2016-2017 年度高一学年下学期期中考试 数学试卷 12页

真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 1 2016-2017 年度高一学年下学期期中考试 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 数列1,3,7,15, 的一个通项公式是（） A. 2n na  B. 2 +1n na  C. +12n na  D. 2 1n na   2.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 10 6 kS S S S ， ，则 k 的值是（） A. 6 B.7 C. 8 D. 9 3. 已知 1, 2 a b ， ,a b R  ，则 a b 等于（） A. 1B.3C.1或3 D.  4.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 5 65, 21a S  ，则数列 1 1 n na a        的前 5 项和为（） A. 1B. 5 6 C. 1 6 D. 1 30 5. 下列说法正确的是（） A. ,a b 则 2 2ac bc B. ,a b c c  则 a b C. ,a b c d  ，则 ac bd D. ,a b c d  ，则 a d b c   6. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 8 12+ 12a a a  则 13S  （） A．104 B. 78 C. 52 D. 39 7.已知数列 na 是等比数列，且其前 n 项和  = 1 n nS a  ，则 a 的值为（） A. 0 B.1C. 2 D. 1 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 2 8.正项等比数列 na 中，  * 1n na a n N   ，且 1a ， 2 5 3 a ， 3a 成等差数列，则 5 6 4 5 =a a a a   （） A. 3 B. 1 3 C. 2 D. 1 2 9. 已知两点    1,0 1 3A B， ， ，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120AOC   ， 设  2OC OA OB R       ，则  等于（） A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 10. 定义：若数列 na 对任意的正整数 ，都有 1n na a d   （ d 为常数），则称 na 为 "绝对和数列"，d 叫做"绝对公和"，已知"绝对和数列" na 中， 1 2a  , "绝对公和" 2d  ， 则其前 2017 项和 2017S 的最小值为（） A. 2014 B. 2018 C. 2020 D. 2022 11. 在 ABC 中，设 2 2 2AC AB AM BC      ，则动点 M 的轨迹必通过 ABC 的（） A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 12. 已知数列 na 中， 1a a ， nb 是公比为 2 3 等比数列．记 *2 ,1 n n n ab n Na   ， 若不等式 1n na a  对一切 *n N 恒成立，则实数 a 的取值范围是（） A. 2 +， B. 1,3 C. 3 +， D.  2,4 二．填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 3 13. 在等比数列 na 中， 1 6 11 1a a a  ，则 2 10a a  ． 14. 在 ABC 中 ， 2BD DC  ， 若 , ,AD AB AC R        ， 则  的 值 为 ． 15. 已 知 向 量    2,1 , 1,2  a b ， 若 ,a b 在 向 量 c 上 的 投 影 相 等 ， 且     5 2     c a c b ，则向量 c 的坐标为 ． 16. 数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2 1a a  ，   2n nnS n a  为等差数列，则 na 的通项公式 na  ． 三．解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分） （I）设 0 x y ，试比较   2 2 x y x y 与  2 2 +x y x y 的大小； （Ⅱ）已知 0, 0,a b a b   ，试比较 a ba b 与  2 a b ab 的大小. 18.（本题满分 12 分） 等差数列 na 中， 2 4a  ， 4 7 15a a  ． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设 22 na nb n  ，求 1 2 3 nb b b b   ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 4 19.（本题满分 12 分） 已 知 ABC 中 ， 角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 是 , ,a b c ， 向 量 ( ,2 )b cm ， (sin ,sin cos )C B An ， 且 m n . （I）求 A 的大小； （Ⅱ）若 2 3, 2 a c ，求b 的值. 20.（本题满分 12 分） 已 知 ABC 中 ， 角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 是 , ,a b c ， 向 量 1( 3sin , )2p  C ， (cos ,1 cos2 )q  C C ， 1 2p q  ，且 3c . （I）求C 的大小； （Ⅱ）若向量 (1,sin )m  A 与 (2,sin )n  B 共线，求 ,a b 的值. 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 5 21.(本题满分 12 分) 已知数列 na 的前 n 项和 23 8nS n n  ， nb 是等差数列，且 1n n na b b   . （I）求数列 nb 的通项公式； （II）令 1( 1) ( 2) n n n n n ac b   ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 22.