历届高考数学真题汇编专题12_概率最新模拟_理 27页

‎【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题12 概率最新模拟 理 ‎1、（2012德州二模）如图，在边长为π的正方形内的正弦曲线轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P，则点P落在区域M内的概率是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2、（2012德州一模）连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是m、n，则向量a=(m，n)与向量b=(1，1)共线的概率是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4、（2012临沂二模）已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则的值是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5、（2012泰安一模）已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 A. B. C. D.‎ ‎6、（2012烟台二模）点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离＜1的概率为 A. B. C. D.‎ 答案：A 解析：点P在以A为圆心半径为1的正方形ABCD内的一段弧内运动，这是一个圆心角为90°的扇形，S扇形＝，正方形的面积为1，所以所求的概率为P＝‎ ‎7、（2012滨州二模）‎ 某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖（转盘为十二等分的圆盘），满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的，若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金，若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其它区域则不中奖（若指针停到两区间的实线处，则重新转动）。若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加。已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则能与了促销活动。‎ ‎(Ⅰ) 求顾客甲中一等奖的概率；‎ ‎(Ⅱ) 记为顾客甲所得的奖金数，求的分布列及其数学期望．‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ 数学期望 ‎ ‎ ‎8、（2012德州二模）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎6‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎48‎ ‎ 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ‎ （I）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；‎ ‎ （II）你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。‎ ‎ （III）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与期望。‎ 下面的临界值表供参考：‎ 解析：（1）列联表补充如下：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎22‎ ‎6‎ ‎28‎ 女生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎32‎ ‎16‎ ‎48‎ ‎ ‎ ‎（2）由＝≈4.286‎ 因为4.286＞3.841，有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.‎ ‎（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.‎ 其概率分别为P（X＝0）＝＝，‎ P（X＝1）＝＝，‎ P（X＝2）＝＝，‎ 故X的分布列为:‎ X X的期望值为:EX＝0＋＋＝1‎ ‎9、（2012德州一模）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球．现每次从暗箱中取出1个球后，再将此球和它同色的另外5个球一起放回箱中．‎ ‎ (I)求第2次取出白球的概率；‎ ‎(Ⅱ)若取出白球得2分，取出红球得3分，设连续取球2次的得分值为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎10、（2012济南3月模拟）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：‎ ‎（1） 得60分的概率；‎ ‎（2） 所得分数ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】解：（1） 设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，‎ ‎∴P（A）= ，P（B）=，P（C）=，∴得60分的概率为p=．………………………………………………4分 P（ξ=60）=‎ ξ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ ‎55‎ ‎60‎ P(ξ)‎ ‎…………………………………………………………………………10分 ‎（3） Eξ=40×+（45+50）×+55×+60×=………12分 ‎11、（2012济南三模）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，其中第 小组的频数为.‎ ‎(1)求该校报考飞行员的总人数;‎ ‎(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过‎60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ 则 (或: )‎ ‎12、（2012青岛二模）甲居住在城镇的处，准备开车到单位处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如，→→算作两个路段：路段发生堵车事件的概率为，路段发生堵车事件的概率为，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进）．‎ ‎(Ⅰ）请你为其选择一条由到的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；‎ ‎（Ⅱ）若记路线→→→中遇到堵车次数为随机变量，求的分布列及．‎ 解：（Ⅰ）记路段发生堵车事件为，各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线 ‎→→→中遇到堵车的概率为 ‎ ……………………………………………………………………2分 ‎（Ⅱ）路线→→→中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎ …………………………………………………………9分 ‎∴= ………………12分 ‎13、（2012青岛3月模拟）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：,,‎ ‎，，，.‎ ‎（Ⅰ）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；‎ ‎（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．