2020年高中数学第三章导数及其应用3 6页

‎3.3.2‎‎ 函数的极值与导数 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2‎ 解析：y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.‎ 答案：B ‎2．函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的极大值是(　　)‎ A.＋ B．－＋ C.＋ D．1＋ 解析：f　′(x)＝cos x＋，x∈(0，π)，‎ 由f　′(x)＝0得cos x＝－，x＝.‎ 且x∈时f　′(x)>0；x∈时f　′(x)<0，‎ ‎∴x＝时，‎ f(x)有极大值f＝＋.‎ 答案：C ‎3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)‎ A．11或18 B．‎11 C．18 D．17或18‎ 解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，‎ ‎∴f(1)＝10，且f　′(1)＝0，‎ 即 解得或 而当时，函数在x＝1处无极值，‎ 故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，‎ ‎∴f(2)＝18.故选C.‎ 答案：C 6‎ ‎4.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f　′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：依题意，记函数y＝f　′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a0；当x10，‎ 故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.‎ 答案：c ‎7．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．‎ 解析：f　′(x)＝3x2－6b.‎ 6‎ 当b≤0时，f　′(x)≥0恒成立，函数f(x)无极值．‎ 当b>0时，令3x2－6b＝0得x＝±.‎ 由函数f(x)在(0,1)内有极小值，可得0<<1，‎ ‎∴00，故－2是g(x)的极值点．‎ 当－21时，g　′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．‎ 所以g(x)的极值点为－2.‎ ‎10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．‎ 解析：(1)f　′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.‎ 由已知得f(0)＝4，f　′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.‎ 从而a＝4，b＝4.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，‎ f　′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).‎ 令f　′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.‎ 6‎ 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f　′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f　′(x)<0.‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．‎ 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　)‎ 解析：因为[f(x)ex]′＝f　′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f　′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f　′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f　′(－1)>0，不满足f　′(－1)＋f(－1)＝0.‎ 答案：D ‎2．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)‎ A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 解析：三次函数过原点，可设f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f　′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设有 解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f　′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)．当x＝1时，函数f(x)取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．‎ 答案：B ‎3．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.‎ 解析：f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝1处取得极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．设f(x)＝，则f(x)的极大值点和极小值点分别是________．‎ 解析：对f(x)求导得f′(x)＝.　①‎ 若f′(x)＝0，‎ 则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.‎ 结合①，可知 6‎ x ‎(－∞，)‎ ‎(＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．‎ 答案：， ‎5．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．‎ 解析：(1)f　′(x)＝3x2－‎3a＝3(x2－a)．‎ 当a<0时，对x∈R，有f　′(x)>0，‎ ‎∴当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；‎ 当a>0时，由f　′(x)>0，解得x<－或x>，‎ 由f　′(x)<0，解得－0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．‎ ‎(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，‎ ‎∴f　′(－1)＝3×(－1)2－‎3a＝0，解得a＝1.‎ ‎∴f(x)＝x3－3x－1，f　′(x)＝3x2－3.‎ 由f　′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.‎ 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.‎ ‎∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．‎ ‎6．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.‎ ‎(1)求函数f(x)的极值．‎ ‎(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ 解析：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．‎ 令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.‎ 6‎ 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，‎ 所以f(x)的极小值为1，无极大值．‎ ‎(2)k(x)＝f(x)－h(x)‎ ‎＝x－2ln x－a(x＞0)，‎ 所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，‎ 得x＞2，令k′(x)＜0，得0＜x＜2，‎ 所以k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．‎ 要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，‎ 则需 所以2－2ln 2＜a≤3－2ln3。‎ 6‎