2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科） 23页

‎2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4，5}，则A∩B的子集个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．16‎ ‎2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（　　）‎ A．（10，7） B．（10，5） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣4，﹣1）‎ ‎3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1﹣2i）2，则z=（　　）‎ A．﹣4+3i B．﹣2+3i C．2+3i D．﹣4﹣3i ‎4．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C上，抛物线C的焦点为F，准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，若∠PFQ=，△PFQ的面积为，则焦点F到准线l的距离为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎6．（5分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a=f（log2），b=f（log3），c=f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎7．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现有墙厚5尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休．则以上说法错误的个数是（　　）个．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（　　）‎ A．[2+16k，10+16k]（k∈Z） B．[6+16k，14+16k]（k∈Z）‎ C．[﹣2+16k，6+16k]（k∈Z） D．[﹣6+16k，2+16k]（k∈Z）‎ ‎9．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（　　）‎ A．4π B．（4+）π C．6π D．（5+）π ‎10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎12．（5分）若存在（x，y）满足，且使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0）∪[，+∞） B．[，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，]‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．（5分）已知函数，若f（0）=2，则a+f（﹣2）=　 　．‎ ‎14．（5分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，a2+a8=2am=24，a1=2，则S2m=　 　．‎ ‎15．（5分）已知点P和点Q分别为函数y=ex与y=kx图象上的点，若有且只有一组点（P，Q）关于直线y=x对称，则k=　 　．‎ ‎16．（5分）已知点F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和双曲线C2：﹣=1（a′＞0，b′＞0）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足∠F1PF2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin（B+C）+acosA=0，且c=2，sinC=．‎ ‎（1）求证：A=+B；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎（1）求证：PB=PD；‎ ‎（2）若M为PD的中点，AM⊥平面PCD，求三棱锥DACM的体积．‎ ‎19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日 期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；‎ ‎（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；‎ ‎（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？‎ 参考公式：线性回归方程的系数公式为b==，a=．‎ ‎20．（12分）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．‎ ‎（1）判断曲线C的形状；‎ ‎（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；‎ ‎（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a的值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=a（x2﹣x）﹣lnx（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）在x=1处取到极值，求a的值；‎ ‎（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求证：当n≥2时，++…+＞．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（10分）以直角坐标系的原O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线l的参数方程为为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的一般方程及圆C标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（﹣1，1），直线l和圆C相交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||的值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知不等式|x+2|﹣|2x﹣2|＞2的解集为M．‎ ‎（Ⅰ）求集合M；‎ ‎（Ⅱ）已知t为集合M中的最大正整数，若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）=t，求abc的最小值．