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  • 2021-06-30 发布

2020年高中数学第二章推理与证明章末检测新人教A版选修1-2

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第二章 推理与证明 章末检测 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(  )‎ ‎①y=cos x(x∈R)是三角函数;‎ ‎②三角函数是周期函数;‎ ‎③y=cos x(x∈R)是周期函数.‎ A.①②③       B.③②①‎ C.②③① D.②①③‎ 解析:显然②是大前提,①是小前提,③是结论.‎ 答案:D ‎2.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是(  )‎ A.假设是有理数 B.假设是有理数 C.假设或是有理数 D.假设+是有理数 解析:假设应为“+不是无理数”,即“+是有理数”.‎ 答案:D ‎3.下列推理过程属于演绎推理的为(  )‎ A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验 B.由1=12,1+3=22,1+3+5=32……得出1+3+5+…+(2n-1)=n2‎ C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点 D.通项公式形如an=cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列,则数列{-2n}为等比数列 解析:A是类比推理,B是归纳推理,C是类比推理,D为演绎推理.‎ 答案:D ‎4.求证:+<2.‎ 证明:因为+和2都是正数,‎ 所以为了证明+<2,‎ 只需证明(+)2<(2)2,‎ 展开得10+2<20,即<5,‎ 9‎ 只需证明21<25.‎ 因为21<25成立,‎ 所以不等式+<2成立.‎ 上述证明过程应用了(  )‎ A.综合法 B.分析法 C.综合法、分析法配合使用 D.间接证法 解析:结合证明特征可知,上述证明过程用了分析法,其属于直接证明法.‎ 答案:B ‎5.四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上,第1次前后排动物互换位置,第2次左右列互换座位,…,这样交替进行下去,那么第2 014次互换座位后,小兔的位置对应的是(  )‎ 开始    第1次  第2次   第3次 A.编号1 B.编号2‎ C.编号3 D.编号4‎ 解析:由题意得第4次互换座位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同,故小兔坐在第3号座位上.‎ 答案:C ‎6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3),且法向量为m=(-1,-2,1)的平面的方程为(  )‎ A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0‎ C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0‎ 解析:所求的平面方程为-1×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0.化简得x+2y-z-2=0.‎ 答案:A ‎7.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b∈R)”,其反设正确的是(  )‎ 9‎ A.a,b至少有一个不为0‎ B.a,b至少有一个为0‎ C.a,b全不为0‎ D.a,b中只有一个为0‎ 解析:“a,b全为‎0”‎的反设应为“a,b不全为‎0”‎,即“a,b至少有一个不为‎0”‎.‎ 答案:A ‎8.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:‎ 按照上面的规律,第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(  )‎ A.6n-2 B.8n-2‎ C.6n+2 D.8n+2‎ 解析:归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列,通项公式为an=6n+2.‎ 答案:C ‎9.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=(  )‎ A.2 B.4‎ C. D. 解析:在等比数列{an}中,q=2≠1,‎ 设首项为a1≠0,则S4==‎15a1,‎ 又a2=a1q=‎2a1,‎ 故==.‎ 答案:C ‎10.下列不等式中一定成立的是(  )‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ 9‎ 解析:A项中,因为x2+≥x,‎ 所以lg≥lg x;‎ B项中sin x+≥2只有在sin x>0时才成立;‎ C项中由不等式a2+b2≥2ab可知成立;D项中因为x2+1≥1,所以0<≤1.‎ 答案:C 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中的横线上)‎ ‎11.△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP,用反证法证明时的假设为________.‎ 解析:反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.‎ 答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP ‎12. =2 , =3 , =4 ……若 =6 (a,b均为实数),猜想,a=________,b=________.‎ 解析:由前面三个等式,推测归纳被平方数的整数与分数的关系,发现规律,由三个等式知,整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,由此推测 中:a=6,b=62-1=35,即a=6,b=35.‎ 答案:6 35‎ ‎13.观察下列等式 ‎12=1,‎ ‎12-22=-3,‎ ‎12-22+32=6,‎ ‎12-22+32-42=-10,‎ ‎……‎ 照此规律,第n个等式可为____________.‎ 解析:观察等号左边可知,左边的项数依次加1,故第n个等式左边有n项,每项所含的底数也增加1,依次为1,2,3,…,n,指数都是2,符号正负交替出现,可以用(-1)n+1表示;等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可以表示为(-1)n+1·,所以第n个式子可为:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.