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- 2021-06-30 发布
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课时分层作业(三) 子集、真子集
(建议用时：40 分钟)
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．空集是任何集合的真子集
B．若 A B，B C，则 A C
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．∅ ＝{0}
B [空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．空集不含任何元素，
{0}中有一个元素 0．]
2．已知集合 A＝{x|－14
C．a<4 D．a≤4
A [∵A B，故 a≥4．]
3．集合 B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}(c≠d)，集合 A 满足 A⊆B，A⊆C．则集合 A 可能
的个数是( )
A．8 B．3
C．4 D．1
C [若 A＝∅ ，满足 A⊆B，A⊆C．若 A≠∅ ，由 A⊆B，A⊆C，知 A 是由属于 B 且属于 C
的元素构成，此时集合 A 可能为{a}，{b}，{a，b}．故选 C．]
4．已知集合 P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义 P－Q＝{x|x＝p—q，p∈P，q∈Q}，则集合
P－Q 的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．29
B [由所定义的运算，知 P－Q＝{1,2,3,4,5}．则 P－Q 的所有真子集的个数为 25－1＝
31．故选 B．]
5．满足{1}⊆A {1，2，3}的集合 A 的个数为( )
A． 2 B． 3
C． 8 D． 4
B [满足{1}⊆A {1,2,3}的集合 A 有：{1}、{1,2}、{1,3}．
因此，满足{1}⊆A {1,2,3}的集合 A 的个数为 3．故选 B．]
二、填空题
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6．集合 U，S，T，F 的关系如图所示，下列关系错误的有 ．(填序号)
①S U；②F T；③S T；④S F；⑤S F；⑥F U．
②④⑤ [①③⑥是正确的，②④⑤错误．]
7．已知∅ {x|x2－x＋a＝0}，则实数 a 的取值范围是 ．
a≤1
4
[∵∅ {x|x2－x＋a＝0}，
∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅ ，
∴x2－x＋a＝0 至少有一个根，则Δ＝1－4a≥0，∴a≤1
4
．]
8．集合 M＝{x|2a－1－2，
a＋2≤3 ⇒0≤a≤1．
(2)要使 B⊆A，则
a＋2≥3，
a－2≤－2
⇒a∈∅ ．
∴不存在 a∈R，使 B⊆A．
10．已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且 B⊆A，求实数 m 的集合．
[解] 由 x2－4x＋3＝0，得 x＝1 或 x＝3．
∴集合 A＝{1,3}．
(1)当 B＝∅ 时，此时 m＝0，满足 B⊆A．
(2)当 B≠∅ 时，则 m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝
3
m ．
∵B⊆A，∴3
m
＝1 或3
m
＝3，
解之得 m＝3 或 m＝1．
综上可知，所求实数 m 的集合为{0,1,3}．
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1．已知 A＝{0,1}，且 B＝{x|x⊆A}，则 B 为( )
A．{0,1} B．{{0}，{1}}
C．{{0}，{1}，{0,1}} D．{{0}，{1}，{0,1}，∅ }
D [A 的子集为∅ ，{0}，{1}，{0,1}，故 B＝{∅ ，{0}，{1}，{0,1}}．]
2．已知集合 M＝x|x＝n
2
，n∈Z
，N＝x|x＝1
2
＋n，n∈Z
，则集合 M，N 之间的关系
为( )
A．N M B．N⊆M
C．M N D．M⊆N
A [对于集合 M，其组成元素是n
2
，分子部分表示所有的整数；而对于集合 N，其组成元
素是1
2
＋n＝2n＋1
2
，分子部分表示所有的奇数．
由真子集的概念知，N M．]
3．(多选题)已知集合 A＝{x|ax≤2}，B＝{2， 2}，若 B⊆A，则实数 a 的值可能是( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
ABC [因为 B⊆A，所以 2∈A， 2∈A，
2a≤2
2a≤2
，解得 a≤1．故选 ABC．]
4．集合 M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之
间的关系是 ．
M＝P S [M 中的 x＝3k－2＝3(k－1)＋1∈P，∴M⊆P，
同理 P 中的 y＝3n＋1＝3(n＋1)－2∈M，∴P⊆M，
∴M＝P．
S 中的 z＝3×(2m)＋1，∵2m∈偶数，∴S P＝M．]
5．已知集合 A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，且 B⊆A，求实数 a 的取值范
围．
[解] A＝{2,3}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，B 为方程 x2＋ax＋6＝0 的解集，所以分类讨论
得：
①若 B≠∅ ，由 B⊆A，∴B＝{2}或 B＝{3}或 B＝{2,3},
当 B＝{2}时，方程 x2＋ax＋6＝0 有两个相等实根，
即 x1＝x2＝2，x1x2＝4≠6，∴不合题意．
同理 B≠{3}．
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当 B＝{2,3}时，a＝－5，符合题意．
②若 B＝∅ ，则Δ＝a2－4×6<0，∴－2 6
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