‎ ‎　‎ ‎2018年山东省济南市历城二中高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4，5}，则A∩B的子集个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．16‎ ‎【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，4，5}，‎ 则A∩B={1，3}，‎ ‎∴A∩B的子集个数为22=4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（　　）‎ A．（10，7） B．（10，5） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣4，﹣1）‎ ‎【解答】解：根据题意，点A（0，1），B（3，2），‎ 则向量=（3，1），‎ 又由，‎ 则向量=+=（﹣4，﹣3）；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足i•z=（1﹣2i）2，则z=（　　）‎ A．﹣4+3i B．﹣2+3i C．2+3i D．﹣4﹣3i ‎【解答】解：∵i•z=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，‎ 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，‎ 基本事件总数n==10，‎ 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，‎ ‎∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C上，抛物线C的焦点为F，准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，若∠PFQ=，△PFQ的面积为，则焦点F到准线l的距离为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【解答】解：不妨以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例，如图，‎ 由题意，△PFQ是等腰三角形，设PQ=PF=a，‎ 则，解得：a=2，‎ ‎∴QF=，‎ ‎∴焦点F到准线l的距离为2•cos=3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a=f（log2），b=f（log3），c=f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，‎ ‎∴函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，‎ a=f（log2）=f（﹣log25）=f（log25），‎ b=f（log3）=f（﹣log23）=f（log23），‎ ‎∵0＜2﹣0.8＜1＜log23＜2＜log25，‎ ‎∴f（2﹣0.8）＞f（log23）＞f（log25），‎ 即c＞b＞a，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现有墙厚5尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休．则以上说法错误的个数是（　　）个．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，‎ 前n天打洞之和为=2n﹣1，‎ 小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 小老鼠前n天打洞的距离之和为=2﹣，‎ ‎①小鼠第二天穿垣1×即为半尺，正确；‎ ‎②两鼠相遇设为n天，可得2n﹣1+2﹣=5，‎ 解得2＜n＜3，即最多3天，故②错误；‎ ‎③若大鼠穿垣两日卒，此时共穿墙1+2+1+=，‎ 剩下5﹣=，设小老鼠需要k天，‎ 可得=，‎ 即为﹣=，‎ 显然方程无实数解．‎ 则小鼠至死方休，正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（　　）‎ A．[2+16k，10+16k]（k∈Z） B．[6+16k，14+16k]（k∈Z）‎ C．[﹣2+16k，6+16k]（k∈Z） D．[﹣6+16k，2+16k]（k∈Z）‎ ‎【解答】解：由图象知A=4，=6﹣（﹣2）=8，即T=16=，‎ 则ω=，‎ 则y=4sin（x+φ），‎ 由图象知（﹣2，0），（6，0）的中点为（2，0），‎ 当x=2时，y=﹣4，‎ 即﹣4sin（×2+φ）=﹣4，‎ 即sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，‎ 即φ=+2kπ，‎ ‎∵|φ|＜，∴φ=，‎ 则y=4sin（x+），‎ 由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，‎ 即16k+2≤x≤16k+10，k∈Z，‎ 即函数的单调递减区间为[2+16k，10+16k]（k∈Z），‎ 故选：A ‎　‎ ‎9．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（　　）‎ A．4π B．（4+）π C．6π D．（5+）π ‎【解答】解：∵在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，‎ ‎∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：‎ 一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1，‎ 高为BC﹣AD=2﹣1=1的圆锥，‎ ‎∴几何体的表面积为：‎ S=π×12+2π×1×2+‎ ‎=（5+）π．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：第一次循环，n=1，s=0，s=﹣1＜2017，‎ 第二次循环，n=2，s=﹣1+﹣=﹣1＜2017，‎ 第三次循环，n=3，s=﹣11＜2017，‎ 第四次循环，n=4，s=﹣1，‎ ‎…，‎ 第2017次循环，n=2017，s=﹣1，‎ 第2018次循环，n=2018＞2017，‎ 满足条件，跳出循环，输出s=﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【解答】解：多面体的三视图得该多面体是长方体ABCD﹣A1B1C1D1去掉两个三棱锥A1﹣AED1和B1﹣BEC1剩余的几何体，‎ 其中AB=2，AD=AA1=1，E是A1B1的中点，‎ ‎∴该多面体的体积：‎ V=﹣﹣‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若存在（x，y）满足，且使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0）∪[，+∞） B．[，+∞） C．（﹣∞，0） D．