2020年高中数学第一章导数及其应用1 5页

‎1.2.1‎‎-1.2.2 第1课时 导数公式 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝(　　)‎ A．0 B．3x2‎ C．8 D．12‎ 解析：f′(x)＝3x2，∴f′(2)＝12.‎ 答案：D ‎2．已知函数y＝xn在x＝2处的导数等于12，则n的值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B．4‎ C．3 D．5‎ 解析：y′＝nxn－1，‎ ‎∵y′|x＝2＝12，∴n·2n－1＝12，∴n＝3.‎ 答案：C ‎3．曲线y＝x2在点处切线的倾斜角为(　　)‎ A．－ B．1‎ C. D. 解析：∵y′＝x，∴y′|x＝1＝1，‎ ‎∴曲线y＝x2在点处切线的斜率为1.‎ 故倾斜角为.‎ 答案：C ‎4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)‎ A．2 B．ln 2＋1‎ C．ln 2－1 D．ln 2‎ 解析：因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．‎ 代入直线y＝x＋b得b＝ln 2－1.‎ 答案：C ‎5．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线垂直于直线y＝－x－1，则P0点的坐标为(　　)‎ 5‎ A．(1,0) B．(2,8)‎ C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)‎ 解析：设切点为P0(a，b)，f′(x)＝3x2＋1，k＝f′(a)＝‎3a2＋1＝4，a＝±1，把a＝－1代入到f(x)＝x3＋x－2得b＝－4；把a＝1代入到f(x)＝x3＋x－2得b＝0，所以P0(1,0)和(－1，－4)．‎ 答案：C ‎6．若函数f(x)＝，则f′(8)＝________.‎ 解析：因为f(x)＝＝x，‎ 所以f′(x)＝x，‎ 所以f′(8)＝×8＝.‎ 答案： ‎7．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.‎ 解析：f′(x)＝2ax－bcos x，由条件知 ，∴.‎ 答案：0　－1‎ ‎8．曲线y＝sin在点A处的切线方程是________．‎ 解析：y＝sin＝cos x，点A是曲线y＝sin上的点，y′|＝－sin＝，所求的切线方程为y－＝，即x－2y＋π＋1＝0.‎ 答案：x－2y＋π＋1＝0‎ ‎9．求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝lg 2；‎ ‎(2)y＝2x；‎ ‎(3)y＝；‎ ‎(4)y＝2cos2－1.‎ 解析：(1)y′＝(lg 2)′＝0；‎ 5‎ ‎(2)y′＝(2x)′＝2xln 2；‎ ‎(3)∵y＝＝x＝x，‎ ‎∴y′＝(x)′＝x；‎ ‎(4)∵y＝2cos2－1＝cos x，‎ ‎∴y′＝(cos x)′＝－sin x.‎ ‎10．求曲线y＝在点(8,4)处的切线方程．‎ 解析：因为y＝＝x，‎ 所以y′＝(x)′＝x，‎ 所以，切线斜率为k＝×8＝，‎ 切线方程为y－4＝(x－8)，‎ 即x－3y＋4＝0.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)‎ A．[0，]∪[，π) B．[0，π]‎ C．[，] D．[0，]∪[，]‎ 解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的倾斜角为α.‎ ‎∵y′＝cos x，∴tan α＝y′|x＝x0＝cos x0.‎ ‎∵－1≤cos x0≤1，∴－1≤tan α≤1.‎ 又0≤α＜π，∴α∈[0，]∪[，π)．‎ 答案：A ‎2．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析：依题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．由导数的几何意义可知在P 5‎ 点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1.得x0＝－.‎ 故P点的坐标为，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.‎ 答案：B ‎3．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．‎ 解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)·(x－1)，令y＝0，得xn＝，‎ ‎∴an＝lg.‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a99＝lg＋lg＋…＋lg ‎＝lg＝lg＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎4．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 016(x)等于________．‎ 解析：f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′ (x)＝(－cos x)′＝sin x，‎ ‎∴4为最小正周期，∴f2 016(x)＝f0(x)＝sin x.‎ 答案：sin x ‎5．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．‎ 解析：∵y＝x，∴y′＝－x，‎ ‎∴过(a，a)点的切线的斜率k＝－a，‎ ‎∴切线方程为y－a＝－a (x－a)．‎ 令x＝0，得y＝a；令y＝0，得x＝‎3a.‎ ‎∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积 5‎ S＝·‎3a·a＝a＝18，∴a＝64.‎ ‎6．如图，已知曲线y＝，A(2，)为其在第一象限分支上一点．试判断过点A能否作一条直线与第三象限的分支相切？‎ 解析：假设能作．设切点坐标为(x0，y0)，‎ 则切线方程为y－y0＝－(x－x0)，‎ 又y0＝，且切线过点(2，)，‎ ‎∴－＝－(2－x0)，‎ ‎∴2x0－x＝4－2x0，x－4x0＋4＝0，x0＝2，‎ ‎∴切点坐标为(2，)，‎ ‎∴过点A只能作一条直线与曲线y＝在第一象限的分支相切，不能作一条直线与第三象限的分支相切．‎ 5‎