江苏省新海高中、昆山中学、梁丰高中2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com ‎2020年高考数学模拟试卷（5月份）‎ 一．填空题（共12小题）‎ ‎1.已知集合，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由并集定义可直接求得结果.‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以，由并集定义得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数z满足(1+ i) z＝2i，其中i 是虚数单位，则z的模为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法法则可得,进而求得模即可 ‎【详解】由题,,‎ 所以,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题 ‎3.为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示，已知在中的频数为，则的值为_____．‎ - 22 -‎ ‎【答案】400‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图求出的频率，再由在的频数，能求出．‎ ‎【详解】由频率分布直方图得：的频率为：，‎ 在中频数为，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题，属于基础题.‎ ‎4.如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是_____．‎ ‎【答案】54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，直到满足输出结果即可.‎ ‎【详解】按照程序框图运行程序，输入，，不满足，循环；‎ - 22 -‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，不满足，循环；‎ ‎，，满足，输出.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.‎ ‎5.已知，，若随机选取，则直线的斜率为正值的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出所有基本事件总数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.‎ ‎【详解】直线的斜率，共有种情况；‎ 若，则，‎ 当时，；当时，，共种情况；‎ 直线的斜率为正值的概率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.‎ ‎6.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ 侧棱长为 ，因为侧面为矩形，所以侧面积为 ‎ ‎7.设是等差数列的前项和，则的值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 答案：‎ 点睛：‎ 在等差数列的项与前n项和的计算中，项的下标和的性质，即若，则，常与前n项和公式结合在一起，利用整体思想解题，可简化解题过程，提高运算的速度．‎ ‎8.将函数的图象向左平移个单位后，恰好得到函数的的图象，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ 由诱导公式的结论可知：，‎ 取可得：.‎ 点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ - 22 -‎ ‎|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．‎ ‎9.在平面直角坐标系中，已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，为等边三角形，则的面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用双曲线和等边三角形对称性可设，，利用和点在双曲线上可构造方程求得，进而求得三角形面积.‎ ‎【详解】由双曲线方程知：，‎ 根据双曲线和等边三角形的对称性可设，，其中，‎ 由得：，即，‎ 又，，解得：，，‎ ‎，.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解问题，关键是能够利用双曲线和等边三角形的对称性确定两点的对称关系.‎ ‎10.在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点,且满足，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出，的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．‎ ‎【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，‎ - 22 -‎ ‎，设，，则，，，，‎ 所以，，，‎ 因为，二次函数的对称轴为：，所以时，．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎11.在中，，，则当角最大时，的面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理化简已知等式可求得，利用余弦定理和基本不等式可确定当最大时，，由此得到和，代入三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】设，，，则，，‎ 由余弦定理得：，整理得，解得：，‎ ‎，‎ ‎（当且仅当时取等号），，‎ - 22 -‎ 在上单调递减，时，最大，此时，，‎ ‎.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到余弦定理和三角形面积公式、基本不等式的应用；解题关键是能够利用余弦定理构造等式，利用基本不等式确定最值.‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数）.若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为_____.‎ ‎【答案】a≤0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从圆上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，，利用圆和圆上分别存在点，，使得，可得，进而得出答案．‎ ‎【详解】解：由题意，圆为实数），圆心为 圆上任意一点向圆作切线，切点为，，‎ 所以与圆有交点，‎ 解得，‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．‎ ‎13.已知，，，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 利用已知条件目标可转化为，构造，，分别求最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 解： ‎ 令，，‎ ‎，，‎ 在上递减，在上递增，‎ 所以，‎ 当时，有最小值：‎ 所以，的最小值为 故答案为 ‎【点睛】本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题.‎ ‎14.已知函数 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为___________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 去绝对值,将函数写出分段函数形式.根据零点定义将函数化为有3个不同的实数根.对分类讨论即可求解.‎ - 22 -‎ ‎【详解】函数有且仅有三个零点 即有3个不同实数根.‎ 令,即有3个不同的实数根,设三个实数根分别为且.‎ 去绝对值化简可得函数 当时, ,解得 ‎ 若,则,由三个零点成等差数列可得 因而,解得 ‎ 此时在上有一个解,符合题意.‎ 若,在上两个不同的解,设为,此时 所以是的两个根,化简可得 所以 因为三个零点成等差数列 则 所以 化简得 ‎ 解方程可得或(舍)‎ 当时, 至多有两个根,不符合题意 综上可知, 实数a的取值集合为 - 22 -‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的综合应用,分类讨论思想的应用,函数零点的意义,综合性强,属于中档题.