福建省龙岩市上杭县第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含解析 18页

www.ks5u.com 上杭一中2019-2020学年第一学期12月考 高二数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1.原命题“设、、，若则”的逆命题、否命题中，真命题的个数是( )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】逆命题为“若，则”，当时，，所以逆命题为假命题．‎ 其否命题为“若，则”，同理，当是有，此时大小无法判断，‎ 所以也是假命题．综上可得，真命题的个数为0，故选A ‎2.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）‎ - 18 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值，然后判断选项即可．‎ ‎【详解】由题意可知：，，，函数是增函数，，函数是减函数；‎ 是函数的极大值点，是函数的极小值点；‎ 所以函数的图象只能是．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数与函数的图象的关系，判断函数的单调性以及函数的极值是解题的关键．‎ ‎3.已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.‎ - 18 -‎ ‎【详解】设，若点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，且,则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎4.在区间上随机取一个数，则使不等式成立的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出符合已知不等式的x的范围，然后根据几何概型的求解公式求解可求 ‎【详解】由可得，‎ 由几何概率的计算公式可得，所求的概率 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了与长度有关的几何概型的求解，属于基础试题 ‎5.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）‎ A. 3，8，13 B. 2，7，12 C. 3，9，15 D. 2，6，12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．‎ - 18 -‎ ‎【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5， 当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2， 所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答，‎ ‎【详解】由可得，‎ 所以 “”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键．‎ ‎7.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．‎ - 18 -‎ ‎【详解】依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）． 则F（1，0）， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PA|≥|AF|=． 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.‎ ‎8.如图，长方体中，，，点分别是， ，的中点，则异面直线与所成的角是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角．‎ ‎【详解】由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，‎ ‎∵A1E∥B1G，‎ ‎∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．‎ 连接FB1，‎ 在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1，‎ B1F B1G，‎ FG，‎ B1F2＝B1G2+FG2．‎ - 18 -‎ ‎∴∠FGB1＝90°，‎ 即异面直线A1E与GF所成的角为90°．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎9.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（　　）‎ A. 必在圆内 B. 必在圆上 C. 必在圆外 D. 以上三种情形都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断点和圆的关系，则判断与2的关系即可．其中的关系来自的两根，故两根关系用韦达定理得出．‎ ‎【详解】因为 的两个实根分别为和，故，，故又椭圆离心率，故，即，故点必在圆内．选A.‎ ‎【点睛】本题使用韦达定理以及离心率化简，遇到时，因为已知离心率的范围，故转换成都是的关系，凑出离心率从而带入求范围．‎ ‎10.过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，则双曲线的方程为（ ）‎ - 18 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】可得渐近线方程为，将x=a代入求得．‎ 由条件知，半焦距,‎ 所以由得，．‎ 又因,‎ 所以解得，．‎ 双曲线的方程为 故选A．‎ ‎11.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则 A. 或2 B. 或3 C. 或1 D. 或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.‎ ‎【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即或,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,‎ - 18 -‎ 设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.‎ ‎12.已知圆和圆，动圆M与圆,圆都相切，动圆的圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，（），则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】①动圆与两定圆都内切时：，所以 ‎②动圆与两定圆分别内切，外切时：，所以 ‎，‎ 则 ，‎ 最小值为，故选A.‎ - 18 -‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将最简答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13.从集合中任意取出两个不同的数记作，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 从集合中任意取出两个不同的数记作，共有个基本事件，其中满足方程表示焦点在轴上的双曲线，即的基本事件有3个，由古典概型的概率公式，得方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是；故填.