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  • 2021-06-30 发布

2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析新人教A版

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第7节 函数的图象 考试要求 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.利用描点法作函数的图象 步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.‎ ‎2.利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;‎ y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;‎ y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;‎ y=ax(a>0,且a≠1)的图象y=logax(a>0,且a≠1)的图象.‎ ‎(3)伸缩变换 y=f(x)y=f(ax).‎ y=f(x)y=Af(x).‎ - 20 -‎ ‎(4)翻折变换 y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;‎ y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.记住几个重要结论 ‎(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.‎ ‎(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.‎ ‎3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上减下加”进行.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(  )‎ ‎(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(  )‎ ‎(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.(  )‎ ‎(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(  )‎ 解析 (1)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同,(1)错.‎ ‎(2)中两函数当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行振幅与周期变换得到,两图象不同,(2)错.‎ ‎(3)y=f(x)与y=-f(x)图象关于x轴对称,(3)错.‎ ‎(4)中,f(2-x)=f[1+(1-x)]=f[1-(1-x)]=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,(4)正确.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ - 20 -‎ ‎2.(老教材必修1P24A7改编)下列图象是函数y=的图象的是(  )‎ 解析 其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成.‎ 答案 C ‎3.(新教材必修第一册P140习题4.4T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(  )‎ 解析 依题意,在2 h内血液中药物含量Q持续增加,停止注射后,Q呈指数衰减,图象B适合.‎ 答案 B ‎4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是(  )‎ A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)‎ C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)‎ 解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=ln x的图象上,所以y=ln(2-x).‎ 法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B.‎ - 20 -‎ 答案 B ‎5.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为(  )‎ 解析 ∵f(-x)==-f(x),‎ ‎∴f(x)为奇函数,排除A.‎ 当x=π时,f(π)=>0,排除B,C,只有D满足.‎ 答案 D ‎6.(2020·兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是________.‎ 解析 当f(x)>0时,函数g(x)=logf(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时,x∈(2,8].‎ 答案 (2,8]‎ 考点一 作函数的图象 ‎【例1】 作出下列函数的图象:‎ ‎(1)y=;(2)y=|log2(x+1)|;‎ ‎(3)y=x2-2|x|-1.‎ 解 (1)先作出y=的图象,保留y=图象中x≥0的部分,再作出y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图象,如图①实线部分.‎ - 20 -‎ ‎ ‎ ‎(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.‎ ‎(3)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图③.‎ 规律方法 作函数图象的一般方法 ‎(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.‎ ‎(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎【训练1】 分别作出下列函数的图象:‎ ‎(1)y=|lg x|;(2)y=sin |x|.‎ 解 (1)先作出函数y=lg x的图象,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得函数y=|lg x|的图象,如图①实线部分.‎ ‎(2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如图②.‎ 考点二 函数图象的辨识 ‎【例2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y=在[-6,6]的图象大致为(  )‎ ‎(2)(2020·深圳模拟)函数f(x)=的图象大致为(  )‎ - 20 -‎ 解析 (1)因为y=f(x)=,x∈[-6,6],‎ 所以f(-x)==-=-f(x),‎ 所以f(x)是奇函数,排除选项C.‎ 当x=4时,y==∈(7,8),排除A,D项,B正确.‎ ‎(2)由得-10且x→0时,f(x)→0,排除D,只有B项符合.‎ 答案 (1)B (2)B 规律方法 1.抓住函数的性质,定性分析:‎ ‎(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.‎ ‎2.抓住函数的特征,定量计算:‎ 从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.‎ ‎【训练2】 (1)(2020·武汉调研)函数f(x)=的大致图象为(  )‎ - 20 -‎ ‎(2)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y=1+x+的部分图象大致为(  )‎ 解析 (1)易知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.f(-x)==-=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A,f(1)=3-=>0,排除D,当x→+∞时,3x→+∞,则f(x)→+∞,排除C,选项B符合.‎ ‎(2)法一 易知g(x)=x+为奇函数,故y=1+x+的图象关于点(0,1)对称,排除C;当x∈(0,1)时,y>0,排除A;当x=π时,y=1+π,排除B,选项D满足.‎ 法二 当x=1时,f(1)=1+1+sin 1=2+sin 1>2,排除A,C;又当x→+∞时,y→+∞,排除B,而D满足.