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  • 2021-06-24 发布

历届高考数学真题汇编专题12_概率最新模拟_理

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‎【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题12 概率最新模拟 理 ‎1、(2012德州二模)如图,在边长为π的正方形内的正弦曲线轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往正方形内投一个点P,则点P落在区域M内的概率是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎2、(2012德州一模)连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是m、n,则向量a=(m,n)与向量b=(1,1)共线的概率是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4、(2012临沂二模)已知,是由直线,和曲线围成的曲边三角形区域,若向区域上随机投一点,点落在区域内的概率为,则的值是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5、(2012泰安一模)已知,A是曲线与围成的区域,若向区域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为 A. B. C. D.‎ ‎6、(2012烟台二模)点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到顶点A的距离<1的概率为 A. B. C. D.‎ 答案:A 解析:点P在以A为圆心半径为1的正方形ABCD内的一段弧内运动,这是一个圆心角为90°的扇形,S扇形=,正方形的面积为1,所以所求的概率为P=‎ ‎7、(2012滨州二模)‎ 某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动,促销规则如下:到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次,进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘),满200元转两次,以此类推;在转动过程中,假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的,若转盘的指针落在A区域,则顾客中一等奖,获得10元奖金,若转盘落在B区域或C区域,则顾客中二等奖,获得5元奖金;若转盘指针落在其它区域则不中奖(若指针停到两区间的实线处,则重新转动)。若顾客在一次消费中多次中奖,则对其奖励进行累加。已知顾客甲到该商场购物消费了268元,并按照规则能与了促销活动。‎ ‎(Ⅰ) 求顾客甲中一等奖的概率;‎ ‎(Ⅱ) 记为顾客甲所得的奖金数,求的分布列及其数学期望.‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 数学期望 ‎ ‎ ‎8、(2012德州二模)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表:‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎6‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎48‎ ‎ 已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ‎ (I)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程);‎ ‎ (II)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由。‎ ‎ (III)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为X,求X的分布列与期望。‎ 下面的临界值表供参考:‎ 解析:(1)列联表补充如下:‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎22‎ ‎6‎ ‎28‎ 女生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎32‎ ‎16‎ ‎48‎ ‎ ‎ ‎(2)由=≈4.286‎ 因为4.286>3.841,有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.‎ ‎(3)喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.‎ 其概率分别为P(X=0)==,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)==,‎ 故X的分布列为:‎ X X的期望值为:EX=0++=1‎ ‎9、(2012德州一模)已知暗箱中开始有3个红球,2个白球.现每次从暗箱中取出1个球后,再将此球和它同色的另外5个球一起放回箱中.‎ ‎ (I)求第2次取出白球的概率;‎ ‎(Ⅱ)若取出白球得2分,取出红球得3分,设连续取球2次的得分值为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎10、(2012济南3月模拟)一次考试共有12道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生:‎ ‎(1) 得60分的概率;‎ ‎(2) 所得分数ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】解:(1) 设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A,“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B,“有一道题不理解题意”选对的为事件C,‎ ‎∴P(A)= ,P(B)=,P(C)=,∴得60分的概率为p=.………………………………………………4分 P(ξ=60)=‎ ξ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ ‎55‎ ‎60‎ P(ξ)‎ ‎…………………………………………………………………………10分 ‎(3) Eξ=40×+(45+50)×+55×+60×=………12分 ‎11、(2012济南三模)为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前个小组的频率之比为,其中第 小组的频数为.‎ ‎(1)求该校报考飞行员的总人数;‎ ‎(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设X表示体重超过‎60公斤的学生人数,求X的分布列和数学期望.‎ 随机变量的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ 则 (或: )‎ ‎12、(2012青岛二模)甲居住在城镇的处,准备开车到单位处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如,→→算作两个路段:路段发生堵车事件的概率为,路段发生堵车事件的概率为,且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进).‎ ‎(Ⅰ)请你为其选择一条由到的路线,使得途中发生堵车事件的概率最小;‎ ‎(Ⅱ)若记路线→→→中遇到堵车次数为随机变量,求的分布列及.‎ 解:(Ⅰ)记路段发生堵车事件为,各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所以路线 ‎→→→中遇到堵车的概率为 ‎ ……………………………………………………………………2分 ‎(Ⅱ)路线→→→中遇到堵车次数可取值为0,1,2,3.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎ …………………………………………………………9分 ‎∴= ………………12分 ‎13、(2012青岛3月模拟)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:,,‎ ‎,,,.