‎ ‎14.已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ ‎，所以，‎ 所以 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎15.在中，.如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的焦距为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 18 -‎ 试题分析：设另一个焦点为，在中，，所以，而，所以，又，所以，所以，即椭圆的焦距为.‎ 考点：1.椭圆的定义.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 ‎【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.‎ 由，得，，‎ 即切点，‎ 则切点Q到直线的距离为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知，设命题：关于的不等式，对任意实数都成立；命题：直线与抛物线有两个不同的交点。若命题“‎ - 18 -‎ ‎”为真命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出p、q命题为真时m的取值范围，根据为真命题可推导m的范围 ‎【详解】由命题知，关于的不等式对任意实数都成立，‎ 则当时，不等式变为，不合题意。‎ 当时，必须满足，‎ 解得，‎ 因此，当时，命题“”是真命题，当时，“”是真命题。‎ ‎∵直线①与抛物线②有两个不同的交点，‎ 联立①②消去得。‎ 令，解得。因此，当时，是真命题。‎ ‎∵“”为真命题，∴“”和“”都为真命题，‎ 可得，∴实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18.如图：正三棱柱中，是的中点，．‎ ‎（1）求二面角的余弦值；‎ - 18 -‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系D-xyz，（1）求出平面AB1D的法向量，平面AB1B的法向量，设二面角B-AB1-D的大小为θ，利用空间向量的数量积求解即可 ‎（2）由（1）得平面的法向量为，取其单位法向量，‎ 用向量法能求出点C到平面AB1D的距离.‎ ‎【详解】建立空间直角坐标系，如图，‎ ‎（1）解：∵，，∴，，‎ 设是平面的法向量，则，且，‎ 故，.取，得；‎ 同理，可求得平面的法向量是 ‎ 设二面角的大小为，∵.‎ ‎（2）解由（1）得平面的法向量为，取其单位法向量，‎ 又，∴点到平面的距离.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）函数的递增区间为，递减区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入，先对函数求导，然后求f（1），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f′（1），从而求出切线方程． （2）先对函数求导，分两种情况讨论可得函数的单调区间.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ ‎，，所以曲线在点处的切线方程.‎ ‎（2），‎ ‎1）当时，解，得，解，得，‎ 所以函数的递增区间为，递减区间为在.‎ ‎2）时，令得或.‎ 当时，，在上，在上，‎ 函数的递增区间为，递减区间为.‎ ‎【点睛】本小题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．‎ ‎20.已知直线：与抛物线：交于、两点，为坐标原点，.‎ ‎（1）求直线和抛物线的方程；‎ - 18 -‎ ‎（2）抛物线上一动点从到运动时，求点到直线的最大值，并求此时点的坐标．‎ ‎【答案】（1）直线的方程为，抛物线的方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，可得根与系数的关系、再利用向量坐标运算即可得出； （2）设,利用点到直线的距离公式即可得出点P到直线AB的距离,进而求最值即可.‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎，‎ 所以，解得.‎ 所以直线的方程为，抛物线的方程为.‎ ‎（2）由得，，，，‎ 设，‎ 到直线的距离为，，‎ 因为，所以当时，，‎ 此时.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、向量的坐标运算、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.‎ 的分组 企业数 ‎2‎ ‎24‎ ‎53‎ ‎14‎ ‎7‎ ‎（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；‎ ‎（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）‎ 附：.‎ ‎【答案】(1) 增长率超过的企业比例为，产值负增长的企业比例为；（2）平均数；标准差.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以通过题意确定个企业中增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；‎ ‎(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．‎ ‎【详解】(1)由题意可知，随机调查的个企业中增长率超过的企业有个，‎ 产值负增长的企业有个，‎ 所以增长率超过的企业比例为，产值负增长的企业比例为．‎ ‎(2)由题意可知，平均值，‎ 标准差的平方：‎ - 18 -‎ ‎，‎ 所以标准差．‎ ‎【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题．‎ ‎22.如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于点，且 ‎（1）求椭圆标准方程；‎ ‎（2）已知点，问是否存在直线与椭圆交于不同的两点，，且的垂直平分线恰好过点？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直接依据定义求得椭圆的长轴长，又右焦点为，从而得到其标准方程；（2）本题需分与轴垂直和不垂直两种情况简单讨论，当不垂直时，可设的方程为，联立椭圆方程，转化为一元二次方程方程有两解问题求得斜率取值范围．‎ 试题解析：（1） 连接，在中，，，∴‎ ‎∴ 由椭圆定义可知即，又，从而，‎ - 18 -‎ ‎∴ 椭圆的标准方程为．‎ ‎（2） 由题意可知，若的垂直平分线恰好过点，则有，‎ 当与轴垂直时，不满足；当与轴不垂直时，‎ 设的方程为，由，消得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，①式 令，，的中点为，则 ‎∴，，‎ ‎∴， 又∵，‎ ‎∴即，化简得，‎ 结合①式得，即，解之得：，‎ 综上所述，存在满足条件的直线，且其斜率的取值范围为.‎ 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系 ‎ ‎ - 18 -‎ ‎ ‎ - 18 -‎