【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：8-6-3　平面与平面垂直 39页

8 . 6 . 3 　 平面与平面垂直 课标阐释 思维脉络 1 . 了解二面角及其平面角的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 掌握两个平面互相垂直的定义和画法 . ( 直观想象、数学抽象 ) 3 . 理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理 , 并能解决有关面面垂直的问题 . ( 逻辑推理、直观想象 ) 激趣诱思 知识点拨 1970 年 4 月 24 日 , 我国用自制 “ 长征一号 ” 运载火箭 , 在酒泉卫星发射中心成功地发射了第一颗人造地球卫星 ——“ 东方红一号 ”, 这标志着我国在征服太空的道路上迈出了巨大的一步 , 跻身于世界航天先进国家之列 . 同学们 , 你知道吗 ?“ 东方红一号 ” 轨道的倾斜角是 68 . 5°, 也就是卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是 68 . 5° . 那么二面角是如何刻画的呢 ? 研究二面角又有何重要作用呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、二面角 1 . 二面角 概念 平面内的一条直线把平面分成两部分 , 这两部分通常 称为 半平面 . 从一条直线出发的两个 半平面 所组成的图形叫做二面角 . 这条直线叫做二面角的 棱 , 这两个半平面叫做二面角的 面 图示 记法 棱为 AB, 面分别为 α , β 的二面角记作二面角 α -AB- β . 有时为了方便 , 也可在 α , β 内 ( 棱以外的半平面部分 ) 分别取点 P,Q, 将这个二面角记作二面角 P-AB-Q. 如果棱记作 l, 那么这个二面角记作二面角 α -l- β 或二面角 P-l-Q. 激趣诱思 知识点拨 2 . 二面角的 平面角 概念 在二面角 α -l- β 的棱 l 上任取一点 O, 以点 O 为垂足 , 在半平面 α 和 β 内分别作垂直于 棱 l 的射线 OA 和 OB, 则射线 OA 和 OB 构成的 ∠ AOB 叫做二面角的平面角 . 图示 符号 OA ⊂ α ,OB ⊂ β , α ∩ β =l,O ∈ l,OA ⊥ l,OB ⊥ l ⇒ ∠ AOB 是二面角的平面角 范围 0°≤ ∠ AOB≤180° 激趣诱思 知识点拨 规定 二面角的大小可以用它的 平面角 来度量 , 二面角的平面角是多少度 , 就说这个二面角是多少度 . 平面角是 直角 的二面角叫做直二面角 激趣诱思 知识点拨 微思考 (1) 平面几何中 ,“ 角 ” 是如何定义的 ? 提示 : 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角 . (2) 如图 , 观察教室内门与墙面 , 当门绕着门轴旋转时 , 门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状 . ① 数学上 , 用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角 ? 提示 : 二面角 . ② 平时 , 我们常说 “ 把门开大一点 ”, 在这里指的是哪个角大一点 ? 提示 : 二面角的平面角 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 二面角 D 1 -AB-D 的平面角的大小 是 　　　　　 .  解析 : ∵ AB ⊥ 平面 ADD 1 A 1 , ∴ AB ⊥ AD , AB ⊥ AD 1 , ∴∠ D 1 AD 为二面角 D 1 -AB-D 的平面角 . 易知 ∠ D 1 AD= 45° . 答案 : 45 ° 激趣诱思 知识点拨 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画“ √ ” , 错误的画“ ×” . ① 异面直线 a , b 分别和一个二面角的两个面垂直 , 则 a , b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 . ( 　　 ) ② 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 . ( 　　 ) 答案 : ①√ 　 ②√ 激趣诱思 知识点拨 知识 点二、平面与平面垂直的定义 一般地 , 两个平面相交 , 如果它们所成的二面角是直二面角 , 就说这两个平面互相垂直 . 平面 α 与 β 垂直 , 记作 α ⊥ β . 微思考 如何画两个相互垂直的平面 ? 提示 : 两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子 , 此时 , 把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直 . 激趣诱思 知识点拨 知识点三、平面与平面垂直的判定 定理 文字 语言 如果一个平面过另一个平面的 垂线 , 那么这两个平面垂直 图形 语言 符号 语言 l ⊥ α , l ⊂ β ⇒ α ⊥ β 作用 判断两个平面 垂直 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 判定定理可简述为 “ 线面垂直 , 则面面垂直 ” . 因此要证明平面与平面垂直 , 可转化为寻找平面的垂线 , 即证线面垂直 . (2) 两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据 , 而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据 . (3) 此定理有一个推论 : a ∥ α , a ⊥ β ⇒ α ⊥ β . 