四川省树德中学2020届高三高考适应性考试（6月） 数学（理） PDF版含答案（可编辑） 5页

高考适应考试数学（理科） 第 1 页 共 3 页 高 2017 级高考适应性考试数学（理科）试题 命题人：高 2017 级数学备课组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 2{ | 1 3}, { | log ( 2)}A x x B x y x       ，则集合 AB （ ） A． | 1 2xx   B． | 2 3xx C． |1 3xx D． |2xx 2．已知i 是虚数单位，且 1 iz i  ，则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知椭圆C 的焦点为 1( 1,0)F  ， 2 (1,0)F ．过点 1F 的直线与 交于 A，B 两点．若 2ABF 的周长为8 ， 则椭圆 的标准方程为（ ） A． 22 116 15 xy B． 22 187 xy C． 22 143 xy D． 22 134 xy 4.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，则记为 (mod )N n m ，例如 10 2(mod4) .如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》. 执行该程序框图，则输出的 等于( ) A． 4 B．8 C．16 D．32 5.已知函数 ( ) 2 sinf x x x   ，若 3(3 )af ， ( 2)bf   ， 2(log 7)cf ， 则 ,,abc的大小关系为（ ） A． abc B．b c a C．c a b D． a c b 6. 函数 2 sin() cos xxfx xx   在[ , ]  的图像大致为( ) A． B． C． D． 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）. 如图，网格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑 表面积为（ ） A．6 B． 21 C． 27 D．54 8. 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则 f  π 2 等 于( ) A.3 2 2 B.－3 2 2 C.－3 2 D.3 2 9.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ()PA PB PC 的最小值是 ( ) A.-2 B. 3 2 C. 4 3 D.-1 10.如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 4 ，P 是 1AA 的中点，点 M 在 侧面 11AA B B 内，若 1D M CP ，则 BCM 面积的最小值为（ ） A．8 B．4 C．82 D． 85 5 11.已知双曲线   22 22: 1 0, 0xyC a bab    的左，右焦点分别为 12,FF，O 为坐标原点， P 为双曲线在 第一象限上的点，直线 PO ， 2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点 12, , 3M N PF PF若 ，且 2 60MF N，则双曲线的离心率为( ) A． 5 2 B．3 C．2 D． 7 2 12.设函数   sin cosf x a x b x  0  在区间 ,62   上单调，且 2 2 3 6f f f                    ， 当 12x  时，  fx取到最大值 4 ，若将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到函数  gx的图象，则函数   3y g x x    零点的个数为（ ） A． B．5 C．6 D． 7 高考适应考试数学（理科） 第 2 页 共 3 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.圆心在原点且与直线 20xy   相切的圆的方程为 . 14.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材 料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润 为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工 时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 15.已知 ABC 中，D 在边 BC 上且 AD=BD， 23tan 2tan 3 0BA   ，则 BD DC 的最大值是__________． 16.设函数 .①若 ，则 的最大值为______________； ②若 无最大值，则实数 的取值范围是________.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17. （本题满分 12 分） 已知函数 ( ) log ( 0 1)kf x x k k k  为常数， 且 (1)在下列条件中选择一个，使数列 na 是等比数列，并说明理由. ①数列   nfa 是首项为 2，公比为 2 的等比数列； ②数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列； ③数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列. (2)在（1）的条件下，设   1 2 2 , k 2 .41 n n n n na b b n Tn   当 时，求数列 的前 项和 18.（本题满分 12 分） 如图，五面体 PABCD 中，CD  平面 ,PAD ABCD 为直角梯形， ,2BCD PD BC CD    1 ,2 AD AP PD. (1)若 E 为 AP 的中点，求证： //BE 平面 PCD ； (2)求二面角 P AB C 的余弦值. 19. （本题满分 12 分） 设椭圆 的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点 3 2 61, , ,1 .23MN  (1)求椭圆 的方程； (2)设直线l 的方程为  : 1 ,y k x点 A为椭圆 在 x 轴正半轴上的顶点，过点 作 AB l ，垂足为 ,M 点 B 在椭圆上（不同于点 ）且满足： 2 5 ,MB AM 求直线 的斜率 .k 20. （本题满分 12 分） 某市高三联考后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考试的数学成绩( x )和物理成绩( y )， 绘制成如图散点图： 根据散点图可以看出 y 与 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A ， B 。