高考数学专题复习练习：考点规范练22 8页

考点规范练22　三角恒等变换 ‎　考点规范练B册第14页　 ‎ 基础巩固 ‎1.函数f(x)=(‎3‎sin x+cos x)(‎3‎cos x-sin x)的最小正周期是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.π‎2‎ B.π C.‎3π‎2‎ D.2π 答案B 解析f(x)=2sinx+‎π‎6‎×2cosx+‎π‎6‎=2sin‎2x+‎π‎3‎,故最小正周期T=‎2π‎2‎=π,故选B.‎ ‎2.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.-‎4‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎或0 D.-‎4‎‎3‎或0‎ 答案C 解析因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos2α.‎ 所以2cos α(2sin α-cos α)=0,‎ 解得cos α=0或tan α=‎1‎‎2‎.‎ 若cos α=0,则α=kπ+π‎2‎,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,‎ 所以tan 2α=0.‎ 若tan α=‎1‎‎2‎,则tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α‎=‎‎4‎‎3‎.‎ 综上所述,故选C.‎ ‎3.(2016江西南昌三中模拟)已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx+‎3‎cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π‎2‎,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为x=π‎8‎,则φ的值不可能为(　　)‎ A.‎5π‎24‎ B.‎13π‎24‎ C.‎17π‎24‎ D.‎‎23π‎24‎ 答案B 解析∵f(x)=3sin ωxcos ωx+‎3‎cos2ωx ‎=‎3‎‎2‎sin 2ωx+‎‎3‎‎·‎‎1+cos2ωx‎2‎ ‎=‎3‎sin‎2ωx+‎π‎6‎‎+‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴‎2π‎2ω‎=‎π‎2‎,即ω=2,∴f(x)=‎3‎sin‎4x+‎π‎6‎‎+‎‎3‎‎2‎.‎ 平移后的函数为g(x)=‎3‎sin‎4(x+φ)+‎π‎6‎‎+‎‎3‎‎2‎ ‎=‎3‎sin‎4x+4φ+‎π‎6‎‎+‎‎3‎‎2‎.‎ 由题意,得4·π‎8‎+4φ+π‎6‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 解得φ=kπ‎4‎‎-‎π‎24‎,k∈Z,故选B.‎ ‎4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为(　　)‎ A.π,[0,π] B.2π,‎‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎ C.π,‎-π‎8‎,‎‎3π‎8‎ D.2π,‎‎-π‎4‎,‎π‎4‎ 答案C 解析由f(x)=sin2x+sin xcos x=‎1-cos2x‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎sin 2x ‎=‎1‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎‎2‎‎2‎sin2x-‎2‎‎2‎cos2x=‎1‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎,‎ 则T=‎2π‎2‎=π.‎ 又2kπ-π‎2‎≤2x-π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ ‎∴kπ-π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.‎ ‎5.(2016河南开封四模)已知12sin α-5cos α=13,则tan α=(　　)‎ A.-‎5‎‎12‎ B.-‎12‎‎5‎ C.±‎12‎‎5‎ D.±‎‎7‎‎12‎ 答案B 解析由12sin α-5cos α=13,得‎12‎‎13‎sin α-‎5‎‎13‎cos α=1.‎ 设cos θ=‎12‎‎13‎,则sin θ=‎5‎‎13‎,则tan θ=sinθcosθ‎=‎‎5‎‎12‎,‎ 则‎12‎‎13‎sin α-‎5‎‎13‎cos α=sin(α-θ)=1,‎ 则α-θ=π‎2‎+2kπ,k∈Z,即α=θ+π‎2‎+2kπ,k∈Z.‎ 则tan α=tanθ+π‎2‎+2kπ ‎=tanθ+‎π‎2‎=-‎1‎tanθ=-‎12‎‎5‎,k∈Z,‎ 故选B.‎ ‎6.已知tanα+‎π‎4‎=-‎1‎‎2‎,且π‎2‎<α<π,则sin2α-2cos‎2‎αsinα-‎π‎4‎等于(　　)‎ A.‎2‎‎5‎‎5‎ B.-‎3‎‎5‎‎10‎ C.-‎2‎‎5‎‎5‎ D.-‎‎3‎‎10‎‎10‎ 答案C 解析sin2α-2cos‎2‎αsinα-‎π‎4‎‎=‎‎2sinαcosα-2cos‎2‎α‎2‎‎2‎‎(sinα-cosα)‎=2‎2‎cos α,‎ 由tanα+‎π‎4‎=-‎1‎‎2‎,得tanα+1‎‎1-tanα=-‎1‎‎2‎,解得tan α=-3.‎ 因为π‎2‎<α<π,所以cos α=-‎10‎‎10‎.‎ 所以原式=2‎2‎cos α=2‎2‎‎×‎‎-‎‎10‎‎10‎=-‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎7.(2016河南八市重点高中4月质检)已知函数f(x)=cos‎4x-‎π‎3‎+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移π‎6‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为(　　)‎ A.‎-π‎3‎,‎π‎6‎ B.‎‎-π‎4‎,‎π‎4‎ C.π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎ D.