2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（理科） 17页

‎2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＜1} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2} D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}‎ ‎2．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（　　）‎ A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n ‎4．（5分）函数的对称轴为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（　　）‎ A．单调递增 B．单调递减 C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减 D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增 ‎6．（5分）设a=log510，b=log612，c=1+log72，则（　　）‎ A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c ‎7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1）‎ ‎8．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．3 D．0‎ ‎9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，且∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），则f（2017.5）=（　　）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣2，2]∪[4，+∞） C．[﹣2，2+] D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若，则=　 　．‎ ‎14．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x4﹣x，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是　 　．‎ ‎15．（5分）由y=x2﹣2和y=x围成的封闭图形面积为　 　．‎ ‎16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．‎ ‎（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；‎ ‎（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知f（x）=Asin（ωx+ϕ）（过点，且当时，函数f（x）取得最大值1．‎ ‎（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，求h（x）在上的值域．‎ ‎19．（12分）已知函数为奇函数．‎ ‎（1）判断f（x）的单调性并证明；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎20．（12分）已知f（x）=sinx，，，，‎ ‎．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2），求g（x）的值域．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；‎ ‎（3）证明：且n＞1）‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．‎ ‎（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＜1} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2} D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}‎ ‎【解答】解：集合A={x|x＜1}，‎ B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，‎ 则A∩B={x|﹣2＜x＜1}，‎ A∪B={x|x＜3}，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3，‎ ‎∴f′（x）=ex+4＞0，‎ ‎∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数，‎ ‎∵f（）=+1﹣3＜0，‎ f（）=+2﹣3=﹣1＞0，‎ ‎∴f（）•f（）＜0，‎ ‎∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（　　）‎ A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为∀n＞1，n2≤2n．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）函数的对称轴为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），‎ 令2x+=+kπ，解得x=+，k∈Z．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（　　）‎ A．单调递增 B．单调递减 C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减 D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增 ‎【解答】解：∵指数函数f（x）=ax在R上是减函数，‎ ‎∴0＜a＜1，‎ ‎∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，‎ 而函数y=x2在（﹣∞，0）上递减，在区间（0，+∞）上递增；‎ ‎∴g（x）在区间（﹣∞，0）上递增，在区间（0，+∞）上递减；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设a=log510，b=log612，c=1+log72，则（　　）‎ A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c ‎【解答】解：∵a=log510=1+log52，‎ b=log612=1+log62，‎ c=1+log72，‎ log52＞log62＞log72，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1）‎ ‎【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，‎ 解得：﹣3＜x＜1，‎ 而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，‎ 故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，‎ 由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，‎ 得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（　　）‎ A．20 B．18 C．3 D．0‎ ‎【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，‎ ‎∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），‎ ‎∵x∈[﹣3，2]，‎ ‎∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减 ‎∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19‎ ‎∴f（x）max﹣f（x）min=20，‎ ‎∴t≥20‎ ‎∴实数t的最小值是20，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；‎ 当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；‎ 当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，‎ 在正△AED中，AE=ED=DA=1，‎ ‎∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．‎ 又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．