经调查得知， 考生由 于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试。为了使分析结果更科学准确，剔除这 两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： 42 1 4620i i x   ， 42 1 3108i i y   ， 42 1 350350ii i xy   ，   242 1 16940i i xx   ，   242 1 5250i i yy   ，其中 ix ， iy 分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， 1,2, ,42i  ， 与 的相关系数 0.82r  . (1)若不剔除 A，B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 与 的相关系数为 0r 。试判断 与 r 的大小关系，并说明理由； (2)求 关于 的线性回归方程，并估计如果 考生参加了这次物理考试(已知 考生的数学成绩为125 分)， 物理成绩是多少？ (3)从概率统计规律看，本次考试该市的物理成绩 服从正态分布 2,N （ ），以剔除后的物理成绩作为样 本，用样本平均数 y 作为  的估计值，用样本方差 2s 作为 2 的估计值。试求该市共 50000 名考生中，物 理成绩位于区间(62. 8，85. 2)的人数 Z 的数学期望. 附：①回归方程 y a bx 中：      1 2 1 n ii i n i i x x y y b xx        ， a y bx ; ②若 2,N  （ ），则 (P         ） 0.6827 ， ( 2 2P         ） 0.9545； ③ 125 11.2 3 3,() 2, x x x afx x x a    0a  ()fx ()fx a 高考适应考试数学（理科） 第 3 页 共 3 页 21. （本题满分 12 分） 已知函数 ( ) ln .xf x e x  （I）当 1  时，求函数 ()fx的单调区间； （II）若 0 e，函数 的最小值为 ()h  ，求 的值域. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos ()sin x y      为参数 ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin   . （1）求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线 1C 相切于第二象限的点 P ，与曲线 2C 交于 A 、 B 两点，且 7| | | | 3PA PB，求直 线 l 的倾斜角. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) |3 2 |f x x. （1）解不等式 ( ) 4 | 1|f x x   ； （2）已知 1( 0, 0)m n m n    ，若 11| | ( ) ( 0)x a f x amn     恒成立，求实数a 的取值范围. 高考适应考试数学（理科） 第 4 页 共 3 页 高 2017 级高考适应性考试数学（理科）试题参考答案 一、选择题：1—5：B B C C D ; 6—10：D C C B D; 11—12:D D. 二、填空题： 13. 222xy； 14. 216000； 15. 2； 16. 2， 1  （ ， ）. 三、解答题： 17. 【解】：（1）条件②能使数列 na 是等比数列，证明如下：         2 2 4 1 2 1 2 2 4 21 22 4 1 2 2 2, log 2 2 , 0, , n n k n n n n nn n f a n n a n a k a k a k k a k kak                    即 且 又 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 6分 （2）由（1）知：  4 2 1 2 2 1 1 22 , 2 2 , 2 1 1 1 1,,4 1 4 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11.2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n n n nn n n n n n a k k k k a a b bn n n n nT n n n n                                                     当 时， 18.【解】：（1）证明：取 PD的中点 F ，连接 ,EF CF ，因为 ,EF分别是 ,PA PD 的中点，所以 //EF AD 且 1 2EF AD ，因为 1 , / /2BC AB BC AD ，所以 //EF BC 且 EF BC ，所以 //BE CF ,又 BE  平 面 ,PCD CF 平面 PCD，所以 //BE 平面 .所以四边形 BCEF 为 。 （2）以 P 为坐标原点， ,PD PA 所在直线分 别为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，不妨设 1BC  ，则         130,0,0 , 0, 3,0 , 1,0,0 , 1,0,1 , , ,122P A D C B  ，    130, 3,0 , ,1 , 1, 3,022PA AB AD     ,设平面 PAB 的一个法向量为  ,,n x y z ，则 300 130 022 yn PA yn AB xz         ，令 2x  ，得  2,0, 1n ，同理可求平面 ABD 的一个法向量为   6 153, 3,0 cos , 55 12 nmm n m nm       ， 平面 和平面 ABC 为同一个平面，所以二面角 P AB C 的余弦值为 15 5 . 19.【解】：⑴ 设椭圆 的方程为 221mx ny（ ,0mn 且 mn ） 3 2 61, , ,123MN  在椭圆 上， 9 14 ,8 13 mn mn     解之，得 1 4.1 3 m n     则椭圆 的方程为 22 1.43 xy 4分 ⑵ 椭圆 的右顶点 A 为 2,0 . 