‎π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎ 答案B 解析∵函数f(x)=cos‎4x-‎π‎3‎+2cos22x=cos‎4x-‎π‎3‎+1+cos 4x=‎1‎‎2‎cos 4x+‎3‎‎2‎sin 4x+1+cos 4x=‎3‎‎2‎cos 4x+‎3‎‎2‎sin 4x+1=‎3‎sin‎4x+‎π‎3‎+1,∴函数y=f(x)的图象伸缩后的图象对应的解析式为y=‎3‎sin‎2x+‎π‎3‎+1,再平移后得y=g(x)=‎3‎sin 2x+1.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ-π‎4‎≤x≤kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ 当k=0时,得-π‎4‎≤x≤π‎4‎,故选B.‎ ‎8.(2016浙江,文11)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　　,b=　　　　　. ‎ 答案‎2‎　1‎ 解析因为2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎+1,所以A=‎2‎,b=1.‎ ‎9.设f(x)=‎1+cos2x‎2sinπ‎2‎‎-x+sin x+a2sinx+‎π‎4‎的最大值为‎2‎+3,则实数a=　　　　　. ‎ 答案±‎‎3‎ 解析f(x)=‎1+2cos‎2‎x-1‎‎2cosx+sin x+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=cos x+sin x+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=‎2‎sinx+‎π‎4‎+a2sinx+‎π‎4‎=(‎2‎+a2)sinx+‎π‎4‎.‎ 依题意有‎2‎+a2=‎2‎+3,则a=±‎3‎.‎ ‎10.(2016山东临沂一模)已知函数f(x)=sinωx-‎π‎6‎+cosωx-‎π‎3‎-2sin2ωx‎2‎(ω>0)的周期为π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)若x∈‎0,‎π‎2‎,求f(x)的最大值与最小值.‎ 解(1)∵函数f(x)=sinωx-‎π‎6‎+cosωx-‎π‎3‎-2sin2ωx‎2‎=sin ωxcosπ‎6‎-cos ωxsinπ‎6‎+cos ωxcosπ‎3‎+sin ωxsinπ‎3‎-2·‎1-cosωx‎2‎‎=‎‎3‎sin ωx+cos ωx-1=2sinωx+‎π‎6‎-1(ω>0),‎ ‎∴f(x)的周期为‎2πω=π,∴ω=2.‎ ‎(2)∵x∈‎0,‎π‎2‎,∴2x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎.‎ ‎∴sin‎2x+‎π‎6‎‎∈‎‎-‎1‎‎2‎,1‎.‎ ‎∴f(x)的最大值为1,最小值为-2‎ ‎11.已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)若0<α<π‎2‎,且sin α=‎2‎‎2‎,求f(α)的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解(方法一)(1)因为0<α<π‎2‎,sin α=‎2‎‎2‎,所以cos α=‎2‎‎2‎.‎ 所以f(α)=‎2‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎‎1+cos2x‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎cos 2x=‎2‎‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎,‎ 所以T=‎2π‎2‎=π.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ-‎3π‎8‎≤x≤kπ+π‎8‎,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ-‎3π‎8‎,kπ+‎π‎8‎,k∈Z.‎ ‎(方法二)f(x)=sin xcos x+cos2x-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎‎1+cos2x‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎cos 2x=‎2‎‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ ‎(1)因为0<α<π‎2‎,sin α=‎2‎‎2‎,所以α=π‎4‎,‎ 从而f(α)=‎2‎‎2‎sin‎2α+‎π‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎sin‎3π‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)T=‎2π‎2‎=π.‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ-‎3π‎8‎≤x≤kπ+π‎8‎,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ-‎3π‎8‎,kπ+‎π‎8‎,k∈Z.‎ 能力提升 ‎12.(2016河南洛阳月考)已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+‎3‎cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为(　　)‎ A.‎1‎‎2 016π B.‎‎1‎‎4 032π C.‎1‎‎2 016‎ D.‎1‎‎4 032‎〚导学号74920468〛‎ 答案C 解析由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 016π)是函数f(x)的最大值.‎ 又f(x)=cos ωx(sin ωx+‎3‎cos ωx)‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2ωx+‎3‎‎·‎‎1+cos2ωx‎2‎=sin‎2ωx+‎π‎3‎‎+‎‎3‎‎2‎,‎ 所以要使ω取最小值,只需保证区间[x0,x0+2 016π]为一个完整的单调递增区间即可.‎ 故2 016π=‎1‎‎2‎‎·‎‎2πωmin,求得ωmin=‎1‎‎2 016‎,‎ 故ω的最小值为‎1‎‎2 016‎,故选C.