2019年高考数学精讲二轮教案第二讲　选修4－5　不等式选讲 12页

第二讲　选修4－5　不等式选讲 考点一　含绝对值不等式的解法 ‎1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 ‎(1)若c>0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；‎ ‎(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.‎ ‎2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)零点分段讨论法．‎ ‎(2)绝对值的几何意义．‎ ‎(3)数形结合法．‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，‎ 即f(x)＝ 故不等式f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－‎ ‎1|<1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；‎ 若a>0时，则|ax－1|<1的解集为.‎ 所以≥1，故0x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.‎ 而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，‎ 所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.‎ 绝对值恒成立问题应关注的3点 ‎(1)巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值．‎ ‎(2)f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.‎ ‎(3)f(x)a有解⇔f(x)max>a.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．[角度1](2018·山东淄博模拟)设函数f(x)＝|x＋4|.‎ ‎(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；‎ ‎(2)求不等式f(x)>1－x的解集．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝|x＋4|，‎ 所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，‎ 又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，‎ ‎∴|2a|＝4，‎ ‎∴a＝±2.‎ ‎(2)f(x)＝|x＋4|＝ ‎∴不等式f(x)>1－x等价于 解得x>－2或x<－10，‎ 故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}．‎ ‎2．[角度2](2018·河南郑州二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.‎ ‎(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；‎ ‎(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪.‎ ‎(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，‎ 令h(x)＝|2x＋1|－|x|，‎ 则h(x)＝ 故h(x)min＝h＝－，‎ 所以实数a的取值范围为a≥－.‎ 考点三　不等式的证明 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ ‎[证明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)‎ ‎＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3‎ ‎＝2＋3ab(a＋b)‎ ‎≤2＋(a＋b)‎ ‎＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ 证明不等式的方法和技巧 ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．‎ ‎(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．‎ ‎[对点训练]‎ 已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.‎ ‎(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；‎ ‎(2)证明：＋＋≤＋＋.‎ ‎[证明]　(1)∵1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，‎ ‎∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥2·2·2＝8，‎ ‎∵abc＝1，∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8.‎ ‎(2)∵ab＋bc≥2＝2，‎ ab＋ac≥2＝2，‎ bc＋ac≥2＝2，‎ 上面三式相加得，‎ ‎2ab＋2bc＋2ca≥2＋2＋2，‎ 即ab＋bc＋ca≥＋＋.‎ 又＋＋＝ab＋bc＋ac，‎ ‎∴＋＋≤＋＋.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ 当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；‎ 当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而14；‎ ‎(2)若∀x∈，不等式a＋14⇔ 或或 ‎⇔x<－2或01.‎ ‎∴不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知，当x<－时，f(x)＝－3x－2，‎ ‎∵当x<－时，f(x)＝－3x－2>，‎ ‎∴a＋1≤，即a≤.‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎2．(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤2的解集；‎ ‎(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k 的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由f(x)≤2，得或或解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]．‎ ‎(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示，‎ 易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，‎ 当此直线经过点B(4,0)时，k＝；‎ 当此直线与直线AD平行时，k＝－2.‎ 故由图可知，k∈(－∞，－2)∪.‎ ‎3．(2018·大庆二模)已知f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，g(x)＝－x2＋2mx.‎ ‎(1)求不等式f(x)>4的解集；‎ ‎(2)若对任意的x1，x2，f(x1)≥g(x2)恒成立，求m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)解法一：不等式f(x)>4即|x＋3|＋|x－1|>4.‎ 可得或 或 解得x<－3或x>1，所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．‎ 解法二：|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|＝4，‎ 当且仅当(x＋3)(x－1)≤0，即－3≤x≤1时，等号成立．‎ 所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．‎ ‎(2)依题意可知f(x)min≥g(x)max，‎ 由(1)知f(x)min＝4，‎ 因为g(x)＝－x2＋2mx＝－(x－m)2＋m2，‎ 所以g(x)max＝m2.‎ 由m2≤4得m的取值范围是－2≤m≤2.‎ ‎4．(2018·西安一模)设a、b为正实数，且＋＝2.‎ ‎(1)求a2＋b2的最小值；‎ ‎(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．‎ ‎[解]　(1)由2＝＋≥2得ab≥，‎ 当a＝b＝时取等号．‎ 故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时取等号．‎ 所以a2＋b2的最小值是1.‎ ‎(2)由＋＝2可得a＋b＝2ab，‎ ‎∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，‎ ‎∴(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，‎ ‎∴ab－1＝0，即ab＝1.‎