高中数学北师大版新教材必修一同步课件：7-4　事件的独立性 32页

§4 　事件的独立性 必备知识 · 自主学习 相互独立事件的概念和性质 导思 1. 什么是相互独立事件 ? 2. 如何计算相互独立事件的概率 ? 定义 事件 A( 或 B) 是否发生对事件 B( 或 A) 发生的 _____ 没有影响 , 这样的两 个事件叫作相互独立事件 计算 公式 两个相互独立事件同时发生的概率 , 等于这两个事件发生的概率的积 , 即 P(AB)=P(A)P(B) 性质 如果两个事件相互独立 , 那么把其中一个换成它的对立事件 , 这样的 两个事件仍然相互独立 . 即当事件 A,B 相互独立时 , 则事件 __ 与事件 __ 相互独立 , 事件 __ 与事件 __ 相互独立 , 事件 __ 与事件 __ 相互独立 概率 A B 【 思考 】 (1) 事件 A 与 B 相互独立可以推广到 n 个事件的一般情形吗 ? 提示 : 对于 n 个事件 A 1 ,A 2 , … ,A n , 如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响 , 则称事件 A 1 ,A 2 , … ,A n 相互独立 . (2) 公式 P(AB)=P(A)P(B) 可以推广到一般情形吗 ? 提示 : 公式 P(AB)=P(A)P(B) 可以推广到一般情形 : 如果事件 A 1 ,A 2 , … ,A n 相互独立 , 那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 , 即 P(A 1 A 2 … A n )=P(A 1 )P(A 2 ) … P(A n ). 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 不可能事件与任何一个事件相互独立 . ( 　　 ) (2) 必然事件与任何一个事件相互独立 . ( 　　 ) (3) 若两个事件互斥 , 则这两个事件相互独立 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. 不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响 . (2)√. 必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响 . (3)×. 因为两个事件互斥 , 所以二者不能同时发生 , 所以这两个事件不相互独立 . 2. 袋内有 3 个白球和 2 个黑球 , 从中有放回地摸球 , 用 A 表示“第一次摸到白球” , 如果“第二次摸到白球”记为 B, 否则记为 C, 那么事件 A 与 B,A 与 C 的关系是 ( 　　 ) A.A 与 B,A 与 C 均相互独立 B.A 与 B 相互独立 ,A 与 C 互斥 C.A 与 B,A 与 C 均互斥 D.A 与 B 互斥 ,A 与 C 相互独立 【 解析 】 选 A. 由于摸球过程是有放回的 , 所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响 , 故事件 A 与 B,A 与 C 均相互独立 , 且 A 与 B,A 与 C 均有可能同时发生 , 说明 A 与 B,A 与 C 均不互斥 . 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 两名射手射击同一目标 , 命中的概率分别为 0.8 和 0.7, 若各射击一次 , 目标被击中的概率是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.56 B.0.92 C.0.94 D.0.96 【 解析 】 选 C. 因为两人都没有击中的概率为 0.2×0.3=0.06, 所以目标被击中的概率为 1-0.06=0.94. 关键能力 · 合作学习 类型一　相互独立事件的判断 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 甲、乙两名射手同时向一目标射击 , 设事件 A:“ 甲击中目标” , 事件 B:“ 乙击中目标” , 则事件 A 与事件 B ( 　　 ) A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立 C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥 2. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币 , 设事件 A 是“第一枚为正面” , 事件 B 是“第二 枚为正面” , 事件 C 是“两枚结果相同” , 则下列事件具有相互独立性的是 　　　 .( 填序号 )  ①A,B;②A,C;③B,C. 3. 判断下列各对事件哪些是互斥事件 , 哪些是相互独立事件 . (1) 掷一枚骰子一次 , 事件 M:“ 出现的点数为奇数” ; 事件 N:“ 出现的点数为偶 数” . (2) 掷一枚骰子一次 , 事件 A:“ 出现偶数点” ; 事件 B:“ 出现 3 点或 6 点” . 【 解析 】 1. 选 A. 对同一目标射击 , 甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的 , 所 以事件 A 与 B 相互独立 ; 对同一目标射击 , 甲、乙两射手可能同时击中目标 , 也就 是说事件 A 与 B 可能同时发生 , 所以事件 A 与 B 不是互斥事件 . 