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- 2021-06-30 发布
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课时作业51 利用空间向量求空间角
1.(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
解:(1)∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,
AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.
由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以B为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
A(0,0,1),M(0,,),
则=(1,1,0),=(0,,),=(0,1,-1).
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
则即
取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ,
则sinθ=|cosn,|==,
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
2.(2014·天津卷)如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F—AB—P的余弦值.
解:
依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(1)证明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),故·=0.
所以,BE⊥DC.
(2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,
则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有
cosn,===.
所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),
=(1,0,0).
由点F在棱PC上,设=λ,0≤λ≤1.
故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).
由BF⊥AC,得·=0,
因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=.
即=.
设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则
即不妨令z=1,
可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.
取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则
cosn1,n2===-.
易知,二面角F—AB—P是锐角,所以其余弦值为.
3.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=,AD=1,M是线段AD的中点.
(1)试在平面ABCD内过M点作出与平面A1B1CD平行的直线l,说明理由,并证明:l⊥平面AA1D1D;
(2)若(1)中的直线l交直线AC于点N,且二面角A—A1N—M
的余弦值为,求AA1的长.
解:(1)在平面ABCD内过M点作直线l∥DC,
∵l⊄平面A1B1CD,DC⊂平面A1B1CD,
∴l∥平面A1B1CD.
在长方体ABCD—A1B1C1D1中,DC⊥AD,DC⊥DD1,
则l⊥AD,l⊥DD1.
又AD∩DD1=D,∴l⊥平面AA1D1D.
(2)由(1)知,l∥DC且M是线段AD的中点,
∴N是线段AC的中点.
设AA1=h,以A1为坐标原点,分别以A1B1,A1D1,A1A所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A1—xyz.则A1(0,0,0),A(0,0,h),N(,,h),M(0,,h).
∴=(0,0,h),=(,,h),=(0,,h),=(,0,0).
设平面A1AN的法向量n1=(x1,y1,z1),
则,∴,
取x1=1,∴n1=(1,-,0).
设平面A1MN的法向量n2=(x2,y2,z2),
则,∴,
取z2=1,∴n2=(0,-2h,1).
∵二面角A—A1N—M的余弦值为,
∴cos〈n1,n2〉=,即=,
∴=,
解得h=1,即AA1=1.
1.等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足==(如图1).将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使二面角A1—DE—B为直二面角,连接A1B、A1C(如图2).
(1)求证:A1D⊥平面BCED;
(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°?若存在,求出PB的长,若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:因为等边△ABC的边长为3,且==,所以AD=1,AE=2.在△ADE中,∠DAE=60°,
由余弦定理得DE==.因为AD2+DE2=AE2,所以AD⊥DE.
折叠后有A1D⊥DE,因为二面角A1—DE—B是直二面角,
所以平面A1DE⊥平面BCED,又平面A1DE∩平面BCED=DE,A1D⊂平面A1DE,A1D⊥DE,所以A1D⊥平面BCED.
(2)由(1)的证明,可知ED⊥DB,A1D⊥平面BCED,以D为坐标原点,以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D—xyz如右图,设PB=2a(0≤2a≤3),过P作PH∥DE,则BH=a,PH=a,DH=2-a,所以A1(0,0,1),P(2-a,a,0),E(0,,0),所以=(a-2,-a,1),因为ED⊥平面A1BD,所以平面A1BD的一个法向量为=(0,,0),
因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°,
所以sin60°===,
解得a=,即PB=2a=,满足0≤2a≤3,符合题意,所以在线段BC上存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°,此时PB=.
2.如下图,△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=90°,D,E分别为AB,AC上的点,DE∥BC,将△ADE沿DE折到△A′DE的位置,使平面A′DE⊥平面BCED.
(1)当D为AB的中点时,设平面A′BC与平面A′DE所成的二面角的平面角为α(0<α<),直线A′C与平面A′DE所成角为β,求tan(α+β)的值;
(2)当D点在AB边上运动时,求四棱锥A′—BCED体积的最大值.
解:
(1)DB,DE,DA′两两垂直,故以点D为原点.
DB,DE,DA′所在直线分别为x,y,z轴,建立直角坐标系(如图),则D(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),E(0,,0),A′(0,0,1)
=(1,0,-1),=(0,1,0),设平面A′BC的一个法向量为n=(x,y,z)
由得,故可取n=(1,0,1),又平面A′DE的一个法向量为=(1,0,0)
cosα=|cos〈n,〉|=|==,
∴tanα=1
由于平面A′DE的一个法向量为
=(1,0,0),CA′=(-1,-1,1)
所以sinβ=|cos〈CA′,〉|=|==
cosβ=,∴tanβ=
∴tan(α+β)==3+2
(2)设A′D=x,x∈(0,2),则DE=,BD=2-x,
设VA′—BCED=··x==v(x),x∈(0,2),
v′(x)=,令v′(x)=0,x=.
v(x)在(0,)递增,在(,2)递减,
∴[v(x)]max=v()=.
即所求最大体积为.