2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析新人教A版 20页

第7节　函数的图象 考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.‎ ‎2.利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；‎ y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.‎ ‎(3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax).‎ y＝f(x)y＝Af(x).‎ - 20 -‎ ‎(4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.记住几个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.‎ ‎(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.‎ ‎3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)‎ ‎(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)‎ ‎(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)‎ 解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错.‎ ‎(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行振幅与周期变换得到，两图象不同，(2)错.‎ ‎(3)y＝f(x)与y＝－f(x)图象关于x轴对称，(3)错.‎ ‎(4)中，f(2－x)＝f[1＋(1－x)]＝f[1－(1－x)]＝f(x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，(4)正确.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ - 20 -‎ ‎2.(老教材必修1P24A7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)‎ 解析　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.‎ 答案　C ‎3.(新教材必修第一册P140习题4.4T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)‎ 解析　依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.‎ 答案　B ‎4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)‎ A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)‎ C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)‎ 解析　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).‎ 法二　由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.‎ - 20 -‎ 答案　B ‎5.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ 解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数，排除A.‎ 当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D满足.‎ 答案　D ‎6.(2020·兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________.‎ 解析　当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].‎ 答案　(2，8]‎ 考点一　作函数的图象 ‎【例1】 作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝x2－2|x|－1.‎ 解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.‎ - 20 -‎ ‎ ‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.‎ ‎(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.‎ 规律方法　作函数图象的一般方法 ‎(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.‎ ‎(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎【训练1】 分别作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.‎ 解　(1)先作出函数y＝lg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y＝|lg x|的图象，如图①实线部分.‎ ‎(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.‎ 考点二　函数图象的辨识 ‎【例2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)‎ ‎(2)(2020·深圳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)‎ - 20 -‎ 解析　(1)因为y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，‎ 所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ 所以f(x)是奇函数，排除选项C.‎ 当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除A，D项，B正确.‎ ‎(2)由得－10且x→0时，f(x)→0，排除D，只有B项符合.‎ 答案　(1)B　(2)B 规律方法　1.抓住函数的性质，定性分析：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.‎ ‎2.抓住函数的特征，定量计算：‎ 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.‎ ‎【训练2】 (1)(2020·武汉调研)函数f(x)＝的大致图象为(　　)‎ - 20 -‎ ‎(2)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)‎ 解析　(1)易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－＝>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合.‎ ‎(2)法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.‎ 法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.‎ 答案　(1)B　(2)D 考点三　函数图象的应用　多维探究 角度1　研究函数的性质 ‎【例3－1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)‎ - 20 -‎ D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ 解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得 f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.‎ 答案　C 角度2　函数图象在不等式中的应用 ‎【例3－2】 (1)(2020·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝2－|x|，若关于x的不等式f(x)≥x2－x－m的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为(　　)‎ A.[－3，－1) B.(－3，－1)‎ C.[－2，－1) D.(－2，－1)‎ ‎(2)函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________.‎ 解析　(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝x2－x－m的图象如图所示.‎ 由图可知，不等式f(x)≥x2－x－m的解集中的整数解为x＝0，‎ 故解得－2≤m<－1.‎ ‎(2)当x∈时，y＝cos x>0.‎ - 20 -‎ 当x∈时，y＝cos x<0.‎ 结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当10，若只存在两个整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是______.‎ 解析　f(x)＝|x2－2x|－ax－a<0，则|x2－2x|0时，f(x)＝>0，这与函数的图象不符，因此只有C项f(x)＝ - 20 -‎ 可能适合.有兴趣的同学可研究函数的性质作出判断(略).‎ 答案　C 类型2　利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.‎ ‎【例2】 已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)‎ A.有最小值－1，最大值1‎ B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值 解析　画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)‎ - 20 -‎ 解析　由函数f(x)的图象知a>1，－10.‎ 因此选项C满足要求.‎ 答案　C ‎2.(2020·马鞍山模拟)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)＝f(|x－1|)，则函数y＝g(x)的图象关于(　　)‎ A.直线x＝－1对称 B.直线x＝1对称 C.原点对称 D.y轴对称 解析　因为y＝f(|x|)的图象关于y轴对称，y＝f(|x|)的图象向右平移1个单位可得y＝f(|x－1|)的图象，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称.‎ 答案　B ‎3.(2018·浙江卷)函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是(　　)‎ 解析　设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域为R，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B.令f(x)＝0，得sin 2x＝0，∴2x＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，排除C，只有D正确.‎ - 20 -‎ 答案　D ‎4.(2020·兰州模拟)若函数y＝f(x)的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是(　　)‎ A.y＝f B.y＝f(2x－1)‎ C.y＝f D.y＝f 解析　函数f(x)的图象先整体往右平移1个单位，得到y＝f(x－1)的图象，再将所有点的横坐标压缩为原来的，得到y＝f(2x－1)的图象.‎ 答案　B ‎5.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)‎ A.－ B.－ C.－1 D.－2‎ 解析　由图象知得 ‎∴f(x)＝故f(－3)＝5－6＝－1.‎ 答案　C ‎6.已知函数f(2x＋1)是奇函数，则使函数y＝f(2x)的图象成中心对称的点为(　　)‎ A.(1，0) B.(－1，0)‎ C. D. 解析　f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x - 20 -‎ ‎＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称.‎ 答案　C ‎7.(2020·衡水中学调研)函数y＝(2x－1)ex的图象大致是(　　)‎ 解析　当x→－∞时，y＝(2x－1)ex<0，则C、D错误.‎ 因为y′＝(2x＋1)ex，所以当x<－时，y′<0，y＝(2x－1)ex在上单调递减，所以A正确，B错误.‎ 答案　A ‎8.(2020·潍坊质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是(　　)‎ A.0 B.0或－ C.－或 D.0或－ 解析　因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，如图所示：‎ 由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1，1)或与曲线f(x)＝x2(0≤x≤1)相切于点A，则1＝1＋a，或方程x2＝x＋a只有一个实数根.所以a＝0或Δ＝1＋4a＝0，即a＝0或a＝－.‎ - 20 -‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________.‎ 解析　由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).‎ 答案　(3，1)‎ ‎10.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.‎ 解析　当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).‎ 则得∴y＝x＋1.‎ 当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).‎ ‎∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝，‎ ‎∴y＝(x－2)2－1.‎ 答案　f(x)＝ ‎11.(2020·福州质检)设函数y＝f(x)的图象与y＝的图象关于直线y＝x对称，且f(3)＋f＝4，则实数a＝________.‎ 解析　设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y＝的图象上.‎ ‎∴x＝，则y＝logx－a.‎ 因此f(x)＝logx－a.‎ 由f(3)＋f＝4，得－1＋1－2a＝4，∴a＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎12.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－20，且f(5)＝<1，所以排除C，D，选A.‎ 答案　A ‎14.若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)‎ - 20 -‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析　作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个.‎ 答案　B ‎15.已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0