高考数学专题复习课件：13-5 复 数 43页

§13.5 　复　数 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件 .2. 了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算 .3. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 1 ． 复数的有关概念 (1) 复数的定义 形如 a ＋ b i( a ， b ∈ R) 的数叫做复数，其中实部是 ____ ，虚部是 ____ ． a b 3 ． 复数的运算 (1) 复数的加、减、乘、除运算法则 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R) ，则： ① 加法： z 1 ＋ z 2 ＝ ( a ＋ b i) ＋ ( c ＋ d i) ＝ _______________ ； ② 减法： z 1 － z 2 ＝ ( a ＋ b i) － ( c ＋ d i) ＝ _______________ ； ③ 乘法： z 1 · z 2 ＝ ( a ＋ b i)( c ＋ d i) ＝ __________________ ； ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ( a － c ) ＋ ( b － d )i ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i (2) 复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z 1 、 z 2 、 z 3 ∈ C ，有 z 1 ＋ z 2 ＝ ______ ， ( z 1 ＋ z 2 ) ＋ z 3 ＝ ___________ ． (3) 复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z 1 ， z 2 ， z 3 ∈ C ，有 z 1 · z 2 ＝ z 2 · z 1 ， ( z 1 · z 2 )· z 3 ＝ z 1 · ( z 2 · z 3 ) ， z 1 ( z 2 ＋ z 3 ) ＝ z 1 z 2 ＋ z 1 z 3 . z 2 ＋ z 1 z 1 ＋ ( z 2 ＋ z 3 ) 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 方程 x 2 ＋ x ＋ 1 ＝ 0 没有解． ( 　　 ) (2) 复数 z ＝ a ＋ b i ， ( a ， b ∈ R) 中，虚部为 b i.( 　　 ) (3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( 　　 ) (4) 原点是实轴与虚轴的交点． ( 　　 ) (5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 1 ． (2015· 安徽 ) 设 i 是虚数单位，则复数 (1 － i)(1 ＋ 2i) 等于 ( 　　 ) A ． 3 ＋ 3i 　　　　　　　　　 B ．－ 1 ＋ 3i C ． 3 ＋ i D ．－ 1 ＋ i 【 解析 】 (1 － i)(1 ＋ 2i) ＝ 1 ＋ 2i － i － 2i 2 ＝ 1 ＋ i ＋ 2 ＝ 3 ＋ i ，故选 C. 【 答案 】 C 2 ． (2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知复数 z 满足 ( z － 1)i ＝ 1 ＋ i ，则 z 等于 ( 　　 ) A ．－ 2 － i B ．－ 2 ＋ i C ． 2 － i D ． 2 ＋ i 【 解析 】 由 ( z － 1)i ＝ 1 ＋ i ，两边同乘以－ i ，则有 z － 1 ＝ 1 － i ，所以 z ＝ 2 － i. 【 答案 】 C 3 ．在复平面内，复数 6 ＋ 5i ，－ 2 ＋ 3i 对应的点分别为 A ， B . 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是 ( 　　 ) A ． 4 ＋ 8i B ． 8 ＋ 2i C ． 2 ＋ 4i D ． 4 ＋ i 【 解析 】 ∵ A (6 ， 5) ， B ( － 2 ， 3) ， ∴ 线段 AB 的中点 C (2 ， 4) ， 则点 C 对应的复数为 z ＝ 2 ＋ 4i. 【 答案 】 C 4 ．已知 a ， b ∈ R ， i 是虚数单位．若 a ＋ i ＝ 2 － b i ，则 ( a ＋ b i) 2 等于 ( 　　 ) A ． 3 － 4i B ． 3 ＋ 4i C ． 4 － 3i D ． 4 ＋ 3i 【 解析 】 ∵ a ， b ∈ R ， a ＋ i ＝ 2 － b i ， ∴ a ＝ 2 ， b ＝－ 1 ， ∴ ( a ＋ b i) 2 ＝ (2 － i) 2 ＝ 3 － 4i. 【 答案 】 A 5 ． ( 教材改编 ) 已知 (1 ＋ 2i) z ＝ 4 ＋ 3i ，则 z ＝ ________ ． 【 答案 】 2 ＋ i (3) 若 z 1 ＝ ( m 2 ＋ m ＋ 1) ＋ ( m 2 ＋ m － 4)i( m ∈ R) ， z 2 ＝ 3 － 2i ，则 “ m ＝ 1 ” 是 “ z 1 ＝ z 2 ” 的 ( 　　 ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 　 (3)A 【 方法规律 】 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1) 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 ( 不等式 ) 组即可． (2) 解题时一定要先看复数是否为 a ＋ b i( a ， b ∈ R) 的形式，以确定实部和虚部． 