2. 根据事件相互独立性的定义判断 , 只要 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 成立即可 . 利用古典概型概率公式计算可得 P(A)=0.5, P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25. 可以验证 P(AB)= P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C). 所以根据事件相互独立的定义 , 事件 A 与 B 相互独立 , 事件 B 与 C 相互独立 , 事件 A 与 C 相互独立 . 答案 : ①②③ 3.(1) 因为二者不可能同时发生 , 所以 M 与 N 是互斥事件 , 但不是相互独立事件 . (2) 样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}, 事件 A={2,4,6}, 事件 B={3,6}, 事件 AB={6}, 所以 P(A)= = ,P(B)= = ,P(AB)= = × , 即 P(AB)=P(A)P(B). 故事件 A 与 B 相互独立 . 当 “ 出现 6 点 ” 时 , 事件 A,B 可以同时发生 , 因此 ,A,B 不是 互斥事件 . 【 解题策略 】 判断事件是否相互独立的方法 (1) 定义法 : 事件 A,B 相互独立 ⇔ P(AB)=P(A)·P(B). (2) 利用性质 :A 与 B 相互独立 , 则 A 与 , 与 B, 与 也都相互独立 . (3) 有时通过计算 P(B|A)=P(B) 可以判断两个事件相互独立 . 【 补偿训练 】 判断下列事件是否为相互独立事件 . (1) 甲组 3 名男生 ,2 名女生 ; 乙组 2 名男生 ,3 名女生 , 现从甲、乙两组各选 1 名同学参加演讲比赛 ,“ 从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生” . (2) 容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球 ,“ 从 8 个球中任意取出 1 个 , 取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个 , 取出的还是白球” . 【 解析 】 (1) “ 从甲组中选出 1 名男生 ” 这一事件是否发生 , 对 “ 从乙组中选出 1 名女生 ” 这一事件是否发生没有影响 , 所以它们是相互独立事件 . (2) “ 从 8 个球中任意取出 1 个 , 取出的是白球 ” 的概率为 , 若这一事件发生了 , 则 “ 从剩下的 7 个球中任意取出 1 个 , 取出的还是白球 ” 的概率为 ; 若前一事件 没有发生 , 则后一事件发生的概率为 , 可见 , 前一事件是否发生 , 对后一事件发 生的概率有影响 , 所以二者不是相互独立事件 . 类型二　相互独立事件概率的计算 ( 数学运算 ) 【 典例 】 在某校运动会中 , 甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛 ( 即每两队比赛 一场 ), 共赛三场 , 每场比赛胜者得 3 分 , 负者得 0 分 , 没有平局 . 在每一场比赛中 , 甲胜乙的概率为 , 甲胜丙的概率为 , 乙胜丙的概率为 . (1) 求甲队获第一名且丙队获第二名的概率 ; (2) 求在该次比赛中甲队至少得 3 分的概率 . 【 思路导引 】 (1) 若甲队获第一名且丙队获第二名 , 则甲胜乙且甲胜丙且丙胜乙 ; (2) 该次比赛中甲队至少得 3 分 , 则有两种情况 : 两场只胜一场 ; 两场都胜 . 【 解析 】 (1) 设甲队获第一名且丙队获第二名为事件 A, 则 P(A)= . (2) 甲队至少得 3 分有两种情况 : 两场只胜一场 ; 两场都胜 . 设事件 B 为 “ 甲两场只 胜一场 ” , 设事件 C 为 “ 甲两场都胜 ” , 则事件 “ 甲队至少得 3 分 ” 为 B+C, 则 P(B+C)=P(B)+P(C)= . 【 解题策略 】 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 (1) 用恰当的字母表示题中有关事件 ; (2) 根据题设条件 , 分析事件间的关系 ; (3) 列出需要计算概率的事件的运算关系式 ( 所设事件之间必须满足相互独立 ); (4) 利用乘法公式计算概率 . 【 跟踪训练 】 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5, 购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 , 各顾客之间购买商品也是相互独立的 . 求 : (1) 进入商场的 1 位顾客 , 甲、乙两种商品都购买的概率 ; (2) 进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率 . 