湖北省荆门市龙泉中学2020届高三高考适应性考试（二）理科数学试题 PDF版含答案 4页

理科数学第 1 页 共 2 页 荆门龙泉中学 2020 届高考适应性考试（二） 理科数学试题 命题人：崔冬林 审题人：李 莉 本试卷共 2 页，共 23 题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1. . . 2. 2B . 3. . 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。） 1．已知 R 为实数集，集合  02A x x   ，  3B x x，则 R AB A． 23xx B． 23xx C． 03x x x  或2 D． 03x x x  或2 2．若复数 12zz， 在复平面内对应的点关于原点对称， 1 1zi，则 12zz A．-2 B． 2i C．2 D． 2i 3．已知 ,xy满足约束条件 4 0, 20 1 xy xy x          ， ， 则 3z x y的最大值为 A．6 B．8 C．9 D．12 4．已知正项等比数列 na 的首项 1 1a  ，前 n 项和为 nS ，且 1 2 3, , 2S S S  成等差数列，则 5a = A．8 B． 8 1 C．16 D． 16 1 5．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是 顶角为 036 的等腰三角形（另一种是顶角为 0108 的等腰三角形）．例如，正五角星由 5 个黄金三 角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 ABC 中， 51 2 BC AC  ，根据这些信息，可得 0sin234  A．1 2 5 4  B． 15 4  C． 35 8  D． 45 8  6．关于 x 的方程  2 1 2xxa  有实数解”的一个充分不必要条件是 A． 1 13 a B． 1 2a  C． 2 13 a D． 1 12 a 7．已知斐波拉契数列 na 满足， 121aa， 21n n na a a，用如图所示的程序 框图来计算该数列的第 2020 项，则（1）（ 2）处可分别填入的是 A． , 2019?T S T n   B． , 2020?T S T n   C． , 2019?T S n D． , 2020?T S n 8．函数 ( ) 2sin( ) 0,| | 2f x x       （ ）的最小正周期为 ，若其图象向右平移 6  个 单位后得到的函数为奇函数，则函数 ()fx的图象 A．关于点 03 （ ，）对称 B．在 22 （- ， ）上单调递增 C．关于直线 3x  对称 D．在 6x  处取最大值 9．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日 月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁， …．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄 （都为正整数）之和恰好为一遂（即 1520 岁），其中年长者已是奔百之龄（年龄介于 90﹣100），其余 19 人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A．94 B．95 C．96 D．98 10．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 6AB AD， 1 2AA  ， M 为棱 BC 的中点，动点 P 在 面 11DCC D 内，满足 APD CPM   ，则点 P 的轨迹与长方体的面 的交线长等于 A． 2 3  B． C． 4 3  D． 2 11．过点 2 ( ,0)cA a 作双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC a bab    的一条渐近线的垂线，垂足为 P ，点Q 在双曲线C 上，且 3AQ QP ，则双曲线C 的离心率是 A． 51 2  B． 51 C． 3 D． 2 12．已知函数 ( ) ( 1)lnf x x x tx   ，方程 ()f x t 有 3 个不同的解 1 2 3,,x x x ，现给出下 述结论： ① 2t  ； ② 1 2 3 1x x x  ； ③ ()fx的极小值 0( ) 2fx  ． 其中所有正确结论的序号是 A．② B．③ C．①③ D．②③ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 ,ab是两个非零向量，且 a b a b   ，则 a 与 2ab 的夹角为 ． 14．已知函数   2 2 log , 1 1, 1 xxfx xx    ，则    1f x f x的解集为 ． 15．过抛物线 2 4yx 焦点 F 的直线交该拋物线于 A ， B 两点，且| | 4AB  ，若原点O 是 ABC 的垂心，则点C 的坐标为_______． 16．正四棱椎 P ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 22，过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直 的平面 ，则平面 被此正四棱椎所截的截面面积为 ，平面 将此正四棱椎 分成的两部分，则较小部分体积与较大部分体积的比值为 ． （第一个空 2 分，第二个空3 分） 理科数学第 2 页 共 2 页 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 在① 3 sin cosa c A a C；②   2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C    这两个条件中任选一个， 补充在下列问题中，并解答． 已知△ABC 的角 A,B,C 对边分别为 ,,abc， 3c  且 ． （Ⅰ）求∠C； （Ⅱ）求△ABC 周长的最大值． 18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAB  底面 ABCD，底面 ABCD是等腰梯形， 060BAD， AD BC ， 44AD BC， 26PA PB． （Ⅰ）求证： PC CD ； （Ⅱ）求平面 PCD与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分 12 分） 已知函数    ln 1 lnf x mx x m x   ， 0m  ． （Ⅰ）  fx 为函数  fx的导数，讨论函数  fx 的单调性； （Ⅱ）若函数  fx与   3g x xe的图象有两个交点  11,A x y 、  22,B x y  12xx ， 求证： 21 1x x ee   ． 20．