‎ ‎13.已知cos α=‎1‎‎3‎,cos(α+β)=-‎1‎‎3‎,且α,β∈‎0,‎π‎2‎,则cos(α-β)的值等于(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.-‎1‎‎3‎ D.‎‎23‎‎27‎ 答案D 解析∵α∈‎0,‎π‎2‎,∴2α∈(0,π).‎ ‎∵cos α=‎1‎‎3‎,∴cos 2α=2cos2α-1=-‎7‎‎9‎,‎ ‎∴sin 2α=‎1-cos‎2‎2α‎=‎‎4‎‎2‎‎9‎,‎ 又α,β∈‎0,‎π‎2‎,∴α+β∈(0,π),‎ ‎∴sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]‎ ‎=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)‎ ‎=‎-‎‎7‎‎9‎‎×‎-‎‎1‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎9‎×‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎23‎‎27‎.‎ ‎14.已知函数f(x)=2sinx+‎‎5π‎24‎cosx+‎‎5π‎24‎-2cos2x+‎‎5π‎24‎+1,则f(x)的最小正周期为　　　　　;函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　. ‎ 答案π　kπ-π‎3‎,kπ+‎π‎6‎(k∈Z)‎ 解析f(x)=2sinx+‎‎5π‎24‎·cosx+‎‎5π‎24‎-2cos2x+‎‎5π‎24‎+1=sin‎2x+‎‎5π‎12‎-cos‎2x+‎‎5π‎12‎ ‎=‎‎2‎sin‎2x+‎‎5π‎12‎cosπ‎4‎-cos‎2x+‎‎5π‎12‎sinπ‎4‎ ‎=‎2‎sin‎2x+‎‎5π‎12‎‎-‎π‎4‎‎=‎‎2‎sin‎2x+‎π‎6‎.‎ ‎∴f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ 因此f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 当2kπ-π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 即kπ-π‎3‎≤x≤kπ+π‎6‎(k∈Z)时,‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间是kπ-π‎3‎,kπ+‎π‎6‎(k∈Z).‎ ‎15.(2016山东德州一中4月质检)已知函数f(x)=‎3‎sin ωx·cos ωx+cos2ωx-‎1‎‎2‎(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为π‎2‎.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移π‎6‎个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在区间‎-π‎6‎,‎‎2π‎3‎上存在零点,求实数k的取值范围.‎ 解(1)原函数可化为f(x)=‎3‎‎2‎sin 2ωx+‎1+cos2ωx‎2‎‎-‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎sin 2ωx+‎1‎‎2‎cos 2ωx=sin‎2ωx+‎π‎6‎.‎ ‎∵函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为π‎2‎,‎ ‎∴f(x)的最小正周期为2×π‎2‎=π.‎ ‎∴‎2π‎2ω=π,∴ω=1.‎ ‎(2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎,将函数f(x)的图象向左平移π‎6‎个单位,得到函数y=sin‎2x+‎π‎6‎+‎π‎6‎=sin‎2x+‎π‎2‎=cos 2x的图象,再将函数y=cos 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=cos x的图象,故g(x)=cos x.‎ ‎∵x∈‎-π‎6‎,‎‎2π‎3‎,∴g(x)=cos x∈‎-‎1‎‎2‎,1‎.‎ ‎∵函数y=g(x)-k在区间‎-π‎6‎,‎‎2π‎3‎上存在零点,‎ ‎∴k∈‎-‎1‎‎2‎,1‎.‎ ‎∴实数k的取值范围为‎-‎1‎‎2‎,1‎.〚导学号74920469〛‎ 高考预测 ‎16.已知f(x)=‎1+‎‎1‎tanxsin2x-2sinx+‎π‎4‎·sinx-‎π‎4‎.‎ ‎(1)若tan α=2,求f(α)的值;‎ ‎(2)若x∈π‎12‎‎,‎π‎2‎,求f(x)的取值范围.‎ 解(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sinx+‎π‎4‎·cosx+‎π‎4‎ ‎=‎1-cos2x‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎sin 2x+sin‎2x+‎π‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎(sin 2x-cos 2x)+cos 2x ‎=‎1‎‎2‎(sin 2x+cos 2x)+‎1‎‎2‎.‎ 由tan α=2,得sin 2α=‎2sinαcosαsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎2tanαtan‎2‎α+1‎=‎‎4‎‎5‎.‎ cos 2α=cos‎2‎α-sin‎2‎αsin‎2‎α+cos‎2‎α‎=‎‎1-tan‎2‎α‎1+tan‎2‎α=-‎3‎‎5‎.‎ 所以f(α)=‎1‎‎2‎(sin 2α+cos 2α)+‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=‎1‎‎2‎(sin 2x+cos 2x)+‎‎1‎‎2‎ ‎=‎2‎‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 由x∈π‎12‎‎,‎π‎2‎,得2x+π‎4‎‎∈‎‎5π‎12‎‎,‎‎5π‎4‎.‎ 所以-‎2‎‎2‎≤sin‎2x+‎π‎4‎≤1,所以0≤f(x)≤‎2‎‎+1‎‎2‎,‎ 所以f(x)的取值范围是‎0,‎‎2‎‎+1‎‎2‎.‎