2020年高中数学第二章推理与证明章末检测新人教A版选修1-2 9页

第二章 推理与证明 章末检测 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(　　)‎ ‎①y＝cos x(x∈R)是三角函数；‎ ‎②三角函数是周期函数；‎ ‎③y＝cos x(x∈R)是周期函数．‎ A．①②③　　　　　　 B．③②①‎ C．②③① D．②①③‎ 解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．‎ 答案：D ‎2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设是有理数 B．假设是有理数 C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数 解析：假设应为“＋不是无理数”，即“＋是有理数”．‎ 答案：D ‎3．下列推理过程属于演绎推理的为(　　)‎ A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2‎ C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点 D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列 解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．‎ 答案：D ‎4．求证：＋<2.‎ 证明：因为＋和2都是正数，‎ 所以为了证明＋<2，‎ 只需证明(＋)2<(2)2，‎ 展开得10＋2<20，即<5，‎ 9‎ 只需证明21<25.‎ 因为21<25成立，‎ 所以不等式＋<2成立．‎ 上述证明过程应用了(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．综合法、分析法配合使用 D．间接证法 解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．‎ 答案：B ‎5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是(　　)‎ 开始　　 　第1次　　第2次　 　第3次 A．编号1 B．编号2‎ C．编号3 D．编号4‎ 解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．‎ 答案：C ‎6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为(　　)‎ A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0‎ C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0‎ 解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.‎ 答案：A ‎7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是(　　)‎ 9‎ A．a，b至少有一个不为0‎ B．a，b至少有一个为0‎ C．a，b全不为0‎ D．a，b中只有一个为0‎ 解析：“a，b全为‎0”‎的反设应为“a，b不全为‎0”‎，即“a，b至少有一个不为‎0”‎．‎ 答案：A ‎8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)‎ A．6n－2 B．8n－2‎ C．6n＋2 D．8n＋2‎ 解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.‎ 答案：C ‎9．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C. D. 解析：在等比数列{an}中，q＝2≠1，‎ 设首项为a1≠0，则S4＝＝‎15a1，‎ 又a2＝a1q＝‎2a1，‎ 故＝＝.‎ 答案：C ‎10．下列不等式中一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ 9‎ 解析：A项中，因为x2＋≥x，‎ 所以lg≥lg x；‎ B项中sin x＋≥2只有在sin x>0时才成立；‎ C项中由不等式a2＋b2≥2ab可知成立；D项中因为x2＋1≥1，所以0<≤1.‎ 答案：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎11．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP，用反证法证明时的假设为________．‎ 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.‎ 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP ‎12. ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ……若 ＝6 (a，b均为实数)，猜想，a＝________，b＝________.‎ 解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.‎ 答案：6　35‎ ‎13．观察下列等式 ‎12＝1，‎ ‎12－22＝－3，‎ ‎12－22＋32＝6，‎ ‎12－22＋32－42＝－10，‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为____________．‎ 解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n＋1·，所以第n个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.‎ 9‎ 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1· ‎14. 已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．‎ 解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.‎ 答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1‎ ‎15．若定义在区间D上的函数f(x)对于 D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．‎ 解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，‎ 所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，‎ 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.‎ 因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.‎ 答案： 三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)‎ ‎16．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 9‎ 于是an＝n－1.‎ ‎(2)解：由(1)得Sn＝1－n.‎ 由S5＝得1－5＝，‎ 即5＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎17．(12分)已知函数f(x)＝(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式．‎ 解析：依题意得，f1(x)＝，‎ f2(x)＝＝＝，‎ f3(x)＝＝＝，…，由此归纳可得fn(x)＝(x＞0)．‎ ‎18．(12分)设函数f(x)＝lg |x|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)．‎ 证明：0＜ab＜1.‎ 证明：f(x)＝lg |x|‎ ‎＝ ‎∵0＜a＜b，f(a)＞f(b)．‎ ‎∴a、b不能同时在区间[1，＋∞)上，‎ 又由于0＜a＜b，故必有a∈(0,1)．‎ 若b∈(0,1)，显然有0＜ab＜1；‎ 若b∈(1，＋∞)，由f(a)－f(b)＞0，‎ 有－lg a－lg b＞0，‎ ‎∴lg(ab)＜0，∴0＜ab＜1.‎ ‎19．(12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．‎ 9‎ ‎(1)比较 与 的大小，并证明你的结论；‎ ‎(2)求证：角B不可能是钝角．‎ 解析：(1) < .证明如下：‎ 要证 < ，只需证<.‎ ‎∵a，b，c>0，∴只需证b2>0，‎ 这与cos B<0矛盾，故假设不成立．‎ 所以角B不可能是钝角．‎ 解法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b>a，b>c，所以>>0，>>0，则＋>＋＝，这与＋＝矛盾，故假设不成立．‎ 所以角B不可能是钝角．‎ ‎20．(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝αcos 2x＋(α－1)·(cos x＋1)，其中α>0，记|f(x)|的最大值为A.‎ ‎(1)求f′(x)；‎ ‎(2)求A；‎ ‎(3)证明|f′(x)|≤‎2A.‎ 解：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－(α－1)sin x.‎ ‎(2)解：当α≥1时，|f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f(0)．故A＝3α－2.‎ 当0<α<1时，将f(x)变形为 f(x)＝2αcos2x＋(α－1)cos x－1.‎ 令g(t)＝2αt2＋(α－1)t－1，‎ 则A是|g(t)|在[－1,1]上的最大值，‎ 9‎ g(－1)＝α，g(1)＝3α－2，‎ 且当t＝时，g(t)取得极小值，‎ 极小值为g＝－－1＝－.‎ 令－1<<1，解得α>.‎ ‎①当0<α≤时，g(t)在(－1,1)内无极值点，‎ ‎|g(－1)|＝α，|g(1)|＝2－3α，|g(－1)|<|g(1)|，‎ 所以A＝2－3α.‎ ‎②当<α<1时，由g(－1)－g(1)＝2(1－α)>0，‎ 知g(－1)>g(1)>g.‎ 又－|g(－1)|＝>0.‎ 所以A＝＝.‎ 综上，A＝ ‎(3)证明：由(1)得|f′(x)|＝|－2αsin 2x－(α－1)sin x|≤2α＋|α－1|.‎ 当0<α≤时，|f′(x)|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝‎2A.‎ 当<α<1时，A＝＋＋≥1，‎ 所以|f′(x)|≤1＋α<‎2A.‎ 当α≥1时，|f′(x)|≤3α－1≤6α－4＝‎2A.‎ 所以|f′(x)|≤‎2A.‎ ‎21．(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎(1)证明：a2＝；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ 解析：(1)证明：当n＝1时，‎4a1＝a－5，a＝‎4a1＋5，‎ 又an>0，∴a2＝.‎ ‎(2)当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，‎ ‎∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，‎ 9‎ 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，‎ 又an>0，∴an＋1＝an＋2，‎ ‎∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．‎ 又a2，a5，a14成等比数列．‎ ‎∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.‎ 由(1)知a1＝1.又a2－a1＝3－1＝2，‎ ‎∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．‎ ‎∴an＝2n－1.‎ ‎(3)证明：＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝‎ ‎＝<.‎ 9‎