跟踪训练 1 (1) 若复数 z ＝ ( x 2 － 1) ＋ ( x － 1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 ( 　　 ) A ．－ 1 B ． 0 C ． 1 D ．－ 1 或 1 (2) (2016· 江苏 ) 复数 z ＝ (1 ＋ 2i)(3 － i) ，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 ________ ． 【 答案 】 (1)A 　 (2)5 题型二　复数的运算 命题点 1 　复数的乘法运算 【 例 2 】 (1)(2015· 湖北 ) i 为虚数单位， i 607 的共轭复数为 ( 　　 ) A ． i B ．－ i C ． 1 D ．－ 1 (2) (2015· 北京 ) 复数 i(2 － i) 等于 ( 　　 ) A ． 1 ＋ 2i B ． 1 － 2i C ．－ 1 ＋ 2i D ．－ 1 － 2i 【 答案 】 (1)A 　 (2)A 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 【 答案 】 (1) － 2 　 (2)A 【 方法规律 】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1) 复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (2) 复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式． (3) 复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为 a ＋ b i( a ， b ∈ R) 的形式，再结合相关定义解答． (4) 复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为 a ＋ b i( a ， b ∈ R) 的形式，再结合复数的几何意义解答． (5) 复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的． 【 答案 】 (1)B 　 (2)A 题型三　复数的几何意义 【 例 5 】 (1) △ ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z 1 ， z 2 ， z 3 ，若复数 z 满足 | z － z 1 | ＝ | z － z 2 | ＝ | z － z 3 | ，则 z 对应的点为 △ ABC 的 ( 　　 ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心 【 解析 】 由几何意义知，复数 z 对应的点到 △ ABC 三个顶点距离都相等， z 对应的点是 △ ABC 的外心． 【 答案 】 D (2) 如图所示，平行四边形 OABC ，顶点 O ， A ， C 分别表示 0 ， 3 ＋ 2i ，－ 2 ＋ 4i ，试求： 【 方法规律 】 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可． 跟踪训练 3 (1) 如图，在复平面内，点 A 表示复数 z ，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ( 　　 ) A ． A B ． B C ． C D ． D 【 解析 】 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称， ∴ B 点表示 z . 选 B. 【 答案 】 B 思想与方法系列 25 解决复数问题的实数化思想 【 典例 】 ( 12 分 ) 已知 x ， y 为共轭复数，且 ( x ＋ y ) 2 － 3 xy i ＝ 4 － 6i ，求 x ， y . 【 思维点拨 】 (1) x ， y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来； (2) 利用复数相等，将复数问题转化为实数问题． 【 温馨提醒 】 (1) 复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法． (2) 本题求解的关键是先把 x 、 y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法． (3) 本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解 . ► 方法与技巧 1 ．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 2 ．复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R) 是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R) ，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识． 3 ．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合． ► 失误与防范 1 ．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2 ．两个虚数不能比较大小． 3 ．注意复数的虚部是指在 a ＋ b i( a ， b ∈ R) 中的实数 b ，即虚部是一个实数 .