(本题满分 12 分) 设 数 列  na 的 前 n 项 和 为 nS ， 对 任 意 的 正 整 数 n ， 都 有 5 1n na S  成 立 ， 记 *4 ( )1 n n n ab n Na   ， * 2 2 1( )n n nc b b n N   ． （I）证明：数列 na 是等比数列； （II）求数列 nb 的最大项； （III）设数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求证：对任意正整数 n 都有 3 2nT  ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 6 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 数列1,3,7,15, 的一个通项公式是（D） A. 2n na  B. 2 +1n na  C. +12n na  D. 2 1n na   2.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 3 10 6 kS S S S ， ，则 k 的值是（B ） A. 6 B.7 C. 8 D. 9 3. 已知 1, 2 a b ， ,a b R  ，则 a b 等于（C） A. 1B.3C.1或3 D.  4.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 5 65, 21a S  ，则数列 1 1 n na a        的前 5 项和为（B） A. 1B. 5 6 C. 1 6 D. 1 30 5. 下列说法正确的是（D） A. ,a b 则 2 2 ,ac bc B. ,a b c c  则 a b ， C. ,a b c d  ，则 ,ac bd D. ,a b c d  ，则 ,a d b c   6. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 8 12+ 12a a a  则 13S  （C） A．104 B. 78 C. 52 D. 39 7.数列 na 的前 n 项和为  = 1 n nS a  ，若 na 是等比数列，则 a 的值为（D ） A. 0 B.1 C. 2 D. 1 8.正项等比数列 na 中 1n na a  ，且 1a ， 2 5 3 a ， 3a 成等差数列，则 5 6 4 5 =a a a a   （A） A. 3 B. 1 3 C. 2 D. 1 2 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 7 9. 已知两点    1,0 1 3A B， ， ，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120AOC   ， 设  2OC OA OB R       ，则  等于（C） A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 10. 定义：若数列 na 对任意的正整数 ，都有 1n na a d   （ d 为常数），则称 na 为 "绝对和数列"，d 叫做"绝对公和"，已知"绝对和数列" na 中， 1 2a  , "绝对公和" 2d  ， 则其前 2017 项和 2017S 的最小值为（A） A. 2014 B. 2018 C. 2020 D. 2022 11. 在 ABC 中，设 2 2 2AC AB AM BC      ，则动点 M 的轨迹必通过 ABC 的（D） A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 12. 已知数列 na 中， 1a a ， nb 是公比为 2 3 等比数列．记 *2 ,1 n n n ab n Na   ， 若不等式 1n na a  对一切 *n N 恒成立，则实数 a 的取值范围是（A） A. 2 +， B. 1,3 C. 3 +， D.  2,4 二．填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 在等比数列 na 中， 1 6 11 1a a a  ，则 2 10a a  1 ． 14. 在 ABC 中 ， 2BD DC  ， 若 , ,AD AB AC R        ， 则  的 值 为 2 9 ． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 8 15. 已 知 向 量    2,1 , 1,2  a b ， 若 ,a b 在 向 量 c 上 的 投 影 相 等 ， 且     5 2     c a c b ，则向量 c 的坐标为 1 3 2 2      ， ． 16. 数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2 1a a  ，   2n nnS n a  为等差数列，则 na 的通项公式 na  12n n  ． 三．解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） （I）设 0 x y ，试比较   2 2 x y x y 与  2 2 +x y x y 的大小； （Ⅱ）已知 0, 0,a b a b   ，试比较 a ba b 与  2 a b ab 的大小. 解 （I）      2 2 2 2 +    x y x y x y x y   2  x y xy ，且 0 x y 0, 2 0    x y xy ，   2 0,   x y xy      2 2 2 2 +    x y x y x y x y （Ⅱ）   2 2 2 2           a ba baa b a b a b b a b a a bab b ，且 0, 0,  a b a b 0, 1, 02    若 则a a ba b b ， 2 1       a b a b ，    2 20      a b a b a bab a b ab 0, 1, 02     若 则0 a a bb a b ， 2 1       a b a b ，    2 20      a b a b a bab a b ab 综上：   2   a b a ba b ab 18.（本题满分 12 分） 等差数列 na 中， 2 4a  ， 4 7 15a a  ． