北京市延庆区2021届高三上学期统测考试数学试题 Word版含解析 20页

‎2020-2021学年第一学期高三年级统测试卷 数学 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回.‎ 第一部分（选择题，共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知集合A={x||x|<3}，B={x||x|>1}，则AB=（ ）‎ A. B. C. D. {–2，2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】依题意，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法.‎ ‎2. 已知向量若与方向相同，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题//，且与符号相同，运用坐标运算即可得到答案.‎ ‎【详解】因为与方向相同，则存在实数使，‎ 因为，所以，‎ 所以，解之得，因为，所以，‎ - 20 -‎ 所以.‎ 故答案选：D ‎【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.‎ ‎3. 圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.‎ ‎【详解】圆的圆心为，半径为，‎ 圆心到原点的距离为，‎ 所以圆上一点到原点的距离的最大值为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎4. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析函数定义域和单调性，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，的定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.‎ 对于B选项，，定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.‎ 对于C选项，的定义域为，在上递增，不符合题意.‎ - 20 -‎ 对于D选项，的定义域为，在上递减，符合题意.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.‎ ‎5. 若为第三象限角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用为第三象限角，求所在象限，再判断每个选项的正误.‎ ‎【详解】因为为第三象限角，所以，‎ 可得 ，‎ 所以是第第一，二象限角，‎ 所以，不确定，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.‎ ‎6. 设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得的横坐标，由此求得的纵坐标，从而求得的长.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程为，由于，‎ 根据抛物线的定义可知，‎ 将代入抛物线方程得，‎ - 20 -‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得出，作出函数与函数的图象，数形结合可求得不等式的解集.‎ ‎【详解】函数的定义域为，且，‎ 由可得，作出函数与函数的图象如下图所示：‎ 由于，则函数与函数图象的两个交点坐标为、，‎ 由图象可知，不等式的解集为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象求解函数不等式，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ - 20 -‎ ‎8. 已知直线，，平面，，，，，那么“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.‎ ‎【详解】若，则在平面内必定存在一条直线有，‎ 因为，所以，若，则，‎ 又，即可得，反之，若，‎ 由，，可得，又，则有.‎ 所以“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.‎ ‎9. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得点的坐标，然后根据三角函数的定义求得.‎ ‎【详解】将点绕原点逆时针旋转到点，‎ 根据三角函数的定义可知.‎ 故选：D - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎10. 某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）（ ）‎ A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算出若干年后产品的产量，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】年后，产品产量为万支；产品产量为万支.‎ 年后，产品产量为万支；产品产量为万支.‎ 年后，产品产量为万支；产品产量为万支.‎ 年后，产品产量为万支；产品产量为万支.‎ 所以经过年后产品的年产量会超过产品的年产量.‎ 故选：C - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数增长模型，属于基础题.‎ 第二部分（非选择题，共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11. 已知复数是负实数，则实数的值为___________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数写成标准式，再根据复数为负实数得到方程，解得即可；‎ ‎【详解】解：因为为负实数，所以解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的类型求参数的值，属于基础题.‎ ‎12. 已知正方形的边长为2，点P满足，则____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得点是中点，求出，再利用求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以点是中点，‎ 所以,‎ 所以,‎ - 20 -‎ 由题得.‎ 所以.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎13. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前项的和为___________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.‎ ‎【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ 数列是以1首项，以3为公差的等差数列，‎ 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，‎ 所以的前项和为，‎ 所以前4项和为，‎ 故答案为：40.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.‎ ‎14. 将函数y=的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，给出下列四个结论：‎ ‎①； ‎ ‎②在上单调递增；‎ - 20 -‎ ‎③在上有两个零点；‎ ‎④的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.‎ 其中所有正确结论的序号是____________________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得解析式，再利用正弦函数的单调性、对称轴、零点逐一判断每一个是否正确.‎ ‎【详解】，‎ 对于①：，故①正确；‎ 对于②：当时，，‎ 所以在上先单调递增后单调递减；故②不正确；‎ 对于③：令，即，则，‎ 解得：，当时，；当时，；‎ 所以在上有两个零点，故③正确；‎ 对于④：令，解得：，‎ 当当时，；所以的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.‎ 故④不正确；‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，考查了单调性、零点、对称轴，属于中档题.‎ ‎15. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为，则的焦距的最小值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程是，‎ 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限，‎ 联立，解得，即 联立，解得，即 ‎；‎ 面积为：；‎ 双曲线，‎ 其焦距为；‎ 当且仅当时，取等号；‎ 的焦距的最小值为；‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎16. A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：‎ - 20 -‎ A班 ‎12 ‎ ‎13‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎21‎ B班 ‎11 ‎ ‎11.5‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎15.5‎ ‎17.5‎ ‎20‎ C班 ‎11 ‎ ‎13.5‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎16.5‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎（Ⅰ）试估计B班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率;‎ ‎（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）63；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据分层抽样的知识估计班的学生人数.‎ ‎（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎（Ⅲ）先计算出选法总数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样 方法班的学生人数估计为人. ‎ ‎（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，‎ 设此人一周上网时长超过15小时为事件D，‎ 其中D包含的选法有3+3+4=10种，‎ ‎.由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的 概率为.‎ ‎（Ⅲ）从A班的6人中随机选2人，有种选法，从C班的7人中随机选1人，有种选法，‎ 故选法总数为：种 设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，‎ 则中包含以下情况：‎ ‎（1）从A班选出的2人超15小时，而C班选出的1人不超15小时，‎ - 20 -‎ ‎（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而C班选出的1人超15小时，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力.‎ ‎17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据平面，得到；根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可证；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，连接，连接，根据面面平行的判定定理，先证明平面平面，进而可证线面平行；‎ ‎（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、‎ - 20 -‎ 轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意，分别求出平面和平面的一个法向量，由向量夹角公式求出夹角余弦值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为平面，平面，所以；‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 即；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，连接，则，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面；‎ 连接，因为且， ‎ 所以是平行四边形， ‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面；‎ 又，且平面，平面，‎ 所以平面平面， ‎ 又平面，‎ 所以平面； ‎ ‎（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），‎ 可得、、、、.由（Ⅰ）可知，‎ 平面，即平面，‎ - 20 -‎ 所以是平面的一个法向量， ‎ 又，．‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，‎ 不妨设，可得． ‎ ‎， ‎ 因为二面角平面角是钝角， ‎ 所以，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查证明线线垂直，证明线面平行，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.‎ ‎18. 设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：‎ ‎（1）求的公比；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ 条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，.‎ - 20 -‎ 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎【答案】条件性选择见解析，（1）-2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选①，化简即得解；选② ，化简即得解；‎ ‎（2）利用分组求和解答即可得解.‎ ‎【详解】解：选① （1）因为为的等差中项，‎ 所以 ‎ 所以 ， ‎ 因为 ‎ 所以 所以，（舍） ‎ 选② （1）因为，所以，‎ ‎ 因为，所以，所以 ‎ ‎（2）由题得等比数列的首项，‎ 所以，‎ 设数列的前项和为，‎ 因为数列是以为首项，为公差的等差数列， ‎ 所以 , ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ - 20 -‎ 本题主要考查等比数列基本量和通项的求法，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°.‎ ‎（Ⅰ）若，，求面积；‎ ‎（Ⅱ）若，求角C.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求出的值，利用面积公式即可求面积；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，将中的用替换，再整理化简即可求角C.‎ ‎【详解】（Ⅰ）在中，因为，所以，所以， ‎ 由余弦定理可得， ‎ 所以的面积为； ‎ ‎（Ⅱ）在中，因为， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式，两角差的正弦公式、辅助角公式等，属于中档题.‎ ‎20. 已知椭圆C：过点，点B为其上顶点，且直线AB斜率为 - 20 -‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题中所给的条件，求得，从而得到椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，设出点，根据点在椭圆上，得到，分别写出直线的方程，求得M、N的坐标，表示出四边形的面积，求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意: 设直线：，‎ 令，则，于是，.‎ 所以，‎ 椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，且，‎ 又，所以直线，‎ 令，‎ 则，‎ 直线，令，‎ - 20 -‎ 则，‎ 所以四边形的面积为 ‎，‎ 所以四边形面积为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线的方程，直线与坐标轴的交点，四边形的面积，属于中档题目.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）有2个零点，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据切点和斜率求得切线方程.‎ ‎（Ⅱ）当，时，利用二阶导数，来求得的最大值.‎ ‎（Ⅲ）判断出在上的单调性，结合零点存在性定理判断出在上有个零点.根据的奇偶性判断出在区间上有个零点.由此判断出当，时，函数的零点个数.‎ - 20 -‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，函数，‎ ‎， ‎ 切线的斜率， ‎ 曲线在原点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ），‎ 令，‎ 则， ‎ 当，时，，所以在上单调递.‎ 所以，即，仅在处，其余各处，‎ 所以在上单调递增， ‎ 所以当时，的最大值为. ‎ ‎（Ⅲ），‎ 因为，当时，，仅在处，其余各处，‎ 所以在上单调递减， ‎ 因为， ‎ 所以存在唯一，使得，‎ 即在上有且只有一个零点， ‎ 因为，‎ 所以是偶函数，其图像关于轴对称，‎ 所以在上有且只有一个零点， ‎ 所以在上有2个零点.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程、最值，考查利用导数研究函数的零点.‎ - 20 -‎ - 20 -‎