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- 2021-06-30 发布
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2018年广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷(理科)(1)
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)已知集合A={x|y=lg(x2+4x﹣12)},B={x|﹣3<x<4},则A∩B等于( )
A.(﹣3,﹣2) B.(﹣3,2) C.(2,4) D.(﹣2,4)
2.(5分)若复数z满足z+zi=3+2i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
A.14 B.21 C.28 D.35
4.(5分)有四个游戏盒,将它们水平放稳后,在上面扔一粒玻璃珠,若玻璃珠落在阴影部分,则可中奖,则中奖机会大的游戏盘是( )
A. B. C. D.
5.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为( )
A. B. C.±1 D.
6.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,是“算经十书”中最重要的一种,是当时世界上最简练有效的应用数字,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×
矢),弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弧)围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田弦的长,“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弦长AB等于6米,其弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB=( )
A. B. C. D.
7.(5分)函数g(x)的图象是函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的,则函数g(x)的图象的对称轴可以为( )
A.直线x= B.直线x= C.直线x= D.直线x=
8.(5分)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,则曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
9.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.(5分)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A. B. C.0≤a<1 D.a≥1
二、多选题:(本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,至少有一项是符合题目要求的,请把所有的项找出来,并填写在括号内.填少或填多均不得分.)
11.(5分)下列命题中真命题的个数是( )
①函数y=sinx,其导函数是偶函数;
②“若x=y,则x2=y2”的逆否命题为真命题;
③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件;
④命题p:“∃x0∈R,x02﹣x0+1<0”,则命题p的否定为:“∀x∈R,x2﹣x+1≥0”.
A.0 B.1 C.2 D.3
12.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中(如图),已知点P在直线BC1上运动,则下列四个命题:
①三棱锥A﹣D1BC的体积不变;
②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变;
③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;
④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是直线A1D1.
其中正确命题的编号是( )
A.①③④ B.①② C.①③ D.①④
三.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 .
14.(5分)已知向量,满足||=||=2,且)=﹣6,则与 的夹角为 .
15.(5分)在区间[0,1]上随机地取两个数x、y,则事件“y≤x5”发生的概率为 .
16.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足C,D.若|AF|=2|BF|,且三角形CDF的面积为,则p的值为 .
四、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.(12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
18.(12分)如图,三棱台ABC﹣A1B1C1中,侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形,若A1A⊥AB,A1A⊥A1C1,且AB=2A1B1=4A1A.
(Ⅰ)若,,证明:DE∥平面BCC1B1;
(Ⅱ)若二面角C1﹣AA1﹣B为,求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值.
19.(12分)某科技公司生产一种手机加密芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于70为合格品,小于70为次品.现随机抽取这种芯片共120件进行检测,检测结果统计如表:
测试指标
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
芯片数量(件)
8
22
45
37
8
已知生产一件芯片,若是合格品可盈利400元,若是次品则亏损50元.
(Ⅰ)试估计生产一件芯片为合格品的概率;并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率.
(Ⅱ)记ξ为生产4件芯片所得的总利润,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
20.(12分)已知m>1,直线l:x﹣my﹣=0,椭圆C:+y2=1,F1、F2
分别为椭圆C的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
21.(12分)设函数f(x)=2(x﹣2)ex﹣ax2+2ax+3﹣b
(Ⅰ)若f(x)在x=0处的法线(经过切点且垂直于切线的直线)的方程为x+2y+4=0,求实数a,b的值;
(Ⅱ)若x=1是f(x)的极小值点,求实数a的取值范围.
【选修4-4:坐标系与参数方程】
22.(10分)已知直线l的参数方程为.以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)求直线l与圆C的普通方程;
(Ⅱ)若直线l分圆C所得的弧长之比为3:1,求实数a的值.