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．‎ ‎15.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：‎ ‎（1）MN∥平面ABB1A1；‎ ‎（2）AN⊥A1B．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平行四边形的方法，证明平面.‎ ‎（2）通过证明平面，由此证得.‎ ‎【详解】（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形 - 22 -‎ 是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎16.已知在中，，，且的面积为9.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当为锐角三角形时，求的值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】⑴因为S△ABC=，又AB=6，BC=5，所以， ‎ 又 ，所以， ‎ 当cosB=时，，‎ 当cosB=时，，‎ 所以或.‎ ‎⑵ 由为锐角三角形得B为锐角，所以AB=6，AC=，BC=5，‎ 所以，‎ - 22 -‎ 又，所以， ‎ 所以，，‎ 所以.‎ ‎17.如图，河的两岸分别有生活小区和，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，，若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系则河岸可看成是曲线（其中是常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）现准备建一座桥，其中分别在上，且，的横坐标为．写出桥的长关于的函数关系式，并标明定义域；当为何值时，取到最小值？最小值是多少？‎ ‎【答案】（1），.（2）；当时取到最小值，为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）计算，，，，将点代入直线方程计算得到答案.‎ ‎（2）计算，得到，再利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，，∴，，，，‎ 把，代入得，解得：，‎ 把，代入得，解得.‎ ‎（2）由（1）得：点在上，∴，‎ ‎①桥的长为到直线的距离，‎ 故；‎ ‎②由①得：，‎ 而，∴，‎ 当且仅当时即“=”成立，∴.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的应用，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ - 22 -‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的上、下顶点，线段长为，椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点．‎ ‎①若直线的斜率为，求点的坐标；‎ ‎②求证点在一条定直线上，并写出该直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②证明详见解析，直线方程为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由短轴长及离心率和之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；‎ ‎（2）①由（1）可得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立求出的坐标，求出直线，再求两条直线的交点的坐标；‎ ‎②设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线，再求两条直线的交点的坐标与的坐标的关系，由两根之和及两根之积代入可得，解得，即在直线上．‎ - 22 -‎ ‎【详解】（1），，‎ 又，解得：，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）①由（1）可得：，，设，，‎ 直线方程为，代入椭圆方程整理得：‎ 解得：，，，‎ 直线方程为：；直线方程为，‎ 由得：，，；‎ ‎②设，，‎ 由整理可得：，‎ 则，，‎ 直线方程为；直线方程为；‎ 由得：，‎ - 22 -‎ 又，，，‎ ‎，‎ ‎，在定直线上.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线交点坐标的求解、椭圆中的定直线问题；求解定直线问题的关键是能够将动点坐标利用某一变量表示出来，通过化简整理得到定直线.‎ ‎19.已知数列的前项和为，设数列满足．‎ ‎（1）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，且数列，都是以为公比的等比数列，求满足不等式的所有正整数的集合．‎ ‎【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可得，利用等差数列基本量表示出等式，可得到，根据等差数列通项公式求得结果；‎ ‎（2）根据等比数列通项公式和求和公式可整理化简得到，由此得到，可验证出数列的单调性，由此可确定所求的的集合.‎ ‎【详解】（1），‎ - 22 -‎ 由得：，‎ 设等差数列公差为，‎ 则，整理可得：‎ ‎，‎ ‎，解得：或，‎ 或；‎ ‎（2）由题意得：，，，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎；‎ 设，‎ 记，‎ 则当时，；当且时，；‎ - 22 -‎ 又，，，，‎ 在时，是单调递增函数，‎ ‎，，，，，，，‎ 满足条件的正整数的集合为.‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差数列和等比数列通项公式、求和公式的应用、数列单调性的应用等知识；解题关键是能够通过验证数列的单调性确定临界值，进而得到满足不等式的取值，属于较难题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若在处的切线方程为，求实数的值；‎ ‎（2）证明：当时，在上有两个极值点；‎ ‎（3）设，若在上是单调减函数（为自然对数的底数），求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）详见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，通过切线的斜可求出的值，把切点代入切线方程可求出的值；‎ ‎（2）将原问题转化为在上有两个变号零点，再对求导，判断其在上单调性，然后结合零点存在定理证明；‎ ‎（3）先将函数整理成，，令，通过求导、换元和构造函数可证明函数在 - 22 -‎ 上单调递增．然后分①，②和③三类情况，分别讨论在满足在上是单调减函数的情形下的取值范围．‎ ‎【详解】（1），，解得：，‎ 又，，解得：；‎ ‎（2），‎ 在上有两个极值点等价于在上有两个变号零点，‎ ‎，‎ 当时，；当时，；‎ 在上单调递减，在上单调递增，，‎ 又，，‎ 在和上各有一个变号零点，‎ 在上有两个极值点；‎ ‎（3），，‎ 令，则，‎ 令，设，，则，‎ 在上单调递增，，‎ 即当时，，，在上单调递增.‎ ‎①当时，，‎ 在上是减函数，，‎ - 22 -‎ 令，‎ 则恒成立，在上单调递减，‎ ‎，解得：；‎ ‎②当，即时，，‎ 由①知：，‎ 在上是减函数，恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，，‎ 则，‎ 在上单调递减，，‎ ‎，又，；‎ ‎③若，在上单调递增，‎ ‎，‎ 存在唯一的使得，此时，‎ 而，，在上不单调，不合题意；‎ 综上所述：实数的取值范围为.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解参数值、函数极值点个数的求解、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，求解过程中涉及到零点存在定理的应用、构造函数法的应用等知识；属于难题.‎ ‎ ‎ - 22 -‎ - 22 -‎