由题可知 0,k  直线 1: 1,l x yk直线 AB 的方程为 2,x ky   由 1 1 , 2 xyk x ky       可知 2 .1M ky k  由 22 2 ,3 4 12 0 x ky xy        得 223 4 12 0,k y ky   则 2 12 ,34B ky k  2 5 ,MB AM     2 5 0 ,B M My y y   则 2 2 2 12 52,3 4 1 1 k k k k k k    0,k  2 4 ,3k 解 之， 23.3k  12分 20.【解】：(1) 0 .rr 理由如下（任写一条或几条即可）：由图可知， y 与 x 成正相关关系。 ①异常点 A,B 会降低变量之间的线性相关程度； ②44 个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42 个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42 个数据点更贴近其回归直线l ； ⑤44 个数据点与其回归直线更离散。………………………3 分 （2）由题中数据可得： 42 1 1 110,42 i i xx   42 1 1 74,42 i i yy   所以 42 42 11 ( )( ) 42 350350 42 110 74 8470i i i i ii x x y y x y x y            …………5 分 又因为 42 2 1 ( ) 16940i i xx   ，所以 1 2 1 ( )( ) 8470ˆ 0.516940() n ii i n i i x x y y b xx          ， 高考适应考试数学（理科） 第 5 页 共 3 页 ˆˆ 74 0.5 110 19,a y bx      所以 ˆ 0.5 19,yx…………………7 分 将 125x  代入得 0.5 125 19 62.5 19 81.5y       ，所以估计 B 同学的物理成绩为 81.5 分。…………………8 分 （3）因为 42 1 1 74,42 i i yy   42 22 1 11( ) 5250 125,42 42i i s y y       所以 (74,125)N ，又因为 125 11.2 ，所以 (62.8 85.2)P  = (74 11.2 74 11.2)P     =0.6827…………………10 分 因为 (50000,0.628)ZB ，所以 () 50000 0.6827 34135.ZE    即物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人 数 Z 的数学期望为 34135. …………………12 分 21. 【解】：(I)函数 ()fx的定义域为（0, ），据题意 1'( ) e xfx x    = x x ex xe  ，令 ( ) ( 0), '( ) e 1 0xxg x e x x g x       恒成立； ()gx 在（ ）上单调递增且 ( ) (0) 1g x g， '( ) 0fx恒成立，故 的单调增区间为（ ）；无单调减区间。 (II) '( ) e ( 1)( 0),xxf x xe xxx      令 ( ) 1( 0,0 ),xh x xe x e      显然 ()hx 在（ ） 单调递增。又 (0) 1,h  (1) e 1 0h    ，据零点存在定理，存在 0 (0,1),x  使 0( ) 0hx  即 0 001 0, (0, )xx e x x     时， ( ) 0hx  即 '( ) 0fx ， 在 0(0, )x 上单调递减； 0( , )xx  时， ( ) 0hx  即 '( ) 0fx 所以 在 0( , )x  上单调递增； 0 min 0 0( ) ( ) ( ) e lnxf x h f x x    ① 且 0 0 0 0 ln1 0,x xxe x       ；令 ln() xrx x 则 2 ln 1'( ) xrx x  ， (0,1)x 时， '( ) 0,rx ()rx在 (0,1) 上单调递减；又0 e， 0 1 1xe ，将 0 0 ln x x  代入①得 0 2 0 min 0 0 00 (ln )1( ) ( ) ( ) e lnx xf x h f x x xx       ， 令 21 (ln ) 1( ) , ( ,1)xt x xx x e   ， 22 2 2 2 1 2ln (ln ) (ln 1)'( ) 0x x xtx x x x        ， 1( ) ( ,1)tx e 在 上 单调递减； ( ) (1,2 )t x e ，故 ()h  的值域为(1,2 )e 。 22. 【解】：（1） 22 1 :1C x y， 2 2 2 2 : C x y ， siny  ， 2C 为: 22 143 xy. （2）设 00( , )P x y ，直线l 设为 0 0 cos sin x x t y y t      （t 为参数），代入椭圆方程化简整理得    2 2 2 2 2 0 0 0 03cos 4sin 6 cos 8 sin 3 4 12 0t x y t x y          ， 方程两根设为 1t ， 2t ，则 22 00 12 22 7 3 4 12 3 3cos 4sin xytt       ，由题意知 0 0 cos( ) sin2 sin( ) cos2 x y              ， 代入上式化简得 2 3sin 4  ，得 3sin 2  ，又 (0, ) ， 3  或 2 3  . 因为 P 在单位圆的第二象限上，所以 3   ，即直线l 倾斜角为60. 23. 【解】：（1）由题知|3 2 | | 1| 4xx    ， 当 2 3x  时， 3 2 1 4xx     ，解得 52 43x    ， 当 2 13 x   时，即3 2 1 4xx    ，解得 21 32x   ， 当 1x  时，即3 2 1 4xx    ，无解，综上可得 51( , )42x . （2） 1 1 1 1( )( ) 1 1 4nmmnm n m n m n         ，（当且仅当 nm 时取等号） 令 22 2 3 2( ) | | ( ) | | | 3 2 | 4 2 3 2 2 x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a                          2 3x   时， max 2() 3g x a，要使不等式恒成立，只需 max 2( ) 43g x a   即 100 3a .