高中数学第7章（第16课时）曲线和方程2 5页

课 题：7.5曲线和方程（二）‎ 教学目的：‎ ‎1．了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程，画出方程所表示的曲线 ‎ ‎2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法 ‎3．培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神 教学重点：求曲线方程的方法、步骤．‎ 教学难点：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教法分析：‎ 第一课时概念强、思维量大、例题习题不多使用启发方法符合学生的认知规律 第二、第三课时规律性强，题目多，可结合实际灵活采用教学方法．在探索一般性解题方法时，可采用发现法教学，在方法的应用及拓广时，可采用归纳法；在训练与反馈部分，则主要采用讲练结合法进行 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：‎ 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：‎ ‎(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 ‎ 2．定义的理解：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 ‎ 二、讲解新课：‎ ‎1. 坐标法 在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程的解都是不确定的 对于这种“不定方程”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把看成是未知数，而是创造性地把看成是变量(从此，变量引入了数学)，让连续地变，则对每一个确定的的值，一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的萌芽) 然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C 由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系：曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上 这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系 这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究 这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）‎ 根据几何图形的特点，可以建立不同的坐标系 最常用的坐标系是直角坐标系和极坐标。在目前的中学阶段只采用了直角坐标系 ‎ ‎2．解析几何的创立意义及其基本问题 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何 它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人 另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者 他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了 解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域 ‎ ‎3．平面解析几何研究的主要问题 根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质 ‎ 本节主要通过例题的形式学习第一个问题，即如何求曲线的方程 小结时总结出求简单的曲线方程的一般步骤 ‎4．求简单的曲线方程的一般步骤：‎ ‎（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；‎ ‎（2）写出适合条件P的点M的集合；‎ ‎（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;‎ ‎（4）化方程为最简形式；‎ ‎（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 三、讲解范例：选题意图：考查求轨迹方程的基本方法 例1 设A、B两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若，求动点M的轨迹方程 解：设M的坐标为，M属于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为 ‎ ，‎ 整理后得 (≠±1) 下面证明 (x≠±1)是点M的轨迹方程 ‎(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程 (x≠±1)的解；‎ ‎(2)设点的坐标是方程 (x≠±1)的解， 即，‎ ‎∴ ‎ 由上述证明可知，方程 (x≠±1)是点M的轨迹方程 说明：所求的方程后面应加上条件ｘ≠±１ 例2 点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.‎ 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，设点M的坐标为，点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合 P=｛Ｍ｜｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜｝，‎ 其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足 因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜可写成｜｜＝｜｜即±=0 ①‎ 下面证明①是所求轨迹的方程 ‎(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；‎ ‎(2) 设点的坐标是方程①的解，那么±＝０，即 ‎｜｜＝｜｜，而｜｜、｜｜正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到这两条直线的距离相等，点是曲线上的点 由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示.‎ 点评：建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单.所求方程的形式较“整齐” ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．求点P到点F（4，0）的距离比它到直线+5=0的距离小1的点的轨迹方程 解：设P为所求轨迹上任意一点，‎ ‎∵点P到F的距离比它到直线+5=0的距离小1.‎ 故点P到F（4，0）的距离与点P到直线+4=0的距离｜PD｜相等 ‎∴｜PF｜=｜PD｜‎ ‎∴=｜-(-4)｜‎ ‎∴‎ ‎2.过点P(2,4)作互相垂直的直线,，若交轴于A，交轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程 解法一：设M为所求轨迹上任一点，‎ ‎∵M为AB中点，∴A（2,0),B(0,2),‎ ‎∵⊥且,过点P（2，4），∴PA⊥PB ∴‎ ‎∵=(x≠1),=‎ ‎∴· =-1 即 +2-5=0(≠1) ‎ 当=1时，A（2，0）、B（0，4）,此时AB中点M的坐标为（1，2），它也满足方程+2-5=0.‎ ‎∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0‎ 解法二：连结PM. ‎ 设M,则A（2,0),B(0,2)‎ ‎∵⊥,∴△PAB为直角三角形 ‎∴｜PM｜=｜AB｜‎ 即 化简：+2-5=0‎ ‎∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0‎ 五、小结 ：求简单的曲线方程的一般步骤 六、课后作业： ‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