2018年广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷(理科)(1)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)已知集合A={x|y=lg(x2+4x﹣12)},B={x|﹣3<x<4},则A∩B等于( )
A.(﹣3,﹣2) B.(﹣3,2) C.(2,4) D.(﹣2,4)
【解答】解:集合A={x|y=lg(x2+4x﹣12)}
={x|x2+4x﹣12>0}
={x|x<﹣6或x>2},
B={x|﹣3<x<4},
则A∩B={x|2<x<4}=(2,4).
故选:C.
2.(5分)若复数z满足z+zi=3+2i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:由z+zi=3+2i,
得=,
则复数z在复平面内对应的点的坐标为:(,),位于第四象限.
故选:D.
3.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
A.14 B.21 C.28 D.35
【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,
∴a1+a2+…+a7==7a4=28
故选C
4.(5分)有四个游戏盒,将它们水平放稳后,在上面扔一粒玻璃珠,若玻璃珠落在阴影部分,则可中奖,则中奖机会大的游戏盘是( )
A. B. C. D.
【解答】解:在A中,中奖概率为,
在B中,中奖概率为,
在C中,中奖概率为,
在D中,中奖概率为.
∴中奖机会大的游戏盘是D.
故选:D.
5.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为( )
A. B. C.±1 D.
【解答】解:抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=﹣.
∵点M到焦点F的距离等于2p,∴M到准线x=﹣的距离等于2p.
∴xM=,代入抛物线方程解得yM=±p.
∴kMF==.
故选:D.
6.(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,是“算经十书”中最重要的一种,是当时世界上最简练有效的应用数字,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弧)围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田弦的长,“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弦长AB等于6米,其弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB=( )
A. B. C. D.
【解答】解:如图,由题意可得:AB=6,
弧田面积S=(弦×矢+矢2)=(6×矢+矢2)=平方米.
解得矢=1,或矢=﹣7(舍),
设半径为r,圆心到弧田弦的距离为d,
则,解得d=4,r=5,
∴cos∠AOD==,
∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=.
故选:D.
7.(5分)函数g(x)的图象是函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的,则函数g(x)的图象的对称轴可以为( )
A.直线x= B.直线x= C.直线x= D.直线x=
【解答】解:∵f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣),
∴向右平移个单位而得到g(x)=2sin[2(x﹣)﹣]=﹣2cos2x,
∴令2x=kπ,k∈Z,可解得x=,k∈Z,k=1时,可得x=,
故选:C.
8.(5分)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,则曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
【解答】解:∵当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,∴f′(x)=2lnx+2﹣,
∴f′(1)=1
∵函数f(x)是偶函数,
∴f′(﹣1)=﹣1,
∴曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为﹣1,
故选:B.
9.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【解答】解:令,,,
如图所示:则,
又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,
易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1,
所以的取值范围为[﹣1,+1].
故选A.
10.(5分)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A. B. C.0≤a<1 D.a≥1
【解答】解:∵函数,
若f(f(a))=2f(a),
则f(a)≥1,
当a<1时,由3a﹣1≥1得:≤a<1,
当a≥1时,2a≥1恒成立,
综上可得:,
故选:A.
二、多选题:(本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,至少有一项是符合题目要求的,请把所有的项找出来,并填写在括号内.填少或填多均不得分.)
11.(5分)下列命题中真命题的个数是( )
①函数y=sinx,其导函数是偶函数;
②“若x=y,则x2=y2”的逆否命题为真命题;
③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件;
④命题p:“∃x0∈R,x02﹣x0+1<0”,则命题p的否定为:“∀x∈R,x2﹣x+1≥0”.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:对于①,函数y=sinx,其导函数是y=cosx,为偶函数,①正确;
对于②,“若x=y,则x2=y2”是真命题,则它的逆否命题也为真命题,②正确;
对于③,“x≥2”时,不等式“x2﹣x﹣2≥0”成立,即充分性成立;
“x2﹣x﹣2≥0”时,x≤﹣1或x≥2,必要性不成立;
∴是充分不必要条件,③错误;
对于④,命题p:“∃x0∈R,x02﹣x0+1<0”,
命题p的否定为:“∀x∈R,x2﹣x+1≥0”,④正确.