‎ ‎（注：每对两个得1分，该步评分采用去尾法）‎ 所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为 ‎,‎ 故所求概率为 .‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ 的数学期望为 ‎14、（2012日照5月模拟）某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。‎ ‎（Ⅰ）求该项技术量化得分不低于8分的概率；‎ ‎（Ⅱ）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望。‎ 解：（Ⅰ）记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，则事件“得分不低于8分”表示为.因为为互斥事件，且A、B、C彼此独立，‎ 所以 ‎ =. …………………………5分 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ …………………………11分 所以. …………………………12分 ‎15、（2012威海二模）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．‎ ‎ （I）设该选手参赛的轮次为，求的分布列和数学期望；‎ ‎ （Ⅱ）对于（I）中的，设“函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．‎ 的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望 -------------------------- 7分 ‎（Ⅱ）当时，为偶函数；‎ 当时，为奇函数；‎ 当时，为偶函数；‎ ‎∴事件D发生的概率是. -----------------------------------12分 ‎16、（2012烟台二模）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款共利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元.用表示经销一辆汽车的利润.‎ 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 付款方式 频数 ‎40‎ ‎20‎ a ‎10‎ b ‎（1）求上表中的a，b值；‎ ‎（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该器重汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；‎ ‎（3）求的分布列及数学期望E.‎ ‎∴的分布列为 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴的数学期望(万元)-12分. ‎ ‎【2012金华十校高三模拟联考理】分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【2012粤西北九校联考理】 已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为( )‎ A． 　　 B． 　　 C． 　 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】属于几何概型，的面积为18，‎ 的面积为4，‎ ‎【2012深圳中学模拟理】袋中装有m个红球和n个白球,,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系的数组的个数为 A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】记“取出两个红球”为事件A，“取出两个白球”为事件B，“取出一红、一白两球”为 事件C，则，，。依题意得：‎ ‎,得。所以，由，得 ‎。解得，故符合题意的数组有3个。‎ ‎【2012海淀区模拟理】连掷骰子两次 (骰子六个面上分别标以数字）得到的点数分别记为和，则使直线与圆相切的概率为 .‎ ‎【2012安徽省合肥市质检理】在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所求概率为，选C。‎ ‎【2012吉林市模拟质检理】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 ‎350 400 450 500 550 600 650‎ ‎0.001‎ ‎0.002‎ ‎0.003‎ ‎0.004‎ a 频率/组距 总成绩 (分)‎ 试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350‎ 分到650分之间的10000名学生成绩，并 根据这10000名学生的总成绩画了样本的 频率分布直方图（如右图），则总成绩在 ‎［400，500）内共有 A. 5000 人 B. 4500人 C. 3250人 D. 2500人 ‎【答案】B ‎【解析】由频率分布直方图可求得，故［400，500）对应的频率为，相应的人数为4500人。‎ ‎【2012广东韶关市调研理】‎ 已知，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（ ）‎ A． 　　 B． 　 C． 　 D．‎ ‎【2012年西安市高三年级第四次质检理】甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_______‎ ‎【2012武昌区高三年级调研理】有一根长为‎1米的细绳子，随机从中问将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为 。‎ ‎【答案】　　　　‎ ‎【解析】本题主要考查几何概型的计算. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 如图，将细绳八等份，C,D分别是第一个和最后一个等份点，则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都大于米。由几何概型的计算公式，两截的长度都大于米的概率为 ‎【2012唐山市高三模拟统一考试理】为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，其平均纤维长度为‎25mm。用表示第n根棉花的纤维长度，且前5根棉花的纤维长度如下表：‎ ‎ （1）求X6及这6根棉花的标准差s；‎ ‎ （2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率。‎ ‎（Ⅱ）从这6根棉花中，随机选取2根用无序数组(Xi，Xj)（i，j＝1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，可能出现的结果为 ‎(X1，X2)，(X1，X3)，(X1，X4)，(X1，X5)，(X1，X6)，‎ ‎(X2，X3)，(X2，X4)，(X2，X5)，(X2，X6)，‎ ‎(X3，X4)，(X3，X5)，(X3，X6)，‎ ‎(X4，X5)，(X4，X6)，‎ ‎(X5，X6)；‎ ‎2根的长度都不在区间(20，25)内的结果为 ‎(X1，X2)，(X1，X4)，(X1，X6)，‎ ‎(X2，X4)，(X2，X6)，‎ ‎(X4，X6)． …9分 ‎2根的长度都不在区间(20，25)内概率P＝＝，‎ 至少有1根的长度在区间(20，25)内的概率为1－P＝． …12分 ‎【2012年西安市高三年级第四次质检理】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎(I )求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎(II)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min的概率.