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- 2021-06-30 发布
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2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(03)
一.选择题:本卷共12小题每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)函数f(x)=+lg(x+1)的定义域是( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(1,+∞) C.(﹣1,1) D.(﹣1,1)∪(1,+∞)
2.(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=﹣x2 C.y= D.y=x|x|
3.(5分)已知为纯虚数,则实数a的值为( )
A.2 B.﹣2 C.﹣ D.
4.(5分)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.﹣9 B.﹣3 C.9 D.15
5.(5分)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣y的取值范围是( )
A. B. C.[﹣1,6] D.
7.(5分)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(5分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )
A.12π B.45π C.57π D.81π
9.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )
A. B. C. D.
10.(5分)设a>b>c>0,则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.5
11.(5分)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
12.(5分)函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=( )
A.18 B.21 C.24 D.30
二.填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
13.(5分)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前项和,则使得Sn达到最大值的是 .
14.(5分)在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则= .
15.(5分)设,则f(1)+f(2)+…+f(n)+f1(1)+f2(1)+…+fn(1)= .
16.(5分)不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为 .
三.解答题:(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1﹣sin
(1)求sinC的值
(2)若 a2+b2=4(a+b)﹣8,求边c的值.
18.(12分)设函数f(x)=2|x+1|﹣|x﹣1|,求使f(x)≥2的x的取值范围.
19.(12分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)求an及Sn;
(Ⅱ)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(12分)设x,y都是正数,且x+y>2,求证:<2中至少有一个成立.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1,另外两个零点分别在(0,1)和(1,+∞)内.
(1)求a+b+c;
(2)求的取值范围.
22.(12分)(理) 已知函数f(x)=ax﹣,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为:7x﹣4y﹣12=0
(1)求f(x)的解析式
(2)曲线f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值,并求出此定值.
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(03)
参考答案与试题解析
一.选择题:本卷共12小题每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)函数f(x)=+lg(x+1)的定义域是( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(1,+∞) C.(﹣1,1) D.(﹣1,1)∪(1,+∞)
【解答】解:要使函数f(x)有意义,则,
即,
解得x>﹣1且x≠1,
即函数的定义域为(﹣1,1)∪(1,+∞),
故选:D
2.(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=﹣x2 C.y= D.y=x|x|
【解答】解:A.y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.
B.y=﹣x2是偶函数,不满足条件.
C.y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.
D.设f(x)=x|x|,则f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x),则函数为奇函数,
当x>0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,
当x≤0时,y=x|x|=﹣x2,此时为增函数,综上在R上函数为增函数.
故选:D
3.(5分)已知为纯虚数,则实数a的值为( )
A.2 B.﹣2 C.﹣ D.
【解答】解:已知== 为纯虚数,∴2﹣a=0,且 1+2a≠0,
解得 a=2,
故选A.
4.(5分)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.﹣9 B.﹣3 C.9 D.15
【解答】解:∵y=x3+11∴y'=3x2
则y'|x=1=3x2|x=1=3
∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y﹣12=3(x﹣1)即3x﹣y+9=0
令x=0解得y=9
∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9
故选C
5.(5分)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解:∵公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,
∴,
∴a7=4,
∴=32,
∴log2a16=log232=5.
故选B.
6.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x﹣y的取值范围是( )
A. B. C.[﹣1,6] D.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z,则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距,截距越大,z越小
结合图形可知,当直线y=3x﹣z平移到B时,z最小,平移到C时z最大
由可得B(,3),
由可得C(2,0),zmax=6
∴
故选A
7.(5分)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:∵b⊥m,∴当α⊥β,则由面面垂直的性质可得a⊥b成立,
若a⊥b,则α⊥β不一定成立,
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,
故选:A.
8.(5分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )
A.12π B.45π C.57π D.81π
【解答】解:由三视图可知,此组合体上部是一个母线长为5,底面圆半径是3的圆锥,下部是一个高为5,底面半径是3的圆柱
故它的体积是5×π×32+π×32×=57π
故选C
9.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵•=0,
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||=1,||=2
∴AB=
由射影定理可得,AC2=AD•AB
∴
∴
∴==
故选D
10.(5分)设a>b>c>0,则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.5
【解答】解:
=
=
≥0+2+2=4
当且仅当a﹣5c=0,ab=1,a(a﹣b)=1时等号成立
如取a=,b=,c=满足条件.
故选B
11.(5分)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解答】解:当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x=0解得x=0或x=1,
因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,
故f(x)=0在区间[0,6)上解的个数为6,
又因为f(6)=f(0)=0,故f(x)=0在区间[0,6]上解的个数为7,
即函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7
故选B
12.(5分)函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=( )
A.18 B.21 C.24 D.30
【解答】解:依题意,y′=2x,
∴函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y﹣ak2=2ak(x﹣ak)
令y=0,可得x=ak,即ak+1=ak,
∴数列{an}为等比数列an=16×()n﹣1
∴a1+a3+a5=16+4+1=21
故选B
二.填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
13.(5分)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前项和,则使得Sn达到最大值的是 20 .