‎ ‎(Ⅰ)从中任意拿取张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率;‎ ‎(Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望.‎ ‎(注:每对两个得1分,该步评分采用去尾法)‎ 所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数,一个为偶函数;故基本事件总数为 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,故满足条件的基本事件个数为 ‎,‎ 故所求概率为 .‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ 的数学期望为 ‎14、(2012日照5月模拟)某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为,指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分,若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响。‎ ‎(Ⅰ)求该项技术量化得分不低于8分的概率;‎ ‎(Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量,求的分布列与数学期望。‎ 解:(Ⅰ)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C,则事件“得分不低于8分”表示为.因为为互斥事件,且A、B、C彼此独立,‎ 所以 ‎ =. …………………………5分 所以,随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ …………………………11分 所以. …………………………12分 ‎15、(2012威海二模)某市职教中心组织厨师技能大赛,大赛依次设基本功(初赛)、面点制作(复赛)、热菜烹制(决赛)三个轮次的比赛,已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,,且各轮次通过与否相互独立.‎ ‎ (I)设该选手参赛的轮次为,求的分布列和数学期望;‎ ‎ (Ⅱ)对于(I)中的,设“函数是偶函数”为事件D,求事件D发生的概率.‎ 的分布列为:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望 -------------------------- 7分 ‎(Ⅱ)当时,为偶函数;‎ 当时,为奇函数;‎ 当时,为偶函数;‎ ‎∴事件D发生的概率是. -----------------------------------12分 ‎16、(2012烟台二模)某品牌的汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示:已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款共利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用表示经销一辆汽车的利润.‎ 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 付款方式 频数 ‎40‎ ‎20‎ a ‎10‎ b ‎(1)求上表中的a,b值;‎ ‎(2)若以频率作为概率,求事件A:“购买该器重汽车的3位顾客中,至多有1位采用3期付款”的概率P(A);‎ ‎(3)求的分布列及数学期望E.‎ ‎∴的分布列为 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴的数学期望(万元)-12分. ‎ ‎【2012金华十校高三模拟联考理】分别写有数字1,2,3,4的4张卡片,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【2012粤西北九校联考理】 已知,,若向区域上随机投一点,则点落入区域的概率为( )‎ A.    B.    C.   D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】属于几何概型,的面积为18,‎ 的面积为4,‎ ‎【2012深圳中学模拟理】袋中装有m个红球和n个白球,,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系的数组的个数为 A.3 B.‎4 C.5 D.6‎ ‎【答案】A ‎【解析】记“取出两个红球”为事件A,“取出两个白球”为事件B,“取出一红、一白两球”为 事件C,则,,。依题意得:‎ ‎,得。所以,由,得 ‎。解得,故符合题意的数组有3个。‎ ‎【2012海淀区模拟理】连掷骰子两次 (骰子六个面上分别标以数字)得到的点数分别记为和,则使直线与圆相切的概率为 .‎ ‎【2012安徽省合肥市质检理】在正四面体的6条棱中随机抽取2条,则其2条棱互相垂直的概率为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】总的取法有15种,由正四面体的性质可知,对棱垂直,故互相垂直的有3种,所求概率为,选C。‎ ‎【2012吉林市模拟质检理】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 ‎350 400 450 500 550 600 650‎ ‎0.001‎ ‎0.002‎ ‎0.003‎ ‎0.004‎ a 频率/组距 总成绩 (分)‎ 试成绩进行分析,抽取了总成绩介于350‎ 分到650分之间的10000名学生成绩,并 根据这10000名学生的总成绩画了样本的 频率分布直方图(如右图),则总成绩在 ‎[400,500)内共有 A. 5000 人 B. 4500人 C. 3250人 D. 2500人 ‎【答案】B ‎【解析】由频率分布直方图可求得,故[400,500)对应的频率为,相应的人数为4500人。‎ ‎【2012广东韶关市调研理】‎ 已知,若向区域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为( )‎ A.    B.   C.   D.‎ ‎【2012年西安市高三年级第四次质检理】甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为_______‎ ‎【2012武昌区高三年级调研理】有一根长为‎1米的细绳子,随机从中问将细绳剪断,则使两截的长度都大于米的概率为 。‎ ‎【答案】    ‎ ‎【解析】本题主要考查几何概型的计算. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 如图,将细绳八等份,C,D分别是第一个和最后一个等份点,则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大于米。由几何概型的计算公式,两截的长度都大于米的概率为 ‎【2012唐山市高三模拟统一考试理】为了检测某批棉花的质量,质检人员随机抽取6根,其平均纤维长度为‎25mm。用表示第n根棉花的纤维长度,且前5根棉花的纤维长度如下表:‎ ‎ (1)求X6及这6根棉花的标准差s;‎ ‎ (2)从这6根棉花中,随机选取2根,求至少有1根的长度在区间(20,25)内的概率。‎ ‎(Ⅱ)从这6根棉花中,随机选取2根用无序数组(Xi,Xj)(i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)表示,可能出现的结果为 ‎(X1,X2),(X1,X3),(X1,X4),(X1,X5),(X1,X6),‎ ‎(X2,X3),(X2,X4),(X2,X5),(X2,X6),‎ ‎(X3,X4),(X3,X5),(X3,X6),‎ ‎(X4,X5),(X4,X6),‎ ‎(X5,X6);‎ ‎2根的长度都不在区间(20,25)内的结果为 ‎(X1,X2),(X1,X4),(X1,X6),‎ ‎(X2,X4),(X2,X6),‎ ‎(X4,X6). …9分 ‎2根的长度都不在区间(20,25)内概率P==,‎ 至少有1根的长度在区间(20,25)内的概率为1-P=. …12分 ‎【2012年西安市高三年级第四次质检理】某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎(I )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;‎ ‎(II)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min的概率.