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 9 （Ⅱ）设 22 na nb n  ，求 1 2 3 nb b b b   的值． 解:（I）设等差数列 na 的公差为 d ． 由已知得     1 1 1 4 3 6 15 a d a d a d       ，解得 1 3 1 a d    ．…………….4 分 所以  1 1 2na a n d n     ．………………………………………6 分 （II）由（I）可得 2n nb n  ． 所以        2 3 n 1 2 3 n 2 1 2 2 2 3 2 nb b b b              2 3 n2 2 2 2 1 2 3 n        ……………………….8 分    n2 1 2 1 n n 1 2 2        n+1 1 n n2 2 2     ……………………………………………..12 分 19.（本题满分 12 分） 已 知 ABC 中 ， 角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 是 , ,a b c ， 向 量 ( ,2 )b cm ， (sin ,sin cos )C B An ， 且 m n . （I）求 A 的大小； （Ⅱ）若 2 3, 2 a c ，求b 的值. 解 （I）由 m n 得 =0m n 即 sin 2 sin cos 0 b C c B A 由正弦定理得sin sin 2sin sin cos 0 B C C B A 即  sin sin 1 2cos 0 B C A 因为在 ABC 中sin sin 0B C ，所以 1cos = 2 A ， 2 3 A . （Ⅱ）由余弦定理： 2 2 2 2 cos  a b c bc A 所以有 2 2 8 0  b b ，  2 4  或 舍b b 20.（本题满分 12 分） 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 10 已 知 ABC 中 ， 角 A B C， ， 所 对 的 边 分 别 是 , ,a b c ， 向 量 1( 3sin , )2p  C ， (cos ,1 cos2 )q  C C ， 1 2p q  ，且 3c . （I）求C 的大小； （Ⅱ）若向量 (1,sin )m  A 与 (2,sin )n  B 共线，求 ,a b 的值. 解：（I）由得 1= 2p q ，得  1 13sin cos 1 cos22 2   C C C 整理得sin 2 16      C ，  0, 3   C C （Ⅱ）由 m n∥ ，得sin =2sinB A ， 由正弦定理得， =2b a 由余弦定理得 2 2 2 2 cos  c a b ab C ， 整理得 2 3a ，整理得 0 3, 2 3   a a b 21.(本题满分 12 分) 已知数列 na 的前 n 项和 23 8nS n n  ， nb 是等差数列，且 1n n na b b   . （I）求数列 nb 的通项公式； （II）令 1( 1) ( 2) n n n n n ac b   .求数列 nc 的前 n 项和 nT . 解:（Ⅰ） 2n 时， 561   nSSa nnn ，当 1n 时， 1111  Sa ； 所以 56  nan ；…………………………………………………….3 分 设数列 nb 的公差为 d ，由      322 211 bba bba ，即      db db 3217 211 1 1 ，解之得 3,41  db ，所 以 13  nbn …………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 +1(6 6) 3( 1) 2(3 3) n n n n nc nn     ，又 nn ccccT  321 ， 即 ]2)1(242322[3 1432  n n nT ， 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 11 所以 ]2)1(242322[32 2543  n n nT ，……………………10 分 2221432 23]2)1(12 )12(44[3]2)1(22222[3    nn n nn n nnnT 所以 223  n n nT ．……………………………………………………………….12 分 22.(本题满分 12 分) 设 数 列  na 的 前 n 项 和 为 nS ， 对 任 意 的 正 整 数 n ， 都 有 5 1n na S  成 立 ， 记 *4 ( )1 n n n ab n Na   ， * 2 2 1( )n n nc b b n N   （I）证明：数列 na 是等比数列； （II）求数列 nb 的最大项； （III）设数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求证：对任意正整数 n 都有 3 2nT  ． 解：（I）当 1n 时， 1 1 1 15 1, 4     a S a 1 1 1 15 , 4 即       n n n n n aa a a a ∴数列 na 是首项为 1 1 4  a ，公比为 1 4  q 的等比数列；………………4 分 （II）由（I）知 1( )4   n na ，∴ 14 ( ) 54 41 ( 4) 11 ( )4         n n n n b 当 n 为奇数时， nb <4,当 n 为偶数时， nb >4， 由 54 ( 4) 1n nb     知数列 2nb 是递减数列， ∴数列 nb 的最大项 2 14 3b  ………………8 分 （III）由 54 ( 4) 1n nb     得   2 1 2 2 2 1 5 5 25 16 4 1 4 1 16 1 16 4 n n n n n n n nc b b           2 25 16 16 +3 16 4 n n n     2 25 16 16 n n  真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 12 25=16n 又 1 2 133, 3b b  ， 1 4 3c  当 1n 时， 1 3 2T  ，当 2n  时， 2 2 2 3 2 1 1[1 ( ) ]4 1 1 1 4 16 1625 ( ) 25 13 16 16 16 3 1 16 1 4 69 31625 13 48 21 16 n n nT                   …………………………………12 分