求ξ的分布列；‎ ‎(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．‎ ‎11．(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；‎ ‎(2)比赛打满七局的概率；‎ ‎(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．‎ 学案67　二项分布及其应用 自主梳理 ‎1．(2)①0≤P(B|A)≤1　②P(B|A)＋P(C|A)　2.(1)相互独立　(2)P(B)　P(B|A)P(A)　P(A)P(B)　(3)A与　与B　与　(4)A与B相互独立　3.(2)X～B(n，p)‎ 自我检测 ‎1．C　2.C　3.D　4.B　5.D　‎ 课堂活动区 例1　解题导引　求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P(B|A)＝.这就需要求P(AB)和P(A)．如果事件具有等可能特点，还可以看作是基本事件空间改变后的古典概型，利用P(B|A)＝来计算．‎ 解　设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}．‎ ‎(1)P(A)＝＝.‎ ‎(2)方法一　根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率：P(AB)＝×，‎ 所以有P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　事件A发生的条件下，事件空间包含的基本事件个数为nA＝100－1＝99个．‎ 事件A发生的条件下，事件B包含4个基本事件．‎ ‎∴P(B|A)＝＝.‎ 变式迁移1　解　记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；‎ 事件B：从1号箱中取出的是红球．‎ 则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，‎ ‎(1)P(A|B)＝＝.‎ ‎(2)∵P(A|)＝＝，‎ ‎∴P(A)＝P(AB)＋P(A)‎ ‎＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.‎ 例2　解题导引　(1)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等．‎ ‎(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解．‎ ‎(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：‎ ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式；‎ ‎②正面计数较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算．‎ 解　(1)记事件A：甲射中目标；‎ 事件B：乙射中目标．‎ 两人都射中的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.‎ ‎(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)‎ ‎＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9‎ ‎＝0.08＋0.18＝0.26.‎ ‎(3)方法一　两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为P(AB)＋P(B)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()‎ ‎＝0.72＋0.26＝0.98.‎ 方法二　因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件．‎ 所以“两人至少有一人射中”的概率为：‎ ‎1－P( )＝1－P()P()＝1－0.2×0.1＝0.98.‎ ‎(4)方法一　至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为 P( )＋P(A)＋P(B)‎ ‎＝P()P()＋P(A)P()＋P()P(B)‎ ‎＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.‎ 方法二　“至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”，‎ 故所求概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)‎ ‎＝1－0.72＝0.28.‎ 变式迁移2　解　(1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A、B、C，则P(A)＝，‎ 由题意得，‎ 解得P(B)＝，P(C)＝或P(B)＝，P(C)＝，‎ 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为和或和.‎ ‎(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D，则 P(D)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋‎ P()P()P(C)＝＋＋＝，‎ 所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是.‎ 例3　解题导引　因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立，且每次向左(或向右)的概率都是，因此该试验属n次独立重复试验．注意n＝3，P＝.‎ 独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ 解　(1)方法一　记小球落入B袋中的概率P(B)，‎ 则P(A)＋P(B)＝1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，‎ 所以P(B)＝3＋3＝，‎ ‎∴P(A)＝1－＝.‎ 方法二　由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋．‎ ‎∴P(A)＝C3＋C3＝.‎ ‎(2)由题意，ξ～B.‎ ‎∴P(ξ＝3)＝C31＝.‎ 变式迁移3　解　(1)要求4秒后，粒子A在x＝2处的概率，即求粒子A四次移动中恰有三次向右移动发生的概率：‎ C()3()＝.‎ ‎(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x＝2处，粒子A一定要往右移动2次，而粒子B往右和左各一次，所求概率为：2·C＝.‎ 课后练习区 ‎1．C　2.B　3.D　4.B　5.A ‎6．0.947 7　7.　8.0.128‎ ‎9．解　(1)由已知ξ～B，‎ 分布列为P(ξ＝k)＝Ck6－k，‎ k＝0,1,2,3，…，6.(2分)‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(4分)‎ ‎(2)η＝k表示这名学生首次停车时经过的路口数，即在前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，则η的取值可能为0,1,2,3,4,5,6，其中η＝6表示路上没有遇上红灯．‎ 当0≤k≤5时，P(η＝k)＝·k；‎ 当k＝6时，P(η＝6)＝6.(9分)‎ 所以η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P · ·()2‎ ·()3‎ ·()4‎ ·()5‎ ‎()6‎ ‎(10分)‎ ‎(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为 P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－()6＝.(12分)‎ ‎10．解　(1)基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b2－‎4c≥0，即b≥2.‎ 当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；‎ 当c＝2时，b＝3,4,5,6；‎ 当c＝3时，b＝4,5,6；‎ 当c＝4时，b＝4,5,6；‎ 当c＝5时，b＝5,6；‎ 当c＝6时，b＝5,6，‎ 所求事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，‎ 因此方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为.(4分)‎ ‎(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则P(ξ＝0)＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(8分)‎ ‎(3)记“先后两次出现的点数中有‎5”‎为事件M，‎ ‎“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，‎ 则P(M)＝，P(M∩N)＝，‎ P(N|M)＝＝.(12分)‎ ‎11．解　(1)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．‎ 在第一种情况下，乙取胜的概率为4＝，‎ 在第二种情况下，乙取胜的概率为C4＝，‎ 所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为 ＋＝.(5分)‎ ‎(2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A，记“比赛打满七局乙胜”为事件B.‎ 则P(A)＝C4＝，‎ P(B)＝C4＝，‎ 又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为 P(A)＋P(B)＝.(9分)‎ ‎(3)P(ξ＝4)＝2＝，‎ P(ξ＝5)＝C2＝，‎ P(ξ＝6)＝C3＋4＝，‎ P(ξ＝7)＝C4＋C4·＝，(13分)‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎(14分)‎