‎ ‎【解析】‎ ‎【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1理】某工科院校对A,B两个专业的男女生人数进行调查,得到如下的列联表:‎ ‎(I) 从B专业的女生中随机抽取2名女生参加某项活动,其中女生甲被选到的概率是多少?‎ ‎(II)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢?‎ 注:‎ ‎【2012江西师大附中高三模拟理】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取6个工厂进行调查.已知A、B、C区中分别有18,27,9个工厂.‎ ‎(1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数;‎ ‎(2)若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比,求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。‎ ‎【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ‎ 解:(1)工厂总数为18+27+9=54,样本容量与总体中的个体数的比为=,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1.‎ ‎(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1为在C区中抽得的1个工厂.在这7个工厂中随机地抽取2个,全部可能的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1), (B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),,(B2,B3),(B2,C1),,(B3,C1)共15种.‎ 随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),,(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1)共9种.所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)=.‎ 答:(1)从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1.‎ ‎ (2)这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为.‎ ‎【2012三明市普通高中高三模拟理】已知集合, . ‎ ‎ (Ⅰ)若,用列举法表示集合;‎ ‎ (Ⅱ)在(Ⅰ)中的集合内,随机取出一个元素,求以为坐标的点位于区域D: 内的概率.‎ ‎【2012武昌区高三年级 理】2011年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”.A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政,分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下.为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价,对每位现场市民都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:‎ ‎(I)若市民甲选择的是A部门,求甲的调查问卷被选中的概率;‎ ‎(11)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈,求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率.‎ ‎ ‎ 答:若甲选择的是A部门,甲被选中问卷调查的概率是. ………………………(6分) ‎ ‎(Ⅱ)由图表可知,分别负责问政A,B,C,D四部门的市民分别接受调查的人数为4,5,6,5. 其中不满意的人数分别为1,1,0,2个 . ‎ 记对A部门不满意的市民是;对B部门不满意的市民是;对D部门不满意的市民是. ‎ 设事件N=“从填写不满意的市民中选出2人,至少有一人选择的是D”. ‎ 从填写不满意的市民中选出2人,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6个基本事件;‎ 而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共5个基本事件, ‎ 所以 . ‎ 答:这两人中至少有一人选择的是D的概率是.‎ ‎【2012山东青岛市模拟理】已知关于的一元二次函数 ‎(Ⅰ)设集合和,分别从集合和中随机取一个数作为 和,求函数在区间[上是增函数的概率;‎ ‎(Ⅱ)设点是区域内的随机点,‎ 记有两个零点,其中一个大于,另一个小于,求事件发生的概率.‎ 事件构成的区域:‎ 由,得交点坐标为………………………………10分 ‎,∴事件发生的概率为 ……12分 ‎∴平面区域M的面积为 (5分) ‎ ‎(a)‎ ‎1‎ ‎1‎ y x O ‎· ‎ ‎· ‎ A B C ‎(b)‎ ‎(Ⅱ)要使直线的图象经过一、二、四象限,则, (6分)‎ 又点的区域为M,故使直线的图象经过一、二、四象限的点的区域为第二象限的阴影部分 (8分)‎ 故所求的概率为 (10分)‎ ‎【2012江西南昌市调研理】某工厂师徒二人各加工相同型号的零件,是否加工出精品均互不影响。已知师傅加工一个零件是精品的概率为,师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 .‎ ‎(1)求徒弟加工2个零件都是精品的概率;‎ ‎(2)若师徒二人各加工这种型号的零件2个,求徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率 ‎【2012 广东佛山市质检理】理科班某同学参加广东省学业水平测试,物理、化学、生物获得等级和获得等级不是的机会相等,物理、化学、生物获得等级的事件分别记为、、,物理、化学、生物获得等级不是的事件分别记为、、.‎ ‎(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为的所有可能结果(如三科成绩均为记为);‎ ‎(2)求该同学参加这次水平测试获得两个的概率;‎ ‎(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事件的概率大于,并说明理由.‎ 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为的事件有如下七种情况:、、、、、、,概率是. …………………12分 方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个的事件概率大于, …………………10分 理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为的事件有如下七种情况:、、、、、、,概率是. ……………………12分 ‎【2012北京海淀区模拟理】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.‎ ‎(Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;‎ ‎(Ⅱ)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.‎ 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.‎ ‎………………………………………13分 ‎【2012广东韶关市调研理】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人?‎ ‎(2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率.‎ ‎(3)为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关,计算出,你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关?‎ 下面的临界值表供参考:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