2020高中数学 课时分层作业2 正弦定理（2）新人教A版必修5 5页

课时分层作业(二)　正弦定理(2)‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) ‎ ‎【导学号：91432022】‎ A．30°　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．90°‎ B　[由正弦定理得，＝＝，则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.]‎ ‎2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(　　)‎ A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1‎ C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝ A　[∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝.]‎ ‎3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　) ‎ ‎【导学号：91432023】‎ A. B. C. D．1‎ B　[在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.]‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝(　　)‎ A. B. C. D．－ B　[由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，‎ 所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.]‎ ‎5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　) ‎ ‎【导学号：91432024】‎ - 5 -‎ A. B. C. D．2 B　[由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.]‎ 二、填空题 ‎6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．‎ ‎①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；‎ ‎②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；‎ ‎③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；‎ ‎④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．‎ ‎④　[①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]‎ ‎7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________. ‎ ‎【导学号：91432025】‎ ‎2　[在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2.]‎ ‎8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ 　[在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9．在△ABC中，求证：＝. ‎ ‎【导学号：91432026】‎ ‎[证明]　因为＝＝＝2R，‎ 所以左边＝ - 5 -‎ ‎＝＝＝＝右边．‎ 所以等式成立．‎ ‎10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．‎ ‎[解]　由正弦定理知＝，‎ ‎∴＝.‎ 即sin Acos A＝sin Bcos B，‎ ‎∴sin ‎2A＝sin 2B.‎ 又∵a≠b且A，B∈(0，π)，‎ ‎∴‎2A＝π－2B，即A＋B＝.‎ ‎∴△ABC是直角三角形且C＝，‎ 由 得a＝6，b＝8.‎ ‎∴内切圆的半径为r＝＝＝2.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：91432027】‎ A．[3，6] B．(2,4)‎ C．(3，4) D．(3,6]‎ D　[∵A＝，∴B＋C＝π.‎ ‎∴AC＋AB＝(sin B＋sin C)‎ ‎＝ ‎＝2 ‎＝6sin，‎ ‎∴B∈，∴B＋∈，‎ ‎∴sin∈，‎ - 5 -‎ ‎∴AC＋AB∈(3,6]．]‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为(　　)‎ A.， B.， C.， D.， C　[∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，‎ ‎∴tan A＝，‎ 又∵A∈(0，π)，∴A＝，‎ 由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin‎2C，∴sin(A＋B)＝sin‎2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.]‎ ‎3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：91432028】‎ ‎(1，]　[∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.‎ ‎∵A∈，∴A＋∈，‎ ‎∴sin∈，∴x∈(1，]．]‎ ‎4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.‎ 　[由正弦定理，得＝，即sin C＝＝＝.‎ 可知C为锐角，∴cos C＝＝.‎ ‎∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.]‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小 ‎【导学号：91432029】‎ ‎[解]　(1)由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acos C．因为00，从而sin C＝cos C，则C＝.‎ ‎(2)由(1)知，B＝－A，于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)＝sin A＋cos A＝2sin.‎ 因为0