【 解析 】 记 A 表示事件 “ 进入商场的 1 位顾客购买甲种商品 ” , 则 P(A)=0.5; 记 B 表示事件 “ 进入商场的 1 位顾客购买乙种商品 ” , 则 P(B)=0.6; 记 C 表示事件 “ 进 入商场的 1 位顾客 , 甲、乙两种商品都购买 ” ; 记 D 表示事件 “ 进入商场的 1 位顾 客购买甲、乙两种商品中的一种 ” . (1) 易知 C=AB, 则 P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2) 易知 D=(A )∪( B), 则 P(D)=P(A )+P( B)=P(A) · P( )+P( )P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. 类型三　相互独立事件的概率的综合应用 ( 数学运算、数据分析 ) 【 典例 】 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行 , 每部分考试成绩只记 “合格”与“不合格” , 两部分考试都“合格”者 , 则计算机考试“合格” , 并 颁发合格证书 . 甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 , , , 在实际操作考试中“合格”的概率依次为 , , , 所有考试是否合格相互之 间没有影响 . (1) 假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试 , 谁获得合格证书的 可能性最大 ? (2) 这三人进行理论与实际操作两项考试后 , 求恰有两人获得合格证书的概率 . 【 思路导引 】 (1) 分别计算三人获得合格证书的概率 . (2) 分三种情况 , 由相互独立事件的概率公式求解 , 再相加即可 . 【 解析 】 (1) 记 “ 甲获得合格证书 ” 为事件 A, “ 乙获得合格证书 ” 为事件 B, “ 丙获得合格证书 ” 为事件 C, 则 P(A)= × = ,P(B)= × = , P(C)= × = . 因为 P(C)>P(B)>P(A), 所以丙获得合格证书的可能性最大 . (2) 设 “ 三人考试后恰有两人获得合格证书 ” 为事件 D, 由题易知三人是否获得合格证书相互独立 , 则 P(D)=P(AB )+P(A C)+P( BC)= . 【 解题策略 】 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1) 列出题中涉及的各个事件 , 并且用适当的符号表示 . (2) 理清事件之间的关系 ( 两个事件是互斥还是对立 , 或者是相互独立的 ), 列出关系式 . (3) 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算 . (4) 当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时 , 可先间接地计算其对立事件的概率 , 再求出符合条件的事件的概率 . 【 跟踪训练 】 三个元件 T 1 ,T 2 ,T 3 正常工作的概率分别为 , , , 将它们中某两个元件并 联后再和第三个元件串联接入电路 , 它们是否正常工作相互独立 . 在如图所示的 电路中 , 电路不发生故障的概率是多少 ? 【 解析 】 记 T 1 正常工作为事件 A,T 2 正常工作为事件 B,T 3 正常工作为事件 C, 则 P(A)= ,P(B)=P(C)= , 电路不发生故障 , 即 T 1 正常工作且 T 2 ,T 3 至少有一个正常工作 ,T 2 ,T 3 至少有一个正 常工作的概率 , 所以整个电路不发生故障的概率为 P=P(A)×P 1 = . 课堂检测 · 素养达标 1. 甲、乙两班各有 36 名同学 , 甲班有 9 名三好学生 , 乙班有 6 名三好学生 , 两班各派 1 名同学参加演讲活动 , 派出的恰好都是三好学生的概率是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【 解析 】 选 C. 两班各自派出代表是相互独立事件 , 设事件 A,B 分别为甲班、乙班 派出的是三好学生 , 则事件 AB 为两班派出的都是三好学生 , 则 P(AB)=P(A)P(B) = × = . 2. 坛子里放有 3 个白球 ,2 个黑球 , 从中不放回地摸球 , 用 A 1 表示第 1 次摸得白球 ,A 2 表示第 2 次摸得白球 , 则 A 1 与 A 2 是 ( 　　 ) A. 互斥事件 B. 相互独立事件 C. 对立事件 D. 不相互独立事件 【 解析 】 选 D. 由于事件 A 1 是否发生对事件 A 2 发生的概率有影响 , 所以 A 1 与 A 2 是不相互独立事件 . 3. 甲袋中有 8 个白球、 4 个红球 , 乙袋中有 6 个白球、 6 个红球 , 从每袋中任取一球 , 则取到相同颜色的球的概率是 　　　　 .  【 解析 】 由题意知 . 答案 : 4. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同 , 且在两次罚球中至多命中一次 的概率为 , 则该队员每次罚球的命中率为 　　　　 .  【 解析 】 设此队员每次罚球的命中率为 p, 则 1-p 2 = , 所以 p= . 答案 : 5.( 教材二次开发 : 习题改编 ) 甲、乙、丙三人将参加某项测试 , 他们能达标的概 率分别是 0.8,0.6,0.5, 则三人都达标的概率是 　　　　 , 三人中至少有一人达 标的概率是 　　　　 .  【 解析 】 由题意可知三人都达标的概率 P=0.8×0.6×0.5=0.24; 三人中至少有 一人达标的概率 P′=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96. 答案 : 0.24 　 0.96