在做选择、填空题时可直接应用 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 在如图所示的长方体中 , AA' 与平面 ABCD 有什么位置关系 ? AA' 在长方体的哪几个面内 ? 这几个面与底面 ABCD 有什么位置关系 ? 提示 : AA' 与平面 ABCD 垂直 ; AA' 在平面 AA'B'B 内 , 也在平面 AA'D'D 内 , 这两个平面都与底面垂直 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 在三棱锥 P-ABC 中 , 已知 PA ⊥ PB , PB ⊥ PC , PC ⊥ PA , 如图 , 则在三棱锥 P-ABC 的四个面中 , 互相垂直的面有 　　　　 对 .  解析 : 平面 PAB ⊥ 平面 PAC , 平面 PAB ⊥ 平面 PBC , 平面 PAC ⊥ 平面 PBC. 答案 : 3 激趣诱思 知识点拨 知识点四、平面与平面垂直的性质 定理 文字 语言 两个平面垂直 , 如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线 , 那么这条直线与另一个平面垂直 符号 语言 ⇒ a ⊥ β 图形 语言 作用 证明直线与平面 垂直 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 已知长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 , 在平面 AB 1 上任取一点 M , 作 ME ⊥ AB 于 E , 则 ( 　　 ) A. ME ⊥ 平面 AC 　　 B. ME ⊂ 平面 AC C. ME ∥ 平面 AC D. 以上都有可能 解析 : 由于 ME ⊂ 平面 AB 1 , 平面 AB 1 ∩ 平面 AC=AB , 且平面 AB 1 ⊥ 平面 AC , ME ⊥ AB , 则 ME ⊥ 平面 AC. 答案 : A 激趣诱思 知识点拨 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画“ √ ” , 错误的画“ ×” . ① 已知两个平面垂直 , 则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 . ( 　　 ) ② 已知两个平面垂直 , 则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 . ( 　　 ) ③ 已知两个平面垂直 , 则过一个平面内任意一点作交线的垂线 , 则此垂线必垂直于另一个平面 . ( 　　 ) 答案 : ① × 　 ②√ 　 ③ × 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明两个平面垂直 例 1 如图 , 已知 ∠ BSC= 90°, ∠ BSA= ∠ CSA= 60°, 又 SA=SB=SC. 求证 : 平面 ABC ⊥ 平面 SBC . 分析 ( 方法一 ) 取 BC 的中点 D , 证出 ∠ ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角 , 通过计算得到 ∠ ADS= 90° . ( 方法二 ) 先证出从点 A 向平面 SBC 引垂线所得垂足 D 为 △ SBC 的外心 , 即为斜边 BC 的中点 , 再证 AD ⊥ 平面 SBC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : ( 方法一 ) ∵∠ BSA= ∠ CSA= 60°, SA=SB=SC , ∴△ ASB 和 △ ASC 是等边三角形 , 则 有 SA=SB=SC=AB=AC , 令其值为 a , 则 △ ABC 和 △ SBC 为共底边 BC 的等腰三角形 . 取 BC 的中点 D , 如图 , 连接 AD , SD , 则 AD ⊥ BC , SD ⊥ BC , ∴∠ ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角 . 在 △ ADS 中 , ∵ SD 2 +AD 2 =SA 2 , ∴∠ ADS= 90°, 即二面角 A-BC-S 为直二面角 , 故平面 ABC ⊥ 平面 SBC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) ∵ SA=SB=SC , 且 ∠ BSA= ∠ CSA= 60°, ∴ SA=AB=AC , ∴ 过点 A 向平面 SBC 引垂线 , 设垂足为 D , 则垂足 D 为 △ SBC 的外心 . ∵△ SBC 为直角三角形 , ∴ 垂足 D 为斜边 BC 的中点 , ∴ AD ⊥ 平面 SBC. 又 AD ⊂ 平面 ABC , ∴ 平面 ABC ⊥ 平面 SBC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明平面与平面垂直的方法 (1) 利用定义 : 证明二面角的平面角为直角 , 其判定的方法是 : ① 找出两相交平面的平面角 ; ② 证明这个平面角是直角 ; ③ 根据定义 , 这两个相交平面互相垂直 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 利用面面垂直的判定定理 : 要证面面垂直 , 只需证线面垂直 . 即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直 . 这是证明面面垂直的常用方法 , 其基本步骤是 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 在本例中 , 若 SA=SB=SC= 2, 其他条件不变 , 如何求三棱锥 S-ABC 的体积呢 ? 