高中数学第7章（第17课时）曲线和方程3 5页

课 题：7.5曲线和方程（三）‎ 教学目的：‎ ‎1．会根据已知条件，求一些较复杂的曲线方程 ‎2.提高学生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎3.渗透数形结合思想.‎ 教学重点：找出所求曲线上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系式 ‎ 教学难点：点随点动型的轨迹方程的求法（相关点法）‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ 求简单的曲线方程的一般步骤：‎ ‎（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；‎ ‎（2）写出适合条件P的点M的集合；‎ ‎（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;‎ ‎（4）化方程为最简形式；‎ ‎（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 ‎ 二、讲解新课：‎ 求简单的曲线方程的一般步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明 另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程 三、讲解范例：‎ 例1 已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一个点到A（0，2）的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程 分析：这条曲线是到A点的距离与其到轴的距离的差是2的点的集合或轨迹的一部分 解：设点是曲线上任意一点，MB⊥轴，垂足是B，那么点M属于集合P={M｜｜MA｜-｜MB｜=2}‎ 即 =2‎ 整理得 , ∴‎ 因为曲线在轴的上方，所以y＞0，虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是： (≠0) ‎ 它的图形是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点 例2 在△ABC中，已知顶点A(1，1)，B(3，6)且△ABC的面积等于3，求顶点的轨迹方程 ‎ 解：设顶点的坐标为,作H⊥AB于H，则动点C属于集合P=｛｜｝，‎ ‎∵‎ ‎∴直线AB的方程是,即. ‎∴｜ＣＨ｜＝‎ 化简，得｜-3｜=6,即-9=0或+3=0,这就是所求顶点的轨迹方程.‎ 点评：顶点的轨迹方程，就是定直线AB的距离等于的动点的轨迹方程 例3 已知△ABC，，第三个顶点在曲线上移动，求△ABC的重心的轨迹方程 解：设△ABC的重心为，顶点的坐标为，由重心坐标公式得 代入得3‎ ‎，即为所求轨迹方程 说明：在这个问题中，动点与点之间有关系，写出与之间的坐标关系，并用的坐标表示的坐标，而后代入的坐标所满足的关系式化简整理即得所求,这种方法叫相关点法 四、课堂练习：‎ ‎1.在△ABC中，B、C的坐标分别是（0，0）和（4，0），AB边上中线的长为3，求顶点A的轨迹方程 分析：依题意画出草图，然后设A点坐标为，从而可用表示出AB的中点D的坐标，然后按照求曲线方程的步骤进行求解 解：设A点的坐标为，则AB的中点D的坐标为（)‎ 由题意可得｜CD｜=3‎ 即 整理得 ‎∵A、B、C三点要构成三角形，‎ ‎∴A、B、C三点不共线，即点A不能落在轴上，∴点A的纵坐标≠0‎ ‎∴所求顶点A的轨迹方程为：‎ ‎ (≠0)‎ 结合学生所做讲评，并强调要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，要结合实际意义 ‎2．已知定点A（4，0）和圆上的动点B，点P分AB之比为2∶1，求点P的轨迹方程 分析：设点P，B，由=2，找出与的关系 利用已知曲线方程消去，得到的关系 (这种方法叫相关点法) ‎ 解：设动点P及圆上点B ‎∵λ==2,‎ 代入圆的方程，得 即 ‎ ‎∴所求轨迹方程为：‎ ‎3．过不在坐标轴上的定点M任作一直线，分别交轴、轴于A、B，求线段AB中点P的轨迹方程 ‎ 解法一：设线段AB的中点为P,作MC⊥轴，PD⊥轴，垂足分别为C、D，则：CM=，OC=，DP=，OD=DB=‎ ‎∵MC∥PD,∴△MBC∽△PBD ‎∴‎ 即（x≠0,y≠0)‎ 故所求轨迹方程为：‎ 解法二：设点A（,0),B(0,)‎ 则线段AB的中点P的坐标满足 ‎∵B、M、A共线，∴ ，∴，得 由，得 解法三：设线段AB的中点为P，过点M的直线方程为：‎ 则A(-,0),B(0,)，∴中点P的坐标为：‎ ‎，消去k得所求方程为：‎ 五、小结 ：通过本节学习，要对求曲线方程的基本思路和基本步骤更加清晰和熟练，而且要注意所求曲线方程的纯粹性和完备性 ‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记： ‎