‎ ‎【解析】‎ ‎【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1理】某工科院校对A,B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：‎ ‎(I) 从B专业的女生中随机抽取2名女生参加某项活动，其中女生甲被选到的概率是多少？‎ ‎(II)能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢?‎ 注：‎ ‎【2012江西师大附中高三模拟理】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取6个工厂进行调查.已知A、B、C区中分别有18,27，9个工厂.‎ ‎（1）求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；‎ ‎（2）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。‎ ‎【解析】本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ‎ 解：(1)工厂总数为18＋27＋9＝54，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1.‎ ‎(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1为在C区中抽得的1个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)， (B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，，(B2，B3)，(B2，C1)，，(B3，C1)共15种．‎ 随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)共9种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.‎ 答：（1）从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,1.‎ ‎ （2）这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为.‎ ‎【2012三明市普通高中高三模拟理】已知集合， . ‎ ‎ （Ⅰ）若，用列举法表示集合；‎ ‎ （Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合内，随机取出一个元素，求以为坐标的点位于区域D： 内的概率.‎ ‎【2012武昌区高三年级 理】2011年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”．A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表（每一名代表只参加一个部门的问政）人数的条形图如下．为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：‎ ‎（I）若市民甲选择的是A部门，求甲的调查问卷被选中的概率；‎ ‎（11）若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率．‎ ‎ ‎ 答：若甲选择的是A部门，甲被选中问卷调查的概率是． ………………………（6分） ‎ ‎（Ⅱ）由图表可知，分别负责问政A，B，C，D四部门的市民分别接受调查的人数为4，5，6，5． 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 ． ‎ 记对A部门不满意的市民是；对B部门不满意的市民是；对D部门不满意的市民是． ‎ 设事件N=“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D”． ‎ 从填写不满意的市民中选出2人，共有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6个基本事件；‎ 而事件N有（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共5个基本事件， ‎ 所以 ． ‎ 答：这两人中至少有一人选择的是D的概率是．‎ ‎【2012山东青岛市模拟理】已知关于的一元二次函数 ‎（Ⅰ）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为 和，求函数在区间[上是增函数的概率；‎ ‎（Ⅱ）设点是区域内的随机点，‎ 记有两个零点,其中一个大于，另一个小于,求事件发生的概率.‎ 事件构成的区域：‎ 由,得交点坐标为………………………………10分 ‎，∴事件发生的概率为 ……12分 ‎∴平面区域M的面积为 （5分） ‎ ‎(a)‎ ‎1‎ ‎1‎ y x O ‎· ‎ ‎· ‎ A B C ‎(b)‎ ‎（Ⅱ）要使直线的图象经过一、二、四象限，则， （6分）‎ 又点的区域为M，故使直线的图象经过一、二、四象限的点的区域为第二象限的阴影部分 （8分）‎ 故所求的概率为 （10分）‎ ‎【2012江西南昌市调研理】某工厂师徒二人各加工相同型号的零件，是否加工出精品均互不影响。已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 .‎ ‎(1)求徒弟加工2个零件都是精品的概率；‎ ‎(2)若师徒二人各加工这种型号的零件2个，求徒弟加工该零件的精品数多于师傅的概率 ‎【2012 广东佛山市质检理】理科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级和获得等级不是的机会相等，物理、化学、生物获得等级的事件分别记为、、，物理、化学、生物获得等级不是的事件分别记为、、.‎ ‎（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为的所有可能结果（如三科成绩均为记为）；‎ ‎（2）求该同学参加这次水平测试获得两个的概率；‎ ‎（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于，并说明理由.‎ 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为的事件有如下七种情况：、、、、、、，概率是. …………………12分 方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个的事件概率大于， …………………10分 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为的事件有如下七种情况：、、、、、、，概率是. ……………………12分 ‎【2012北京海淀区模拟理】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.‎ ‎（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；‎ ‎（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.‎ 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.‎ ‎………………………………………13分 ‎【2012广东韶关市调研理】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？‎ ‎（２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.‎ ‎（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