（0，]‎ ‎【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，‎ 如图所示；‎ A（1，4），B（3，3），C（4，6）；‎ ‎3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0可化为 ‎﹣=2（﹣2e）ln，‎ 设t=，其中1≤t≤4；‎ ‎∴﹣=2（t﹣2e）lnt，‎ 令m=（t﹣2e）lnt，（1≤t≤4），‎ 则m′=lnt+，‎ m''=+＞0，‎ 当t＞e时，m′＞m′（e）=0，‎ 当0＜t＜e时，m′＜m′（e）=0，‎ ‎∴m≥m（e）=﹣e，‎ ‎∴﹣≥﹣2e，‎ 解得a＜0或a≥；‎ 又a值不可能为负值，‎ ‎∴实数a的取值范围是[，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．（5分）已知函数，若f（0）=2，则a+f（﹣2）=　2　．‎ ‎【解答】解：∵函数，f（0）=2，‎ ‎∴f（0）=log2（0+a）=2，解得a=4，‎ f（﹣2）=﹣=﹣2，‎ ‎∴a+f（﹣2）=4﹣2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，a2+a8=2am=24，a1=2，则S2m=　　．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}，其前n项和为Sn，a2+a8=2am=24，‎ ‎∴m=5，a5=12，‎ ‎∵a1=2，∴a5=2+4d=12，解得d=，‎ ‎∴S2m=S10==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知点P和点Q分别为函数y=ex与y=kx图象上的点，若有且只有一组点（P，Q）关于直线y=x对称，则k=　或k≤0　．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数y=ex的反函数为y=lnx，则函数y=lnx与函数y=ex关于直线y=x对称，‎ 若有且只有一组点（P，Q）关于直线y=x对称，即函数y=lnx与直线y=kx有且只有一个交点，‎ 即方程lnx=kx只有一个根，‎ 当k≤0时，明显成立，‎ 当k＞0时，令f（x）=lnx﹣kx，（x＞0）‎ 方程lnx=kx有且只有一个根，即函数f（x）只有一个零点，‎ f′（x）=﹣k=，‎ 分析可得：在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 在（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，‎ 则f（x）有最大值f（），必有f（）=ln﹣1=0，‎ 解可得k=；‎ 故有k≤0或k=；‎ 故答案为：k≤0或k=．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知点F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和双曲线C2：﹣=1（a′＞0，b′＞0）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足∠F1PF2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+=　2　．‎ ‎【解答】解：可设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，‎ 由椭圆的定义可得m+n=2a，‎ 由双曲线的定义可得m﹣n=2a'‎ 可得m=a+a'，n=a﹣a'，‎ 由∠F1PF2=90°，可得 m2+n2=（2c）2，‎ 即为（a+a'）2+（a﹣a'）2=4c2，‎ 化为a2+a'2=2c2，‎ 则+=2，‎ 即有+=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin（B+C）+acosA=0，且c=2，sinC=．‎ ‎（1）求证：A=+B；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）证明：因为bsin（B+C）+acosA=0，可得：bsinA+acosA=0，‎ 又由正弦定理得：bsinA=asinB，可得：asinB+acosA=0，可得：cosA=﹣sinB，‎ 所以A为钝角，B为锐角，‎ 可得：A=+B；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ ‎（2）由正弦定理可得：==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）‎ 可得：a2+b2=，cosC==，‎ 所以由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2abcosC，可得：4=﹣2ab×，‎ 解得：ab=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）‎ 则：S△ABC=absinC=×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎（1）求证：PB=PD；‎ ‎（2）若M为PD的中点，AM⊥平面PCD，求三棱锥DACM的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点点，连结PO，‎ ‎∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，‎ 平面PAC⊥平面PBD．BO=DO，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，又AB=AD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎∴PB=PD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ 解：（2）∵AM⊥平面PCD，AM⊥PD，PD的中点为M，‎ ‎∴AP=AD=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ 由AM⊥平面PCD，可得AM⊥CD，又AD⊥CD，AM∩AD=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，‎ 又由（1）可知BD⊥PA，BD∩CD=D，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 故VDACM=VMACD=PA×S△ACD=×2××2×2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日 期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；‎ ‎（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；‎ ‎（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？