解 : 由例 1 中方法一 ( 或方法二 ) 可得 SD ⊥ AD. ∵ SD ⊥ BC , AD ∩ BC=D , ∴ SD ⊥ 平面 ABC , 即 SD 的长就是顶点 S 到底面 ABC 的距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求二面角的平面角的大小 例 2 如图 , 已知四边形 ABCD 是正方形 , PA ⊥ 平面 ABCD. (1) 二面角 B-PA-D 平面角的大小为 　　　　　 ;  (2) 二面角 B-PA-C 平面角的大小为 　　　　　 .  分析 先依据二面角的定义找相应二面角的平面角 , 然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值 , 最后指出二面角的平面角的大小 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ AB ⊥ PA , AD ⊥ PA. ∴∠ BAD 为二面角 B-PA-D 的平面角 . 又由题意 ∠ BAD= 90°, ∴ 二面角 B-PA-D 平面角的大小为 90° . (2) ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ AB ⊥ PA , AC ⊥ PA. ∴∠ BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角 . 又四边形 ABCD 为正方形 , ∴∠ BAC= 45° . 即二面角 B-PA-C 平面角的大小为 45° . 答案 : (1)90° 　 (2)45° 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 求二面角的平面角的大小的步骤如下 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 作二面角的平面角的常用方法 : (1) 定义法 . 在二面角的棱上找一个特殊点 , 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 . 如图 ① , 则 ∠ AOB 为二面角 α -l- β 的平面角 . (2) 垂面法 . 过棱上一点作棱的垂直平面 , 该平面与二面角的两个半平面产生交线 , 这两条交线所成的角 , 即为二面角的平面角 . 如图 ② , ∠ AOB 为二面角 α -l- β 的平面角 . (3) 垂线法 . 过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线 , 垂足为 B , 由点 B 向二面角的棱作垂线 , 垂足为 O , 连接 AO , 则 ∠ AOB 为二面角的平面角或其补角 . 如图 ③ , ∠ AOB 为二面角 α -l- β 的平面角 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 在题设条件不变的情况下 , 若 PA=AD , 求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小 . 解 : ∵ CD ∥ 平面 PAB , 过 P 作 CD 的平行线 l , 如图 , 由 PA ⊥ CD , CD ⊥ AD , PA ∩ AD=A , 知 CD ⊥ 平面 PAD , ∴ CD ⊥ PD. 又 CD ∥ l , ∴ l ⊥ PD. ∴∠ DPA 为平面 PAB 和平面 PCD 所成二面角的平面角 , 为 45° . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 平面与平面垂直的性质的应用 例 3 如图 , 已知 V 是 △ ABC 外一点 , VA ⊥ 平面 ABC , 平面 VAB ⊥ 平面 VBC. 求证 : AB ⊥ BC . 分析 要证 AB ⊥ BC , 可证 BC ⊥ 平面 VAB , 易得 VA ⊥ BC. 又平面 VAB ⊥ 平面 VBC , 所以可在平面 VAB 内过点 A 作 VB 的垂线 , 即与 BC 垂直 , 可得证 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : 在平面 VAB 内 , 过点 A 作 AD ⊥ VB 于点 D. ∵ 平面 VAB ⊥ 平面 VBC , 且交线为 VB , ∴ AD ⊥ 平面 VBC. ∴ AD ⊥ BC. ∵ VA ⊥ 平面 ABC , ∴ VA ⊥ BC. ∵ AD ∩ VA=A , 且 VA ⊂ 平面 VAB , AD ⊂ 平面 VAB , ∴ BC ⊥ 平面 VAB. ∵ AB ⊂ 平面 VAB , ∴ AB ⊥ BC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 在运用面面垂直的性质定理时 , 若没有与交线垂直的直线 , 一般需作辅助线 , 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 , 这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题 , 进而转化为线线垂直问题 . 2 . 平面与平面垂直的其他性质 : (1) 如果两个平面垂直 , 那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 . (2) 如果两个平面垂直 , 那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面 . (3) 如果两个平面垂直 , 那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中的已知换为 : 平面 VAB ⊥ 平面 ABC , 平面 VAC ⊥ 平面 ABC , CA ⊥ AB. 