【解答】解:设等差数列公差为d,则有解得a1=39,d=﹣2
∴a20=39﹣2×19=1>0,a21=39﹣2×20=﹣1<0
∴数列的前20项为正,
∴使得Sn达到最大值的是20
故答案为20
14.(5分)在正三角形ABC中,D是BC上的点.若AB=3,BD=1,则= .
【解答】解:∵AB=3,BD=1,
∴D是BC上的三等分点,
∴,
∴=
==9﹣=,
故答案为.
15.(5分)设,则f(1)+f(2)+…+f(n)+f1(1)+f2(1)+…+fn(1)= n .
【解答】解:∵
∴f(1)+f(2)+…+f(n)=+…+
∵f1(1)=,f2(1)=f1[f(1)]=f1()=,…fn(1)=
∴f1(1)+f2(1)+…+fn(1)=++…+
∴f(1)+f(2)+…+f(n)+f1(1)+f2(1)+…+fn(1)=n
故答案为:n
16.(5分)不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为 (﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) .
【解答】解:令y=|x+3|﹣|x﹣1|
当x>1时,y=x+3﹣x+1=4
当x<﹣3时,y=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4
当﹣3≤x≤1时,y=x+3+x﹣1=2x+2 所以﹣4≤y≤4
所以要使得不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立
只要a2﹣3a≥4即可
∴a≤﹣1或a≥4
故答案为:(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞)
三.解答题:(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1﹣sin
(1)求sinC的值
(2)若 a2+b2=4(a+b)﹣8,求边c的值.
【解答】解:(1)∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
(2)由得
即
∴
∵a2+b2=4(a+b)﹣8
∴(a﹣2)2+(b﹣2)2=0
∴a=2,b=2
由余弦定理得
∴
18.(12分)设函数f(x)=2|x+1|﹣|x﹣1|,求使f(x)≥2的x的取值范围.
【解答】解:由于y=2x 是增函数,f(x)≥2 等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥,①
(1)当 x≥1时,|x+1|﹣|x﹣1|=2,则①式恒成立,
(2)当﹣1<x<1 时,|x+1|﹣|x﹣1|=2x,①式化为 2x≥,即 ≤x<1,
(3)当x≤﹣1时,|x+1|﹣|x﹣1|=﹣2,①式无解.
综上,x取值范围是[,+∞).
19.(12分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)求an及Sn;
(Ⅱ)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有
,解得a1=3,d=2,
所以an=3+2(n﹣1)=2n+1;Sn=3n+.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n+1,所以bn====(﹣),
所以数列{bn}的前n项和Tn=(1﹣﹣)=(1﹣)=,
即数列{bn}的前n项和Tn=.
20.(12分)设x,y都是正数,且x+y>2,求证:<
2中至少有一个成立.
【解答】证明:假设<2都不成立,即≥2且≥2,
∵x,y都是正数,∴1+x≥2y,1+y≥2x,
∴1+x+1+y≥2x+2y,
∴x+y≤2
这与已知x+y>2矛盾
∴假设不成立,<2中至少有一个成立
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1,另外两个零点分别在(0,1)和(1,+∞)内.
(1)求a+b+c;
(2)求的取值范围.
【解答】解:(1)根据题意,可得
∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1,
∴f(1)=1+a+b+c=0,即a+b+c=﹣1
(2)由(1),得c=﹣1﹣a﹣b代入f(x)解析式,得
f(x)=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=(x﹣1)(x2+x+1)+a(x+1)(x﹣1)+b(x﹣1)=(x﹣1)[x2+(a+1)x+1+a+b)
设g(x)=x2+(a+1)x+1+a+b,
∵f(x)的另外两个零点分别在(0,1)和(1,+∞)内
∴函数g(x)的两个零点x1、x2满足:0<x1<1 x2>1,
因此,可得,
利用用线性规划知识,可得得﹣2<<﹣.
22.(12分)(理) 已知函数f(x)=ax﹣,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为:7x﹣4y﹣12=0
(1)求f(x)的解析式
(2)曲线f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的定值,并求出此定值.
【解答】解:(1)求导函数可得:f′(x)=a+,
∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0.
∴f(2)=,
∴a+=,2a﹣=,
∴a=1,b=3
∴f(x)的解析式为f(x)=x﹣;
(2)设(x0,x0﹣)为曲线f(x)上任一点,则切线的斜率为1+,
∴切线方程为y﹣(x0﹣)=(1+)(x﹣x0),
令x=0,可得y=﹣由切线方程与直线y=x联立,求得交点横坐标为x=2x0
∴曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值×|2x0|×|﹣|=6.