高二数学教案第5讲：曲线和方程 6页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 曲线和方程 教学内容 ‎1. 理解曲线与方程的概念（两个关系）；‎ ‎2. 知道求曲线方程需要适当选取坐标系的意义；‎ ‎3. 掌握求曲线方程的一般方法和步骤；‎ ‎1.动手做一做 ‎(1)求如图所示的线段AB的垂直平分线的方程；‎ ‎(2)画出方程和方程所表示的曲线 ‎ ‎ 观察、思考，求得(1)的方程为，(2)题画图如下 第(1)题是从曲线到方程，曲线C(即AB的垂直平分线)点的坐标(x,y)方程f(x,y)=0 ‎ 第(2)题是从方程到曲线，即方程f(x,y)=0 解(x,y)(即点的坐标)曲线C．‎ 问题:‎ 方程f(x,y)=0的解与曲线C上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲线的方程？‎ ‎（1） 运用反例，揭示内涵 问题：　‎ 下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？‎ ‎（1）;‎ ‎（2）;‎ ‎（3）|x|-y=0.‎ ‎ ‎ ‎（2）讨论归纳，得出定义 讨论题：在下定义时，针对（1） 中“曲线上有的点的坐标不是方程的解”以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程应作何规定？‎ 这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：‎ ‎2. 曲线方程的定义：‎ 一般地，如果曲线C与方程之间有以下两个关系：‎ ‎①曲线C上的点的坐标都是方程的解；‎ ‎②以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。‎ 此时，把方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线。‎ 此部分可以根据学生预习情况进行总结，让学生类比直线方程的概念去理解 ‎3.利用集合与对应的观点理解曲线方程的概念：‎ 设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合。‎ 于是，方程叫做曲线C的方程等价于 ，即 。‎ ‎4.求曲线方程的一般步骤：‎ ‎（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；‎ ‎（2）设曲线上任意一点的坐标为；‎ ‎（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；‎ ‎（4）用坐标表示这个等式，并化简；‎ ‎（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。‎ ‎ 上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？‎ 点,是否在方程为的圆上.‎ 解：依据方程的曲线的定义可知点在圆上，点不在圆上. ‎ 已知方程为的圆过点，求的值.‎ 解：依据曲线的方程的定义可知点满足解得.‎ 试一试：已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列命题中正确的是( )‎ 曲线C上的点的坐标都适合方程；‎ 不在曲线C上的点的坐标有些适合方程；‎ 凡坐标不适合方程的点都不在曲线上；‎ 不在曲线上的点的坐标必不适合方程；‎ 解：由曲线的方程的定义可知,曲线上的点的坐标不一定都满足方程，故错；不在曲线上的点一定不适合，故错；坐标不适合方程的点可能在曲线上，故错；正确答案.‎ 例2. 已知定线段，且，动点满足，求动点的轨迹方程．‎ 解：以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，两点的坐标分别为，．设是轨迹上任意一点，则有，.由，可得．整理得.‎ ‎（通过典型例题的讲解，让学生总结和掌握利用直接法求解曲线的轨迹方程的5个步骤，同时强调那一步最重要，及每步需注意的问题.）‎ 试一试：若直角三角形中，斜边，求直角定点的轨迹方程．‎ 解：以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，两点的坐标分别为，．设是轨迹上任意一点，则有，．由于，即.化简得.‎ ‎(强调求解曲线的轨迹方程时，一定要结合实际意义和题目的已知条件写出自变量的取值范围.)‎ 例3. 已知的顶点、，顶点在直线上移动，求重心的轨迹.‎ 解:设，两点的坐标分别为，则.由重心坐标公式，得由上式可得所以．化简得．‎ ‎(代入法是解决解析几何中求轨迹方程的一种常用方法，即找到所求曲线上点的坐标与已知曲线上点的坐标之间的关系，通过建立的关系，把原来的曲线方程转化为所求的曲线方程.)‎ 试一试：已知，，为坐标原点，动点满足，其中，且，求动点的轨迹方程.‎ 解：设点坐标为，则由满足，可得，于是 ‎，由因为，所以化简得．‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 动点到轴，轴的距离相等，则动点的轨迹方程是_____‎ 答案：‎ ‎2. 已知点、，顶点在坐标平面上运动，且满足，求动点的轨迹方程。‎ ‎【答案】：设动点的坐标为 又,‎ ‎，即 又当点在轴上时，，所以点在轴上时，不合题意，‎ 动点的轨迹方程是 ‎3. 已知定点，动点满足条件，点与点关于直线对称，求点的轨迹.‎ 解：设,两点的坐标分别为，则由点与点关于直线对称，可得,又因为动点满足条件，所以,所以点的轨迹方程为.‎ 附加题： 已知直线，曲线，当为何值时，两方程表示的曲线有两个交点？只有一个交点？没有交点？‎ ‎【答案】：时，有两个交点；时只有一个交点；时没有交点 ‎1. 曲线的方程的概念是什么？‎ ‎2. 求解曲线的轨迹方程的步骤有哪些?‎ ‎1. 动点到的距离为，则动点的轨迹方程是_____‎ ‎2. 点在曲线上，则点P 曲线上？ （“是“或”不是“）‎ ‎3. 求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。‎ ‎【答案】：‎ ‎4.求到点的距离比到直线的距离大1的点的轨迹方程。‎ ‎【答案】：‎ ‎1. 回顾圆的定义：‎ ‎2. 动点到原点的距离为，求动点的轨迹方程。‎