2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（03） 14页

‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（03）‎ ‎　‎ 一.选择题：本卷共12小题每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）‎ ‎2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）‎ A．y=x+1 B．y=﹣x2 C．y= D．y=x|x|‎ ‎3．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣ D．‎ ‎4．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（　　）‎ A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15‎ ‎5．（5分）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（　　）‎ A． B． C．[﹣1，6] D．‎ ‎7．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（　　）‎ A．2 B．4 C． D．5‎ ‎11．（5分）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎12．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=（　　）‎ A．18 B．21 C．24 D．30‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.‎ ‎13．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前项和，则使得Sn达到最大值的是　 　．‎ ‎14．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=　 　．‎ ‎15．（5分）设，则f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+fn（1）=　 　．‎ ‎16．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三.解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin ‎（1）求sinC的值 ‎（2）若 a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．‎ ‎18．（12分）设函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣1|，求使f（x）≥2的x的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）设x，y都是正数，且x+y＞2，求证：＜2中至少有一个成立．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内．‎ ‎（1）求a+b+c；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎22．（12分）（理） 已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0‎ ‎（1）求f（x）的解析式 ‎（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．‎ ‎　‎ ‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（03）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：本卷共12小题每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）‎ ‎【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，‎ 即，‎ 解得x＞﹣1且x≠1，‎ 即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）‎ A．y=x+1 B．y=﹣x2 C．y= D．y=x|x|‎ ‎【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．‎ B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．‎ C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．‎ D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，‎ 当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，‎ 当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．（5分）已知为纯虚数，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣ D．‎ ‎【解答】解：已知== 为纯虚数，∴2﹣a=0，且 1+2a≠0，‎ 解得 a=2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（　　）‎ A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15‎ ‎【解答】解：∵y=x3+11∴y'=3x2‎ 则y'|x=1=3x2|x=1=3‎ ‎∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0‎ 令x=0解得y=9‎ ‎∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9‎ 故选C ‎　‎ ‎5．（5分）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【解答】解：∵公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，‎ ‎∴，‎ ‎∴a7=4，‎ ‎∴=32，‎ ‎∴log2a16=log232=5．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（　　）‎ A． B． C．[﹣1，6] D．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示 由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小 结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大 由可得B（，3），‎ 由可得C（2，0），zmax=6‎ ‎∴‎ 故选A ‎　‎ ‎7．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，‎ 若a⊥b，则α⊥β不一定成立，‎ 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎【解答】解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱 故它的体积是5×π×32+π×32×=57π 故选C ‎　‎ ‎9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵•=0，‎ ‎∴CA⊥CB ‎∵CD⊥AB ‎∵||=1，||=2‎ ‎∴AB=‎ 由射影定理可得，AC2=AD•AB ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴==‎ 故选D ‎　‎ ‎10．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（　　）‎ A．2 B．4 C． D．5‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎≥0+2+2=4‎ 当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立 如取a=，b=，c=满足条件．‎ 故选B ‎　‎ ‎11．（5分）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，‎ 因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，‎ 故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，‎ 又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，‎ 即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7‎ 故选B ‎　‎ ‎12．（5分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=（　　）‎ A．18 B．21 C．24 D．30‎ ‎【解答】解：依题意，y′=2x，‎ ‎∴函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线方程为y﹣ak2=2ak（x﹣ak）‎ 令y=0，可得x=ak，即ak+1=ak，‎ ‎∴数列{an}为等比数列an=16×（）n﹣1‎ ‎∴a1+a3+a5=16+4+1=21‎ 故选B ‎　‎ 二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.‎ ‎13．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前项和，则使得Sn达到最大值的是　20　．‎ ‎【解答】解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=﹣2‎ ‎∴a20=39﹣2×19=1＞0，a21=39﹣2×20=﹣1＜0‎ ‎∴数列的前20项为正，‎ ‎∴使得Sn达到最大值的是20‎ 故答案为20‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=　　．‎ ‎【解答】解：∵AB=3，BD=1，‎ ‎∴D是BC上的三等分点，‎ ‎∴，‎ ‎∴=‎ ‎==9﹣=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设，则f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+fn（1）=　n　．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∴f（1）+f（2）+…+f（n）=+…+‎ ‎∵f1（1）=，f2（1）=f1[f（1）]=f1（）=，…fn（1）=‎ ‎∴f1（1）+f2（1）+…+fn（1）=++…+‎ ‎∴f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+fn（1）=n 故答案为：n ‎　‎ ‎16．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为　（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）　．‎ ‎【解答】解：令y=|x+3|﹣|x﹣1|‎ 当x＞1时，y=x+3﹣x+1=4‎ 当x＜﹣3时，y=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4‎ 当﹣3≤x≤1时，y=x+3+x﹣1=2x+2 所以﹣4≤y≤4‎ 所以要使得不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立 只要a2﹣3a≥4即可 ‎∴a≤﹣1或a≥4‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）‎ ‎　‎ 三.解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin ‎（1）求sinC的值 ‎（2）若 a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）由得 即 ‎∴‎ ‎∵a2+b2=4（a+b）﹣8‎ ‎∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0‎ ‎∴a=2，b=2‎ 由余弦定理得 ‎∴‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设函数f（x）=2|x+1|﹣|x﹣1|，求使f（x）≥2的x的取值范围．‎ ‎【解答】解：由于y=2x 是增函数，f（x）≥2 等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥，①‎ ‎（1）当 x≥1时，|x+1|﹣|x﹣1|=2，则①式恒成立，‎ ‎（2）当﹣1＜x＜1 时，|x+1|﹣|x﹣1|=2x，①式化为 2x≥，即 ≤x＜1，‎ ‎（3）当x≤﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|=﹣2，①式无解．‎ 综上，x取值范围是[，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有 ‎，解得a1=3，d=2，‎ 所以an=3+2（n﹣1）=2n+1；Sn=3n+．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，所以bn====（﹣），‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn=（1﹣﹣）=（1﹣）=，‎ 即数列{bn}的前n项和Tn=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）设x，y都是正数，且x+y＞2，求证：＜‎ ‎2中至少有一个成立．‎ ‎【解答】证明：假设＜2都不成立，即≥2且≥2，‎ ‎∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，‎ ‎∴1+x+1+y≥2x+2y，‎ ‎∴x+y≤2‎ 这与已知x+y＞2矛盾 ‎∴假设不成立，＜2中至少有一个成立 ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内．‎ ‎（1）求a+b+c；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，可得 ‎∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，‎ ‎∴f（1）=1+a+b+c=0，即a+b+c=﹣1‎ ‎（2）由（1），得c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）解析式，得 f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣1）[x2+（a+1）x+1+a+b）‎ 设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，‎ ‎∵f（x）的另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内 ‎∴函数g（x）的两个零点x1、x2满足：0＜x1＜1 x2＞1，‎ 因此，可得，‎ 利用用线性规划知识，可得得﹣2＜＜﹣．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（理） 已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0‎ ‎（1）求f（x）的解析式 ‎（2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．‎ ‎【解答】解：（1）求导函数可得：f′（x）=a+，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．‎ ‎∴f（2）=，‎ ‎∴a+=，2a﹣=，‎ ‎∴a=1，b=3‎ ‎∴f（x）的解析式为f（x）=x﹣；‎ ‎（2）设（x0，x0﹣）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+，‎ ‎∴切线方程为y﹣（x0﹣）=（1+）（x﹣x0），‎ 令x=0，可得y=﹣由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x0‎ ‎∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值×|2x0|×|﹣|=6．‎ ‎　‎