人教版高三数学总复习第八章单元质量检测 13页

第八章单元质量检测 时间：90分钟　分值：100分 一、选择题(每小题4分，共40分)‎ ‎1．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于(　　)‎ A．1或－3 B．－1或3‎ C．1或3 D．－1或－3‎ 解析：因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝x＋，由两直线平行，得＝a且≠－2，解得a＝1或a＝－3.‎ 答案：A ‎2．双曲线－＝1的焦点坐标是(　　)‎ A．(1,0)，(－1,0) B．(0,1)，(0，－1)‎ C．(，0)，(－，0) D．(0，)，(0，－)‎ 解析：c2＝a2＋b2＝2＋1＝3，所以c＝.由焦点在x轴上．所以焦点坐标为(，0)，(－，0)．‎ 答案：C ‎3．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于(　　)‎ A．3 B．2 C. D．1‎ 解析：圆心到直线的距离d＝＝1，弦AB的长l＝2＝2＝2.‎ 答案：B ‎4．已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋y2＝13 B．(x＋2)2＋y2＝17‎ C．(x＋1)2＋y2＝40 D．(x－1)2＋y2＝20‎ 解析：设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即＝，解得a＝1，所以半径r＝＝＝2，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.‎ 答案：D ‎5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x 解析：由题意＝，所以a2＝4b2.‎ 故双曲线的方程可化为－＝1，‎ 故其渐近线方程为y＝±x.‎ 答案：A ‎6．已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b ‎>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y2＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B．y2－＝1‎ C.－x2＝1 D.－＝1‎ 解析：由题意得，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，‎ 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为ax－by＝0，‎ ‎∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，∴＝，∴a＝2b.‎ ‎∵P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，‎ ‎∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝，‎ ‎∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1.‎ ‎∴双曲线的方程为－x2＝1，故选C.‎ 答案：C ‎7．过点P(1,1)作直线与双曲线x2－＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线(　　)‎ A．存在一条，且方程为2x－y－1＝0‎ B．存在无数条 C．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0‎ D．不存在 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，‎ 则x－y＝1，x－y＝1，‎ 两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，‎ 所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2，‎ 故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ 联立可得2x2－4x＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．‎ 答案：D ‎8．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ 解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，‎ ‎∴M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.‎ 答案：D ‎9．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－ ‎＝1的(　　)‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 解析：对于双曲线C1：－＝1，a＝cos2θ，b＝sin2θ，c＝1；‎ 对于双曲线C2：－＝1，a＝sin2θ，b＝sin2θtan2θ，c＝sin2θ＋sin2θtan2θ＝sin2θ(1＋tan2θ)＝‎ sin2θ＝＝tan2θ.‎ ‎∵只有当θ＝kπ＋(k∈Z)时，a＝a或b＝b或c＝c，而0<θ<，∴A，B，C均错；设双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e＝，e＝＝.‎ 故e1＝e2，即两双曲线的离心率相等．‎ 答案：D ‎10．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A ‎，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，①‎ ‎|F1F2|＝2.‎ 又因为四边形AF1BF2为矩形，所以∠F1AF2＝90°.‎ 所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，②‎ 由①②联立解得，|AF1|＝2－，|AF2|＝2＋.‎ 在双曲线C2中，2c＝2，2a＝|AF2|－|AF1|＝2，故e＝＝＝，故选D.‎ 答案：D 二、填空题(每小题4分，共16分)‎ ‎11．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．‎ 解析：设所求直线的方程为＋＝1，‎ ‎∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①‎ 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，‎ ‎∴|a|·|b|＝1.②‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解．‎ 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，‎ 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．‎ 答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0‎ ‎12．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．‎ 解析：过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.‎ 答案：x＋y－1＝0‎ ‎13．已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．‎ 解析：椭圆的左焦点为F(－1,0)，右焦点为E(1,0)，根据椭圆的定义，|PF|＝2a－|PE|，∴|PF|＋|PQ|＝|PQ|＋2a－|PE|＝2a＋(|PQ|－|PE|)，‎ 由三角形的性质，知|PQ|－|PE|≤|QE|，当P是QE延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a＋|QE|＝2＋3＝5.‎ 答案：(0，－1)‎ ‎14．已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P ‎，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．‎ 解析：将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1，所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.‎ 答案：2‎ 三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)‎ ‎15．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，原点到过点A(a,0)，B(0，－b)的直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．‎ 解：(1)因为＝，a2－b2＝c2，故a＝2b，‎ 因为原点到直线AB：－＝1的距离d＝＝，解得a＝4，b＝2，‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意得(1＋4k2)x2＋8kx－12＝0，‎ 易得Δ>0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ EF的中点是M(xM，yM)，‎ 则xM＝＝，yM＝kxM＋1＝，‎ 所以kBM＝＝－，‎ 又因为k≠0，所以k2＝，所以k＝±.‎ ‎16．(10分)过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设＝＋，求||的最小值(O为坐标原点)．‎ 解：(1)圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为O(0,0)，‎ 于是|QO|2＝(－2)2＋()2＝25，‎ 由题设知，△QDO是以D为直角顶点的直角三角形，‎ 故有r＝|OD|＝＝＝3.‎ ‎(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，则A(a,0)，B(0，b)，∴＝(a，b)，‎ ‎∴||＝.‎ ‎∵直线l与圆O相切，‎ ‎∴＝3⇒a2b2＝9(a2＋b2)≤2，‎ ‎∴a2＋b2≥36，∴||≥6，‎ 当且仅当a＝b＝3时取到“＝”．‎ ‎∴||取得最小值为6.‎ ‎17．(12分)如图，已知点E(m,0)(m>0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．‎ ‎(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；‎ ‎(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．‎ 解：(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，‎ ‎∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD.‎ 设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得k1y2－4y－4k1＝0，‎ y1＋y2＝，y1y2＝－4.‎ ‎∵M，∴M，‎ 同理，点N(2k＋1，－2k1)，‎ ‎∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y2－4y－4k1m＝0，‎ y1＋y2＝，y1y2＝－4m，‎ ‎∵M，∴M，‎ 同理，点N，∴kMN＝＝k1k2.‎ ‎∴直线MN的方程为 y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，‎ ‎∴直线MN恒过定点(m,2)．‎ ‎18．(12分)(2014·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．‎ ‎①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；‎ ‎②求△OMN面积的最大值．‎ 解：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.‎ 椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.‎ 将y＝x代入可得x＝±，‎ 因此×＝，可得a＝2.因此b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．‎ 因为直线AB的斜率kAB＝，‎ 又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.‎ 设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.‎ 由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.‎ 所以x1＋x2＝－，‎ 因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.‎ 由题意知x1≠－x2，所以k1＝＝－＝.‎ 所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．‎ 令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)，可得k2＝－.‎ 所以k1＝－k2，即λ＝－.‎ 因此存在常数λ＝－使得结论成立．‎ ‎②直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，‎ 令x＝0，得y＝－y1，即N.‎ 由①知M(3x1,0)，可得△OMN的面积 S＝×3|x1|×|y1|＝|x1||y1|.‎ 因为|x1||y1|≤＋y＝1.‎ 当且仅当＝|y1|＝时等号成立，此时S取得最大值，所以△OMN面积的最大值为.‎