‎ 故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，且∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），则f（2017.5）=（　　）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎【解答】解：∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），‎ ‎∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），‎ 故f（2017.5）=f（1009×2﹣0.5）=f（0.5）=f（0.5）=（0.5）3=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，‎ 假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣2，2]∪[4，+∞） C．[﹣2，2+] D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）‎ ‎【解答】解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；‎ ‎⇒t≥3‎ 下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，‎ ‎⇒﹣2≤m≤1，‎ ‎⇒1＜m≤2+，‎ ‎⇒m无解，‎ ‎⇒m≥4，‎ 综上实数m的取值范围是[﹣2，2+]∪[4，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若，则=　　．‎ ‎【解答】解：，‎ 则：=，‎ ‎==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x4﹣x，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是　5x+y﹣3=0　．‎ ‎【解答】解：f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x4﹣x，‎ 可得x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=x4+x，‎ 又f（﹣x）=﹣f（x），‎ 可得f（x）=﹣x4﹣x，（x＞0），‎ 则f′（x）=﹣4x3﹣1（x＞0），‎ 可得y=f（x）在x=1处的切线斜率为﹣4﹣1=﹣5，‎ 切点为（1，﹣2），‎ 则y=f（x）在x=1处的切线方程为y+2=﹣5（x﹣1），‎ 即为5x+y﹣3=0．‎ 故答案为：5x+y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）由y=x2﹣2和y=x围成的封闭图形面积为　　．‎ ‎【解答】解：联立，解得：，或，则A（2，2），B（﹣1，﹣1），‎ S=（x﹣x2+2）dx=（x2﹣x3+2x）‎ ‎=（×4﹣×8+2×2）﹣（×1+﹣2）=，‎ ‎∴y=x2﹣2和y=x围成的封闭图形面积，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是　　．‎ ‎【解答】解：∵函数，‎ f（﹣x）===f（x），‎ 故函数为偶函数，‎ 当x＞0时，‎ ‎=＞0恒成立 函数为增函数，‎ 若使得f（x）＞f（2x﹣1）成立，‎ 则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，‎ 解得：x∈，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．‎ ‎（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；‎ ‎（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）p真，则或得；‎ q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，‎ ‎∴p∧q真，．‎ ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则，⇒a≤﹣2，‎ 若p真q真，则，⇒‎ 综上a≤﹣2或．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知f（x）=Asin（ωx+ϕ）（过点，且当时，函数f（x）取得最大值1．‎ ‎（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，求h（x）在上的值域．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得A=1，由函数过，得，结合范围，由，‎ ‎∵0＜ω＜4，‎ ‎∴可得：ω=2，可得：，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ 由于，‎ 可得：，‎ ‎∴h（x）在上的值域为[﹣1，2]．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数为奇函数．‎ ‎（1）判断f（x）的单调性并证明；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎【解答】解：（1）由已知f（﹣x）=﹣f（x），∴‎ ‎∴，a=﹣2，‎ ‎∵，∴为单调递增函数．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，而f（x）为奇函数，‎ ‎∴‎ ‎∵f（x）为单调递增函数，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴﹣3≤log2x≤1，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知f（x）=sinx，，，，．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2），求g（x）的值域．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴=．‎ ‎（2）‎ 令，‎ 则 ‎∴g（x）的值域为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；‎ ‎（3）证明：且n＞1）‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，‎ ‎∴x＞1，，‎ ‎∵x＞1，∴当k≤0时，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；‎ 当k＞0时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+∞）上为减函数．‎ ‎（2）∵f（x）≤0恒成立，‎ ‎∴∀x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1≤0，‎ ‎∴∀x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，‎ ‎∴k＞0．‎ 由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln≤0，‎ 解得k≥1．‎ 故实数k的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎（3）令k=1，则由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2对x∈（1，+∞）恒成立，‎ 即lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．‎ 取x=n2，则2lnn≤n2﹣1，‎ 即，n≥2，‎ ‎∴且n＞1）．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．‎ ‎（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，‎ 则f′（x）=﹣+1．‎ 令f'（x）=0，得x=0．‎ 当x＜0时，f'（x）＜0； 当x＞0时，f'（x）＞0．‎ ‎∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1f（x）的最小值为1．‎ ‎（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0（*）‎ 令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，则 ‎①若a≥﹣2，由（1）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故ex≥1+x ‎∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．‎ ‎∴（*）式成立．‎ ‎②若a＜﹣2，令，则 ‎∴函数ϕ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由于ϕ（0）=2+a＜0，．‎ 故∃x0∈（0，﹣a），使得ϕ（x0）=0，‎ 则当0＜x＜x0时，ϕ（x）＜ϕ（x0）=0，即g'（x）＜0．‎ ‎∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减，‎ ‎∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．‎ 综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．‎ ‎　‎