（本小题满分 12 分） 已知点  2, 1P 在椭圆 22 :182 xyC 上， 12,FF分别为椭圆 C 的左、右焦点，过点 P 的直线 1l 与 椭圆 C 有且只有一个公共点，直线 2l 平行于 OP（O 为原点），且与椭圆 C 交于两点 A、B，与直线 2x  交于点 M（M 介于 A、B 两点之间，且点 A 在 M 左侧）． （Ⅰ）当△PAB 面积最大时，求 的方程； （Ⅱ）求证： PA MB PB MA   ；并判断 ， ，PA，PB 的斜率 是否可以按某种顺序构成等比数列？ 21．（本小题满分 12 分） 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水 等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂 商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的 口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110)，[110，120)，[120，130)， [130，140)，[140，150]，得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130 的为 二级口罩；质量指标值不低于 130 的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机 抽取 8 个口罩，再从中抽取 3 个，记其中一级口罩的个数为 ，求 的分布列及数学期望； （Ⅱ）在 2020 年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型口罩的某网络购物平台上 分别参加 A、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由  2,n n n N个该型号口 罩构成．假定甲、乙两人在 A、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 2 2cos , n nn   ，记甲、 乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为 ,XY． （i）求 X 的数学期望  EX； （ii）求当Y 的数学期望  EY 取最大值时正整数 n 的值． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分 10 分） 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线 m 的参数方程为 cos sin xt yt      (t 为参数，0 ).以坐标原点为极 点，以 x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 E 的极坐标方程为 2 +2 cos 3 0   ，直线 m 与 曲线 E 交于 A ， C 两点. （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程和直线 m 的极坐标方程； （Ⅱ）过原点且与直线 m 垂直的直线 n ，交曲线 于 B ， D 两点，求四边形 ABCD 面积的最大值. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知正实数 a ，b ，c . （Ⅰ）若 1ab，求 22ab 的最小值； （Ⅱ）证明： 2 3 ba c ca b cb a ． 理科数学第 3 页 共 2 页 龙泉中学 2020 届高考适应性考试（二）理科数学参考答案 一、选择题： 1-4 DABC 5-8 BCAA 9-12 BADD 二、填空题 13． 6  14． 1 ,2    15． 3, 0 16． 43 3 1 2 三．解答题 17．解： 18．解：（Ⅰ）过 P 作 ABPO  于O ，连 ODOC, 由题可知， 3 CDAB ， 222 ABPBPA  , 2,1,2  OAOBPO ， 又求得 3,32  OCOD ， 222 CDOCOD  ，所以 CDOC  ...................................3 分 平面 PAB 底面 ABCD ,交线为 AB， PO 底面 ，所以 CDPO  ， 又 OPOOC  ，故 CD 平面 POC ，所以 CDPC  ；... ............... .................................6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ODAB  ，以O 为坐标原点 OPOBOD ,, 为 zyx ,, 轴建立如图所示空间直角坐 标系. ............... ........... ............... ...................... . ............... ........... ............... .................................7 分 则 )0,2 3,2 3(),0,0,32(),2,0,0( CDP . 所以 )0,2 3,2 33(),2,0,32(  CDPD 设平面平面 PCD 的法向量 ),,( zyxm  故      02 3 2 33 0232 yx zx 令 1x ，可得 )6,3,1(m 平面 PAB 的法向量取 )0,0,1(n ，.............. ............................10 分 所以 10 10 10 1 |||| ,cos  nm nmnm ...........................11 分 故平面 与平面 PAB 所成锐二面角的余弦值为 10 10 . ……………………………12 分 19．解：（Ⅰ） x mxmxf 1)ln1()(  ................................................................................1 分 22 )1(1])([ x mmx x m x mxf  .........................................................................................3 分 010  mmxm , 0])([  xf , )(xf  在 ),0(  上为单调递增.... .... .... .... ... ..... .........................................5 分 （Ⅱ）设         3ln 1 lnF x f x g x mx x m x x e         1ln 1mF x m x m x      ，………………….