‎ 答案 (1)B (2)D 考点三 函数图象的应用 多维探究 角度1 研究函数的性质 ‎【例3-1】 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)‎ B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)‎ C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)‎ - 20 -‎ D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)‎ 解析 将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得 f(x)= 画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上是递减的.‎ 答案 C 角度2 函数图象在不等式中的应用 ‎【例3-2】 (1)(2020·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=2-|x|,若关于x的不等式f(x)≥x2-x-m的解集中有且仅有1个整数,则实数m的取值范围为(  )‎ A.[-3,-1) B.(-3,-1)‎ C.[-2,-1) D.(-2,-1)‎ ‎(2)函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为________.‎ 解析 (1)在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=x2-x-m的图象如图所示.‎ 由图可知,不等式f(x)≥x2-x-m的解集中的整数解为x=0,‎ 故解得-2≤m<-1.‎ ‎(2)当x∈时,y=cos x>0.‎ - 20 -‎ 当x∈时,y=cos x<0.‎ 结合y=f(x),x∈[0,4]上的图象知,当10,若只存在两个整数x,使得f(x)<0,则a的取值范围是______.‎ 解析 f(x)=|x2-2x|-ax-a<0,则|x2-2x|0时,f(x)=>0,这与函数的图象不符,因此只有C项f(x)= - 20 -‎ 可能适合.有兴趣的同学可研究函数的性质作出判断(略).‎ 答案 C 类型2 利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.‎ ‎【例2】 已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)(  )‎ A.有最小值-1,最大值1‎ B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 解析 画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(  )‎ - 20 -‎ 解析 由函数f(x)的图象知a>1,-10.‎ 因此选项C满足要求.‎ 答案 C ‎2.(2020·马鞍山模拟)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足g(x)=f(|x-1|),则函数y=g(x)的图象关于(  )‎ A.直线x=-1对称 B.直线x=1对称 C.原点对称 D.y轴对称 解析 因为y=f(|x|)的图象关于y轴对称,y=f(|x|)的图象向右平移1个单位可得y=f(|x-1|)的图象,所以函数y=g(x)的图象关于直线x=1对称.‎ 答案 B ‎3.(2018·浙江卷)函数y=2|x|·sin 2x的图象可能是(  )‎ 解析 设f(x)=2|x|sin 2x,其定义域为R,又f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-f(x),所以y=f(x)是奇函数,故排除选项A,B.令f(x)=0,得sin 2x=0,∴2x=kπ(k∈Z),即x=(k∈Z),排除C,只有D正确.‎ - 20 -‎ 答案 D ‎4.(2020·兰州模拟)若函数y=f(x)的图象的一部分如图(1)所示,则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是(  )‎ A.y=f B.y=f(2x-1)‎ C.y=f D.y=f 解析 函数f(x)的图象先整体往右平移1个单位,得到y=f(x-1)的图象,再将所有点的横坐标压缩为原来的,得到y=f(2x-1)的图象.‎ 答案 B ‎5.若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)等于(  )‎ A.- B.- C.-1 D.-2‎ 解析 由图象知得 ‎∴f(x)=故f(-3)=5-6=-1.‎ 答案 C ‎6.已知函数f(2x+1)是奇函数,则使函数y=f(2x)的图象成中心对称的点为(  )‎ A.(1,0) B.(-1,0)‎ C. D. 解析 f(2x+1)是奇函数,所以其图象关于原点成中心对称,而f(2x)的图象是由f(2x - 20 -‎ ‎+1)的图象向右平移个单位得到的,故关于点成中心对称.‎ 答案 C ‎7.(2020·衡水中学调研)函数y=(2x-1)ex的图象大致是(  )‎ 解析 当x→-∞时,y=(2x-1)ex<0,则C、D错误.‎ 因为y′=(2x+1)ex,所以当x<-时,y′<0,y=(2x-1)ex在上单调递减,所以A正确,B错误.‎ 答案 A ‎8.(2020·潍坊质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是(  )‎ A.0 B.0或- C.-或 D.0或- 解析 因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,如图所示:‎ 由图知,直线y=x+a与函数f(x)的图象在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时,直线y=x+a经过点(1,1)或与曲线f(x)=x2(0≤x≤1)相切于点A,则1=1+a,或方程x2=x+a只有一个实数根.所以a=0或Δ=1+4a=0,即a=0或a=-.‎ - 20 -‎ 答案 D 二、填空题 ‎9.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点________.‎ 解析 由于函数y=f(4-x)的图象可以看作y=f(x)的图象先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度为(3,1).所以函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1).‎ 答案 (3,1)‎ ‎10.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________.‎ 解析 当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0).‎ 则得∴y=x+1.‎ 当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1(a≠0).‎ ‎∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,得a=,‎ ‎∴y=(x-2)2-1.‎ 答案 f(x)= ‎11.(2020·福州质检)设函数y=f(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称,且f(3)+f=4,则实数a=________.‎ 解析 设(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,则(y,x)在函数y=的图象上.‎ ‎∴x=,则y=logx-a.‎ 因此f(x)=logx-a.‎ 由f(3)+f=4,得-1+1-2a=4,∴a=-2.‎ 答案 -2‎ ‎12.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式-20,且f(5)=<1,所以排除C,D,选A.‎ 答案 A ‎14.若直角坐标系内A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)的图象上;(2)点A,B关于原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)=则f(x)的“和谐点对”有(  )‎ - 20 -‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 作出函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分),看它与函数y=(x≥0)的图象的交点个数即可,观察图象可得交点个数为2,即f(x)的“和谐点对”有2个.‎ 答案 B ‎15.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0