安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三下学期5月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com ‎2019—2020学年第二学期高三年级5月模拟考试 文科数学 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的性质化简集合，利用由一元二次不等式的解法化简集合，利用补集与交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 又因为，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎2.已知复数，为虚数单位，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数z求出z，再求.‎ - 22 -‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故答案为B ‎【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数模的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 复数的模.‎ ‎3.在中，，点边上一点，且，则（　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选D. ‎ ‎4.运行如图所示程序框图，输出的x是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟运行如图所示的程序框图，即可得出该程序运行后输出的x值．‎ - 22 -‎ ‎【详解】解：模拟运行如图所示的程序框图知，‎ 该程序运行后输出的．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.‎ 现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得解 ‎【详解】设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，‎ 则图（3）中阴影部分的面积为：9S，‎ 又图（3）中大三角形的面积为16S，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ 此点取自阴影部分的概率为，‎ 故选A.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，熟练计算面积是关键，属简单题．‎ ‎6.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为　　‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 图象所对应解析式为：，‎ 由关于轴对称，则，‎ 可得，，又，所以，‎ 即，‎ 当时，所以，，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎7.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 27 B. 36 C. 45 D. 54‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 22 -‎ 由题意，可得：‎ ‎∴，即 ‎∴‎ 故选D ‎8.函数的部分图像大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，设，则，即在区间上递增，且，又在区间上，排除B；当时，，排除C，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎9.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数 - 22 -‎ 的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，问题转化为恒成立，即可求出a的范围．‎ ‎【详解】设则，当时，‎ 所以在上递增，得 所以当时，恒成立.‎ 若不等式在上恒成立，得函数在上递减，‎ 即当时，恒成立，所以 即，可得恒成立，因为,所以，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了构造新函数，也考查了导数的应用以及由单调性求参数的问题，属于中档题．‎ ‎10.在正方体中，点M，N分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是　　‎ A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 ‎【答案】A - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除法，由与重合排除选项；由与重合且与重合排除选项；‎ 与重合时，排除选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】与重合时，不成立，排除选项；‎ 与重合且与重合时，平面平面不成立，排除选项；‎ 与重合时，平面平面不成立，排除选项.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断、排除法解选择题，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.‎ ‎11.已知函数与，则函数 在区间上所有零点的和为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在区间上所有零点的和，等价于函数的图象交点横坐标的和，画出函数的图象，根据函数的图象关于点对称可得结果.‎ ‎【详解】‎ - 22 -‎ 在区间上所有零点的和，‎ 等价于函数的图象交点横坐标的和，‎ 画出函数的图象，‎ 函数的图象关于点对称，则共有8个零点，‎ 其和为16. 故选D.‎ ‎【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ ‎12.已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由内切圆得到,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.‎ ‎【详解】与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义 - 22 -‎ ‎= ,当且仅当A,B,共线时取等 故选B ‎【点睛】本题考查双曲线定义，内切圆的性质，三角形边长关系，准确运用内切圆与双曲线定义转化是关键，是难题.‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数的最小值．‎ ‎【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示，‎ 由图形知，当目标函数过点A时取得最小值，由，解得，代入计算，所以的最小值为．‎ 故答案为．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．‎ ‎14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由频率分布直方图可得支出的钱数在的同学有个，支出的钱数在的同学有个，又支出的钱数在的同学比支出的钱数在的同学多26人，所以 ‎ 故答案为100‎ ‎15.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ÐABC＝120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.‎ ‎【详解】过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形 - 22 -‎ 是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16.设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，则，即，又椭圆上存在一点使得，即，，，即，解得，故答案为.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在中，内角所对的边分別为，且．‎ ‎（I）求角；‎ ‎（II）若，求 的面积．‎ - 22 -‎ ‎【答案】（I） （II） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）因为，所以，根据正弦定理，它可以化简为，故．（II）因为，所以利用正弦定理把可以转化为，再利用余弦定理有，解关于的方程组即可得到，从而求出面积．另一方面，我们也可以把化成，从而求得，也就得到和，再利用正弦定理求出，最后求出面积．‎ 解析：（I）因为，所以有，由正弦定理可得，因，故，所以得到，∵ 所以．‎ ‎（II）法1：根据正弦定理，于是可得．