…………………………………………6 分 由于 0m  ， 0x    2 1 0mmFx xx     恒成立 知函数  Fx 在 0, 上为增函数且  10F  ……………………………….……………7 分 故当  0,1x 时，   0Fx  ，当  1,x   时，   0Fx  ， 则  Fx在 0,1 单调递减，在 1,  单调递增………………………………….……………8 分   331 1 0eF ee     1 1 2 0eeFme e e    ，      1310eeF e m e e     ……………………..…10 分 知  Fx在区间 1 ,1e   以及 1, e 内各有一个零点，即为 1 1,1x e  ，  2 1,xe ， 知 21 1x x e e   ，即 21 1x x ee   .………………………………………………………12 分 20．解：（Ⅰ）设过 P 的切线方程为：y＝k（x﹣2）+1，与椭圆联立可得 （1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8＝0，……………………………………………1 分 由题意可得△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）[4（1﹣2k）2﹣8]＝0， 解得 k ，kOP ……………………………………………………………………………2 分 理科数学第 4 页 共 2 页 由题意直线 l2 的方程，y x+t，设 A（x1，y1）， B（x2，y2）， 联立直线 l2 与椭圆的方程，整理可得 x2+2tx+2t2﹣4＝0，………………………………………3 分 △＝4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，即 t2＜4，x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4， 所以弦长    2 2 1 2 1 2 11 4 5 44AB x x x x t      P 到直线 AB 的距离为：d ，…………………………………………………………4 分 所以        22 22 2 2 1 2 1 2 42115 4 1 4 4 22 4 25PAB tttS t AB x x x x t t              当且仅当 t2＝2 取等号，M 介于 A、B 之间可得 2t  这时直线 l2 的方程为 1 22yx；………………………………………………………………6 分 （Ⅱ）kPA+kPB ， 将 x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，代入可得 kPA+kPB＝0， 所以直线 PA，PB 关于直线 x＝2 对称，即 PM 为∠APB 的角平分线， 由角平分线的性质可得 ，………………………………………………………………9 分 即证得：|PA||MB|＝|PB||MA|．………………………………………………………………………10 分 故所研究的 4 条直线 1l ， 2l ，PA，PB 的斜率分别为 11, , ,22 PA PAkk，若按一定顺序成等比数列， 其公比记为 q ，则必有 1q  ，此时必有 11,22PA PBkk   ，那么直线 PB 与 重合，不合题意 故 ， ，PA，PB 的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列．………………………………12 分 21．解：（Ⅰ）按分层抽样抽取 8 个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为 6,2，故 可能的取值 为 0,1,2，   30 62 3 8 50 14 CCP C    ，   21 62 3 8 151 28 CCP C    ，   12 62 3 8 32 28 CCP C    ， 的分布列为   5 15 3 30 1 214 28 28 4E         ．……………………………………………………………4 分 （Ⅱ）（i）由题知， X 可能的取值为 0,1,2   2 2 3 2cos 2cos 2 cos 0 1 1 1n n nPX n n n n n              ；   2 2 2 3 2cos 2cos 2cos 4 cos 1 1 1n n n nPX n n n n n n n                  ；   3 2 cos 2 nPX n   所以   2 3 2 3 3 2 2cos 2 cos 2cos 4 cos 2 cos 2cos 1102n n n n n n n n n n n n n nE nX                                          ………7 分 （ii）因为Y nX ，所以     2 2cos 2cosnE Y nE X n n n n n             …………………………8 分 令 110, 2t n   ，设   2cosf t t t，则    E Y f t ， 因为   12 sin 2 sin2f t t t         ， 所以当 10, 6t  时，   0ft  ；当 11,62t  时，   0ft  ；所以  ft在 10, 6   上单调递增， 在 11,62   上单调递减，故当 1 6t  即 6n  时， 取最大值， 所以  max 1 366f t f    ，所以  EY 取最大值时，正整数 6n  ．…………………12 分 22．解：（Ⅰ）曲线 E 的直角坐标方程为 2 2+1 4xy，……………………………………2 分 直线 m 的极坐标方程为 ( R  ). …………………………………………………………4 分 （Ⅱ）设点 A ，C 的极坐标分别为 1， ，  2， . 由 2 = +2 cos 3 0        得， 2 +2 cos 3 0   ，∴ 12 2cos     ， 12 3  ， ∴ 2 122 cos 3AC       .……………………………………………………………………6 分 同理得 22 sin 3BD .…………………………………………………………………………7 分 ∵ 2 2 2 21 2 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 72ABCDS AC BD               ，……………………9 分 当且仅当 22cos 3 sin 3   ，即 3 44   或 时，等号成立， ∴四边形 ABCD 面积的最大值为 7．………………………………………………………………10 分 23.解：（Ⅰ）    22 21 1 1ab ab    ，所以 221 2ab  ， 当且仅当 1 2ab取等号．…………………………………………………………………………4 分 当且仅当 1 3abc   取等号