‎ 参考公式：线性回归方程的系数公式为b==，a=．‎ ‎【解答】解：（I）设抽到相邻两个月的数据为事件A，‎ ‎∵从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，‎ ‎∴…（4分）‎ ‎（II）由数据求得x=11，y=24，由公式求得，由，求得 ‎∴y关于x的线性回归方程为…（9分）‎ ‎（III）当x=10时，，‎ 当x=6时，，‎ 所以该小组所得线性回归方程是理想的．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．‎ ‎（1）判断曲线C的形状；‎ ‎（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；‎ ‎（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a的值．‎ ‎【解答】解：（1）将曲线C的方程化为x2+y2﹣2ax﹣y=0，‎ ‎∴（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+，‎ 可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．‎ ‎（2）△AOB的面积S为定值．‎ 证明如下：在曲线C的方程中令y=0，得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），‎ 在曲线C方程中令x=0，得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），‎ ‎∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值），‎ ‎（3）直线l与曲线C方程联立可得5ax2﹣（2a2+16a﹣8）x+16a﹣16=0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴•=x1x2+y1y2=5x1x2+8（x1+x2）+16=﹣，‎ 即（80a﹣80﹣16a2﹣128a+64+80a）=﹣，‎ 即2a2﹣5a+2=0，‎ 解得a=2或a=，‎ 当a=2或时，都满足△＞0，‎ 故a=2或 ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=a（x2﹣x）﹣lnx（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）在x=1处取到极值，求a的值；‎ ‎（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）求证：当n≥2时，++…+＞．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴f′（x）=2ax﹣a﹣，‎ ‎∵y=f（x）在x=1处取得极小值，‎ ‎∴f′（1）=0，即a=1，‎ 此时，经验证x=1是f（x）的极小值点，故a=1，‎ ‎（2）∵f′（x）=2ax﹣a﹣，‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴当x＞1时，f（x）＜f（1）=0矛盾．‎ ‎②当a＞0时，f′（x）=，‎ ‎∵△=a2+8a＞0恒成立，‎ 令f′（x）=0，解得x1=＜0，（舍去），x2=，‎ ‎（i）当≤1时，即a≥1时，f（x）在[1，+∞）单调性递增 ‎∴f（x）≥f（x）min=f（1）=0，满足题意，‎ ‎（ii）当＞1时，即0＜a＜1时，‎ ‎∴x∈（1，）时，f′（x）＜0，即f（x）递减，‎ ‎∴f（x）＜f（1）=0，矛盾．‎ 综上，f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，a≥1，‎ ‎（3）证明：由（1）知令a=1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，‎ ‎∴当x＞2时，x2﹣x﹣lnx＞0，即＞，‎ 令x=n，‎ 则＞=﹣，‎ ‎∴++…+＞﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（10分）以直角坐标系的原O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线l的参数方程为为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l的一般方程及圆C标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（﹣1，1），直线l和圆C相交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为为参数），‎ ‎∴由直线l的参数方程消去参数t可得x﹣1=2（y﹣2），‎ 化简并整理可得直线l的一般方程为x﹣2y+3=0，‎ ‎∵圆C的极坐标方程为ρ=2，‎ ‎∴由ρ=2可得ρ2=4，即x2+y2=4，‎ ‎∴圆C的标准方程为x2+y2=4．‎ ‎（Ⅱ）∵P（﹣1，1），|PC|==＜R=2，‎ 点P（﹣1，1）代入直线l的方程，成立，‎ ‎∴点P在圆内，且直线l上，‎ 联立圆的方程和直线l的参数方程方程组，‎ 设A（xA，yA），B（xB，yB），则，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 同理，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知不等式|x+2|﹣|2x﹣2|＞2的解集为M．‎ ‎（Ⅰ）求集合M；‎ ‎（Ⅱ）已知t为集合M中的最大正整数，若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）=t，求abc的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，|x+2|﹣|2x﹣2|＞2，‎ 分3种情况讨论 ‎①，当x＜﹣2时，原不等式变形为：x﹣4＞2，‎ 解可得x＞6，‎ 又由x＜﹣2，此时不等式的解集为∅，‎ ‎②，当﹣1≤x＜2时，原不等式变形为：3x＞2，‎ 解可得x＞，‎ 又由﹣1≤x＜2，此时不等式的解集为{x|＜x＜2}；‎ ‎③，当x≥2时，原不等式变形为：﹣x+4＞2，‎ 解可得x＜2，‎ 又由x≥2，此时不等式的解集为∅，‎ 综合可得：M={x|＜x＜2}；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，若t为集合M中的最大正整数，则t=1；‎ 若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）=1，‎ a=1+（a﹣1）≥2，‎ b=1+（b﹣1）≥2，‎ c=1+（c﹣1）≥2，‎ 则abc≥8（××）=8；‎ abc的最小值为8．‎ ‎　‎