综上,正确命题的序号是①②④,共3个.
故选:D.
12.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中(如图),已知点P在直线BC1上运动,则下列四个命题:
①三棱锥A﹣D1BC的体积不变;
②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变;
③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;
④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是直线A1D1.
其中正确命题的编号是( )
A.①③④ B.①② C.①③ D.①④
【解答】解:对于①,三棱锥A﹣D1BC的体积与P点位置无关,∴三棱锥A﹣D1BC的体积不变,故①正确;
对于②,以D1为坐标原点,建立如图所示的空间坐标系,
设正方体边长为1,则=(1,1,﹣1)为平面ACD1的法向量,
而=(0,1,0),=(﹣1,1,﹣1),
∴cos<,>==,
cos<,>==,
∴AB,AC1与平面ACD1所成的角不相等,
即当P在直线BC1上运动时,AP与平面ACD1所成的角会发生变化,故②错误;
对于③,当P位置变化时,平面PAD1的位置不发生变化,
故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变,故③正确;
对于④,空间中到点D和C1的距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面A1D1CB,
而中垂面A1D1CB与平面A1B1C1D1的交线为直线A1D1,故④正确.
故选:A.
三.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 ﹣4 .
【解答】解:作表示的平面区域如下,
z=x﹣2y可化为y=﹣,
故当过点(0,2)时,﹣有最大值,z=x﹣2y有最小值﹣4;
故答案为:﹣4.
14.(5分)已知向量,满足||=||=2,且)=﹣6,则与 的夹角为 .
【解答】解:设与 的夹角为θ,
∵向量,满足||=||=2,且)=﹣6,
∴)=•﹣=||•||•cosθ﹣||2=4cosθ﹣4=﹣6,
∴cosθ=﹣,
∵0≤θ≤π,
∴θ=π,
故答案为:
15.(5分)在区间[0,1]上随机地取两个数x、y,则事件“y≤x5”发生的概率为 .
【解答】解:在区间[0,1]上随机地取两个数x、y,构成区域的面积为1;
事件“y≤x5”发生,区域的面积为==,
∴事件“y≤x5”发生的概率为.
故答案为.
16.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足C,D.若|AF|=2|BF|,且三角形CDF的面积为,则p的值为 .
【解答】解:如图所示,M是AC的中点,则x+=p,∴x=p,
∴AB=p,∴CD=MB=p,
∵三角形CDF的面积为,
∴,
∴,
故答案为:.
四、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.(12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
【解答】解:(1)由题意得
解得,
∴an=4n+2;
(2),
∴,
∴.
18.(12分)如图,三棱台ABC﹣A1B1C1中,侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形,若A1A⊥AB,A1A⊥A1C1,且AB=2A1B1=4A1A.
(Ⅰ)若,,证明:DE∥平面BCC1B1;
(Ⅱ)若二面角C1﹣AA1﹣B为,求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:连接AC1,BC1,
在梯形A1C1CA中,AC=2A1C1,
∵AC1∩A1C=D,,
∴,
又,∴DE∥BC1,
∵BC1⊂平面BCC1B1,DE⊄平面BCC1B1,
∴DE∥平面BCC1B1 ;
(Ⅱ)解:侧面A1C1CA是梯形,∵A1A⊥A1C1,∴AA1⊥AC,
又A1A⊥AB,∴∠BAC为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角,则∠BAC=,
∴△ABC,△A1B1C1均为正三角形,
在平面ABC内,过点A作AC的垂线,如图建立空间直角坐标系,
不妨设AA1=1,则A1B1=A1C1=2,AC=AC=4,
故点A1(0,0,1),C(0,4,0),.
设平面A1B1BA的法向量为,
则有,取,得;
设平面C1B1BC的法向量为,
则有,取,得.
∴,
故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为.