∵，∴，又因为，由余弦定理得，两式联立得，解得或（负值舍去）．∴．‎ 法2：因为，所以，代入得，所以 - 22 -‎ ‎．因为，所以．根据正弦定理，于是可得，∴‎ ‎18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：‎ 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎78‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎92‎ ‎95‎ ‎85‎ ‎79‎ ‎84‎ ‎63‎ ‎86‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎88‎ ‎86‎ ‎95‎ ‎76‎ ‎97‎ ‎78‎ ‎88‎ ‎82‎ ‎76‎ ‎89‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎79‎ ‎83‎ ‎72‎ ‎74‎ ‎91‎ ‎66‎ ‎80‎ ‎83‎ ‎74‎ ‎82‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎93‎ ‎78‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎84‎ ‎77‎ ‎81‎ ‎76‎ ‎85‎ ‎89‎ 用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.‎ ‎（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；‎ ‎（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；‎ ‎（3）在（2）条件下，若用户满意度评分在之间，则满意度等级为“‎ - 22 -‎ 级”．试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）均值，方差（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据；‎ ‎（2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；‎ ‎（3）根据题意，分析评分在，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案．‎ ‎【详解】（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 ‎ 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. ‎ ‎（2）由（1）中的样本评分数据可得 ‎，‎ 则有 ‎ ‎ 所以均值，方差.‎ ‎（3）由题意知评分在即之间满意度等级为“A级”， ‎ 由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，‎ 则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为 ‎【点睛】本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题．‎ ‎19.四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是等边三角形，为的中点，.‎ - 22 -‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接PF，BD由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；‎ ‎（2）先证明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积．‎ ‎【详解】连接PF，BD,‎ ‎∵是等边三角形，F为AD的中点，‎ ‎∴PF⊥AD，‎ ‎∵底面ABCD是菱形，，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，‎ ‎∴BF⊥AD，‎ 又PF，BF⊂平面PBF，PF∩BF＝F，‎ ‎∴AD⊥平面PBF，∵PB⊂平面PBF，‎ ‎∴AD⊥PB．‎ ‎（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴BF⊥平面PAD，又BF⊂平面ABCD，‎ - 22 -‎ ‎∴平面PAD⊥平面ABCD，‎ 由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴PF⊥平面ABCD，‎ 连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似，又，∴CH=CF，‎ ‎∴在△PFC中,过H作GHPF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，又GH面GED，则面GED⊥平面ABCD，‎ 此时CG=CP,‎ ‎∴四面体的体积．‎ 所以存在G满足CG=CP, 使平面平面，且.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．‎ ‎20.已知抛物线的焦点为，定点与点在抛物线的两侧，抛物线上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线与圆和抛物线交于四个不同点，从左到右依次为，且是与抛物线的交点，若直线的倾斜角互补，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ 试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）借助题设运用直线与抛物线的位置关系建立方程探求．‎ 试题解析：‎ ‎（1）过作于，则，‎ 当共线时，取最小值．‎ 解得或．‎ 当时，抛物线的方程为，‎ 此时，点与点在抛物线同侧，这与已知不符．‎ ‎∴，抛物线方程为．‎ ‎（2），设，‎ 由，得，‎ 所以，，且由得．‎ 因为直线的倾斜角互补，所以，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 由，得，‎ 所以，‎ - 22 -‎ ‎．‎ 考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题．求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用题设中的条件建立方程求出抛物线的方程为．第二问再借助直线与抛物线的位置关系的弦长公式分别求出,进而求出其值为,从而使得使问题获解．‎ ‎21.已知函数．‎ 求的单调区间；‎ 若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求的单调区间；若在区间上恒成立，则只需求出的最大值即可，求实数a的取值范围．‎ ‎【详解】．‎ ‎，‎ 由得，，‎ 当时，在或时 ，‎ 在时，‎ 的单调增区间是和，单调减区间是；‎ 当时，在时，‎ - 22 -‎ 的单调增区间是；‎ 当时，在或时，‎ 在时．‎ 的单调增区间是和，单调减区间是．‎ 由可知在区间上只可能有极小值点，‎ 在区间上的最大值在区间的端点处取到，‎ 即有且，‎ 解得．‎ 即实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．‎ ‎22.在极坐标系中，已知三点，，.‎ ‎（1）求经过，，三点的圆的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为，（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出圆的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出．‎ 试题解析：（1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为 - 22 -‎ ‎，代入可求得经过的圆的极坐标方程为．‎ ‎（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得．‎ 考点：1.圆的参数方程；2.简单曲线的极坐标方程．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）绝对值函数去绝对值得到分段函数，分段解不等式即可；（2）不等式恒成立，则即可，由（1）知，，解得答案．‎ 试题解析：‎ ‎∵函数，∴当时，；当时，；‎ 当时， ‎ ‎（1）当时，不等式化，解得，‎ 当时，不等式化为，无解，‎ 当时，不等式化为，解得，‎ 综上，不等式的解集为或 ‎ ‎（2） 由上述可知的最小值为9，因为不等式恒成立，所以，所以，故实数的取值范围为 - 22 -‎ 点睛：绝对值问题最常用的方法就是去绝对值得到分段函数，本题中得到分段函数后，再分段解不等式，注意观察各自分段的范围即可；函数不等式恒成立问题，只需即可，本题中通过前面的讨论得到，解绝对值不等式即可．‎ - 22 -‎ - 22 -‎