高考数学专题复习练习第5讲 数列的综合应用 7页

第5讲 数列的综合应用 一、选择题 ‎1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是 (　　)．‎ A．a1＋a3≥‎2a2 B．a＋a≥‎2a C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2‎ 解析　设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥‎2a‎1a3＝‎2a.‎ 答案　B ‎2．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是 (　　)．‎ A．9 B．‎10 ‎ C．11 D．12‎ 解析　因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1 025的最小n值是11.‎ 答案　C ‎3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 (　　)．‎ A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．‎ 答案　C ‎4．在等差数列{an}中，满足‎3a4＝‎7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn 取得最大值，则n＝ (　　)．‎ A．7 B．‎8 ‎ C．9 D．10‎ 解析　设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，‎ 所以d＝－a1<0.‎ 解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，‎ 所以n<，则n≤9，‎ 当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.‎ 故当n＝9时，Sn取得最大值．‎ 答案　C ‎5．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于 (　　)．‎ A．n(2n＋3) B．n(n＋4)‎ C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)‎ 解析　由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，‎ 则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，‎ f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.‎ 答案　A ‎6．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　)‎ A．1－ B．1－ C. D. 解析　an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，‎ 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1‎ ‎＝＝.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．‎ 解析　由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.‎ ‎∴S100＝＝10 100.‎ 答案　10 100‎ ‎8．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.‎ 解析　赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2.‎ 答案　2‎ ‎9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值为________．‎ 解析　由y′＝(n＋1)xn(x∈N*)，所以在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，故切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0得xn＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lg x1＋lg x2＋…＋lg x99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg××…×＝lg ＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎10．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：‎ ，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：‎ ‎①a24＝；‎ ‎②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；‎ ‎③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；‎ ‎④若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝.‎ 其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)‎ 解析　依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于＝.‎ 对于①，注意到21＝<24<＝28，因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．‎ 对于②、③，设bn为②、③中的数列的通项，则bn＝‎ ＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×＝，因此②不正确，③正确．‎ 对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于＝10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak＝，因此④正确．‎ 综上所述，其中正确的结论有①③④.‎ 答案　①③④‎ 三、解答题 ‎11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 因为S5＝‎5a3＝35，a5＋a7＝26，‎ 所以解得a1＝3，d＝2，‎ 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，‎ Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.‎ ‎(2)由(1)知an＝2n＋1，‎ 所以bn＝＝＝－，‎ 所以Tn＝＋＋…＋ ‎＝1－＝.‎ ‎12．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．‎ ‎(1)求a1的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ ‎(1)解　当n＝1时，‎2a1＝a2－4＋1＝a2－3， ①‎ 当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7， ②‎ 又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)， ③‎ 由①②③解得a1＝1.‎ ‎(2)解　∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，‎ ‎∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，‎ 两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则－·＝1，‎ 即＋2＝.又＋2＝3，知 是首项为3，公比为的等比数列，‎ ‎∴＋2＝3n－1，‎ 即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，∴an＝3n－2n.‎ ‎(3)证明　由(2)得＝.‎ 当n≥2时，n>2，即3n－2n>2n，‎ ‎∴＋＋…＋<1＋2＋3＋…＋n＝1＋<.‎ ‎13．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．‎ ‎(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝，求证：cn＋1>cn(n∈N*)．‎ ‎(1)解　设公差为d，则 解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，‎ 所以an＝n＋1，Sn＝.‎ 又a1＝2，d＝1，所以a3＝4，即b2＝4.‎ 所以数列{bn}的首项为b1＝2，公比q＝＝2，‎ 所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.‎ ‎(2)证明　因为Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n， ①‎ 故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ②‎ ‎①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，‎ ‎∴Kn＝n·2n＋1，则cn＝＝.‎ cn＋1－cn＝－ ‎＝>0，‎ 所以cn＋1>cn(n∈N*)．‎ ‎14．设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.‎ ‎(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；‎ ‎(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．‎ 证明　(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a‎2a1＋a1，‎ 即a2＝a‎2a1.‎ 因a2≠0，故a1＝1，得＝a2，‎ 又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1，‎ 两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，‎ 即an＋2＝a2an＋1，由a2≠0，知an＋1≠0，因此＝a2.‎ 综上，＝a2对所有n∈N*成立．从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．‎ ‎(2)当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．‎ 设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知，a1＝1，an＝a，‎ 所以要证的不等式化为：‎ ‎1＋a2＋a＋…＋a≤(1＋a)(n≥3)，‎ 即证：1＋a2＋a＋…＋a≤(1＋a)(n≥2)，‎ 当a2＝1时，上面不等式的等号成立．‎ 当－1＜a2＜1时，a－1与a－1，(r＝1,2，…，n－1)同为负；‎ 当a2＞1时，a－1与a－1，(r＝1,2，…，n－1)同为正；‎ 因此当a2＞－1且a2≠1时，总有(a－1)(a－1)＞0，即a＋a＜1＋a，(r＝1,2，…，n－1)．‎ 上面不等式对r从1到n－1求和得 ‎2(a2＋a＋…＋a)＜(n－1)(1＋a)．‎ 由此得1＋a2＋a＋…＋a＜(1＋a)．‎ 综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立.‎