19.(12分)某科技公司生产一种手机加密芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于70为合格品,小于70为次品.现随机抽取这种芯片共120件进行检测,检测结果统计如表:
测试指标
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
芯片数量(件)
8
22
45
37
8
已知生产一件芯片,若是合格品可盈利400元,若是次品则亏损50元.
(Ⅰ)试估计生产一件芯片为合格品的概率;并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率.
(Ⅱ)记ξ为生产4件芯片所得的总利润,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题意芯片为合格品的概率…(2分)
则利润不少于700元的情况为两件正品,一件次品或三件正品
所以…(6分)
(Ⅱ)ξ的所有取值为1600,1150,700,250,﹣200,
,
,
,
,
,
ξ
1600
1150
700
250
﹣200
P
…(10分)
所以…(12分)
20.(12分)已知m>1,直线l:x﹣my﹣=0,椭圆C:+y2=1,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)解:因为直线l:x﹣my﹣=0,经过F2(,0),
所以=,得m2=2,
又因为m>1,所以m=,
故直线l的方程为x﹣y﹣1=0.
(Ⅱ)解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
由,消去x得
2y2+my+﹣1=0
则由△=m2﹣8(﹣1)=﹣m2+8>0,知m2<8,
且有y1+y2=﹣,y1y2=﹣.
由于F1(﹣c,0),F2(c,0),故O为F1F2的中点,
由,=2,可知G(,),H(,)
|GH|2=+
设M是GH的中点,则M(,),
由题意可知2|MO|<|GH|
即4[()2+()2]<+即x1x2+y1y2<0
而x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=(m2+1)()
所以()<0,即m2<4
又因为m>1且△>0
所以1<m<2.
所以m的取值范围是(1,2).
21.(12分)设函数f(x)=2(x﹣2)ex﹣ax2+2ax+3﹣b
(Ⅰ)若f(x)在x=0处的法线(经过切点且垂直于切线的直线)的方程为x+2y+4=0,求实数a,b的值;
(Ⅱ)若x=1是f(x)的极小值点,求实数a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)f'(x)=2(x﹣1)ex﹣2ax+2a;…(2分);
由题意可知:f'(0)=2;…(3分);f'(0)=﹣2+2a=2⇒a=2;…(4分);
易得切点坐标为(0,﹣2),则有f(0)=﹣2⇒b=1;…(5分);
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:f'(x)=2(x﹣1)ex﹣2ax+2a=2(x﹣1)(ex﹣a);…(6分);
(1)当a≤0时,ex﹣a>0⇒f'(x)=0⇒x=1,x∈(﹣∞,1)⇒f'(x)<0;
x∈(1,+∞)⇒f'(x)>0;x=1是f(x)的极小值点,
∴a≤0适合题意;…(7分);
(2)当0<a<e时,f'(x)=0⇒x1=1或x2=lna,且lna<1;
x∈(﹣∞,lna)⇒f'(x)>0;x∈(lna,1)⇒f'(x)<0;
x∈(1,+∞)⇒f'(x)>0;x=1是f(x)的极小值点,
∴0<a<e适合题意;…(9分);
(2)当a≥e时,f'(x)=0⇒x1=1或x2=lna,且lna≥1;
x∈(﹣∞,1)⇒f'(x)>0;x∈(1,lna)⇒f'(x)<0;
x∈(lna,+∞)⇒f'(x)>0;x=1是f(x)的极大值点,
∴a≥e不适合题意;…(11分)
综上,实数a的取值范围为a<e;…(12分);
【选修4-4:坐标系与参数方程】
22.(10分)已知直线l的参数方程为.以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)求直线l与圆C的普通方程;
(Ⅱ)若直线l分圆C所得的弧长之比为3:1,求实数a的值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知:ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ⇒x2﹣4x+y2=0,
;
(Ⅱ)x2﹣4x+y2=0⇒(x﹣2)2+y2=4;
直线l分圆C所得的弧长之比为3:1
⇒弦长为,;
或a=4.