试证 : VA ⊥ BC. 证明 : ∵ 平面 VAB ⊥ 平面 ABC , 平面 VAB ∩ 平面 ABC=AB , AC ⊂ 平面 ABC , CA ⊥ AB , ∴ CA ⊥ 平面 VAB , ∴ CA ⊥ VA. 同理 , BA ⊥ VA. 又 AB ∩ AC=A , ∴ VA ⊥ 平面 ABC , ∵ BC ⊂ 平面 ABC , ∴ VA ⊥ BC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用 典例 已知 α , β , γ 是三个不同的平面 , l 为直线 , α ⊥ γ , β ⊥ γ , α ∩ β =l. 求证 : l ⊥ γ . 分析 根据直线和平面垂直的判定定理 , 可在 γ 内构造两相交直线分别与平面 α , β 垂直 ; 或者由面面垂直的性质易在 α , β 内作出平面 γ 的垂线 , 再设法证明 l 与其平行即可 . 证明 : ( 方法一 ) 在 γ 内取一点 P , 作 PA 垂直 α 与 γ 的交线于点 A , PB 垂直 β 与 γ 的交线于点 B , 则 PA ⊥ α , PB ⊥ β . ∵ l= α ∩ β , ∴ l ⊥ PA , l ⊥ PB. 又 PA ∩ PB=P , 且 PA ⊂ γ , PB ⊂ γ , ∴ l ⊥ γ . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线 , 在 β 内作直线 n 垂直于 β 与 γ 的交线 , ∵ α ⊥ γ , β ⊥ γ , ∴ m ⊥ γ , n ⊥ γ . ∴ m ∥ n. 又 n ⊂ β , m ⊄ β , ∴ m ∥ β . 又 m ⊂ α , α ∩ β =l , ∴ m ∥ l. ∴ l ⊥ γ . 方法点睛 线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想 , 其转化关系如下 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 如 图所示 , 在三棱锥 P-ABC 中 , 平面 PAB ⊥ 平面 ABC , PA=PB , AD=DB , 则 ( 　　 ) A. PD ⊂ 平面 ABC B. PD ⊥ 平面 ABC C. PD 与平面 ABC 相交但不垂直 D. PD ∥ 平面 ABC 解析 : ∵ PA=PB , AD=DB , ∴ PD ⊥ AB. 又平面 PAB ⊥ 平面 ABC , 平面 PAB ∩ 平面 ABC=AB , PD ⊂ 平面 PAB , ∴ PD ⊥ 平面 ABC. 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . ( 多选题 ) 对于直线 m , n 和平面 α , β , 能得出 α ⊥ β 的一个条件是 ( 　　 ) A. m ⊥ n , m ⊥ α , n ⊥ β B. m ⊥ n , α ∩ β =m , n ⊂ α C. m ∥ n , n ⊥ β , m ⊂ α D. m ∥ n , m ⊥ α , n ⊥ β 解析 : A 中 , α ⊥ β ;B 中 , α 与 β 相交但不一定垂直 ;C 中 , ∵ m ∥ n , n ⊥ β , ∴ m ⊥ β . 又 m ⊂ α , ∴ α ⊥ β ;D 中 , α ∥ β . 答案 : AC 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . (2020 四川高三二模 ) 已知 α , β 是空间中两个不同的平面 , m , n 是空间中两条不同的直线 , 则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 若 m ⊂ α , n ⊂ β , 且 α ⊥ β , 则 m ⊥ n B. 若 m ⊂ α , n ⊂ α , 且 m ∥ β , n ∥ β , 则 α ∥ β C. 若 m ⊥ α , n ∥ β , 且 α ⊥ β , 则 m ⊥ n D. 若 m ⊥ α , n ∥ β , 且 α ∥ β , 则 m ⊥ n 解析 : 对于 A, 当 m ⊂ α , n ⊂ β , 且 α ⊥ β , 则 m 与 n 的位置关系不确定 , 故 A 错误 ; 对于 B, 若 m ∥ n 时 , 不能判定 α ∥ β , 故 B 错误 ; 对于 C, 若 m ⊥ α , n ∥ β , 且 α ⊥ β , 则 m 与 n 的位置关系不确定 , 故 C 错误 ; 对于 D, 由 m ⊥ α , α ∥ β 可得 m ⊥ β , 又 n ∥ β , 则 m ⊥ n , 故 D 正确 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 如 图 , 已知 AB ⊥ 平面 BCD , BC ⊥ CD , 则图中互相垂直的平面共有 　　　　　 对 .  解析 : ∵ AB ⊥ 平面 BCD , ∴ 平面 ABC ⊥ 平面 BCD , 平面 ABD ⊥ 平面 BCD. ∵ BC ⊥ CD , ∴ DC ⊥ 平面 ABC. ∴ 平面 ADC ⊥ 平面 ABC. ∴ 共有 3 对互相垂直的平面 . 答案 : 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 正四面体的侧面与底面所成的二面角的平面角的余弦值是 　　　　　 .  解析 : 如图所示 , 设正四面体 ABCD 的棱长为 1, 过点 A 作 AO ⊥ 底面 BCD , 垂足为 O , 连接 DO 并延长交 BC 于点 E , 连接 AE , 则 E 为 BC 的中点 , 故 AE ⊥ BC , DE ⊥ BC , ∴∠ AEO 为侧面 ABC 与底面 BCD 所成二面角的平面角 .