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- 2021-06-30 发布
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第六章 平面向量及其应用
向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点,平面向量数量积的计算,
向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体,常与
三角函数交汇命题,重视数形结合与转化化归思想的考查,主要培养数学运算、
直观想象等核心素养.
一、平面向量数量积的计算
12
解析 根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(0,2),C(1,0),
所以x=2y,
即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),
反思
感悟
平面向量数量积的运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos θ(θ为a,
b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a·b=x1x2+y1y2.
提醒:解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,可先利用向量的加、
减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平
面几何图形中的角的关系是相等还是互补.
二、平面向量数量积的应用
1.求模
2
2.求夹角
所以E为BC的中点.
3.垂直问题
√
即-2a·b=2,
∴a·b=-1,故B,C都错;
反思
感悟
(1)求向量的模的方法
①公式法:利用|a|= 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算化为数
量积运算;
②几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则
或三角形法则作出向量,然后求解.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法:由向量数量积的定义知,cos θ= ,其中两个向量的夹角θ的
范围为[0,π],求解时应求出三个量:a·b,|a|,|b|或者找出这三个量之间
的关系;
②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ= .
(3)两向量垂直的应用
a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0).
三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题
例3 (1)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x∈[0,π],若f(x)=a·b,求f(x)
的最值.
(2)已知向量m=(sin α-2,-cos α),n=(-sin α,cos α),其中α∈R.
①若m⊥n,求α;
解 若m⊥n,则m·n=0,
即-sin α(sin α-2)-cos2α=0,
②若|m-n|= ,求cos 2α的值.
即(2sin α-2)2+(-2cos α)2=2,
即4sin2α+4-8sin α+4cos2α=2,
即8-8sin α=2,
反思
感悟
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时,先运用向量相关知识,
得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表
达形式时,其解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,
求解.
本课结束
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