‎ 9‎ 答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1· ‎14. 已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.类比上述性质,可以得到椭圆+=1类似的性质为________.‎ 解析:圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆+=1类似的性质为:过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.‎ 答案:经过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1‎ ‎15.若定义在区间D上的函数f(x)对于 D上的n个值x1,x2,…,xn,总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f,称函数f(x)为D上的凸函数;现已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数,则△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是________.‎ 解析:因为f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数(小前提),‎ 所以(sin A+sin B+sin C)≤sin(结论),‎ 即sin A+sin B+sin C≤3sin=.‎ 因此,sin A+sin B+sin C的最大值是.‎ 答案: 三、解答题(本大题共有6小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)‎ ‎16.(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ ‎(1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,‎ 故λ≠1,a1=,故a1≠0.‎ 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.‎ 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.‎ 因此{an}是首项为,公比为的等比数列,‎ 9‎ 于是an=n-1.‎ ‎(2)解:由(1)得Sn=1-n.‎ 由S5=得1-5=,‎ 即5=.‎ 解得λ=-1.‎ ‎17.(12分)已知函数f(x)=(x>0).如下定义一列函数:f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),…,n∈N*,那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式.‎ 解析:依题意得,f1(x)=,‎ f2(x)===,‎ f3(x)===,…,由此归纳可得fn(x)=(x>0).‎ ‎18.(12分)设函数f(x)=lg |x|,若0<a<b,且f(a)>f(b).‎ 证明:0<ab<1.‎ 证明:f(x)=lg |x|‎ ‎= ‎∵0<a<b,f(a)>f(b).‎ ‎∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上,‎ 又由于0<a<b,故必有a∈(0,1).‎ 若b∈(0,1),显然有0<ab<1;‎ 若b∈(1,+∞),由f(a)-f(b)>0,‎ 有-lg a-lg b>0,‎ ‎∴lg(ab)<0,∴0<ab<1.‎ ‎19.(12分)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且其中任意两边长均不相等,若,,成等差数列.‎ 9‎ ‎(1)比较 与 的大小,并证明你的结论;‎ ‎(2)求证:角B不可能是钝角.‎ 解析:(1) < .证明如下:‎ 要证 < ,只需证<.‎ ‎∵a,b,c>0,∴只需证b2>0,‎ 这与cos B<0矛盾,故假设不成立.‎ 所以角B不可能是钝角.‎ 解法二:假设角B是钝角,则角B的对边b为最大边,即b>a,b>c,所以>>0,>>0,则+>+=,这与+=矛盾,故假设不成立.‎ 所以角B不可能是钝角.‎ ‎20.(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.‎ ‎(1)求f′(x);‎ ‎(2)求A;‎ ‎(3)证明|f′(x)|≤‎2A.‎ 解:(1)f′(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.‎ ‎(2)解:当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).故A=3α-2.‎ 当0<α<1时,将f(x)变形为 f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.‎ 令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,‎ 则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,‎ 9‎ g(-1)=α,g(1)=3α-2,‎ 且当t=时,g(t)取得极小值,‎ 极小值为g=--1=-.‎ 令-1<<1,解得α>.‎ ‎①当0<α≤时,g(t)在(-1,1)内无极值点,‎ ‎|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,‎ 所以A=2-3α.‎ ‎②当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,‎ 知g(-1)>g(1)>g.‎ 又-|g(-1)|=>0.‎ 所以A==.‎ 综上,A= ‎(3)证明:由(1)得|f′(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.‎ 当0<α≤时,|f′(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=‎2A.‎ 当<α<1时,A=++≥1,‎ 所以|f′(x)|≤1+α<‎2A.‎ 当α≥1时,|f′(x)|≤3α-1≤6α-4=‎2A.‎ 所以|f′(x)|≤‎2A.‎ ‎21.(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=a-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.‎ ‎(1)证明:a2=;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.‎ 解析:(1)证明:当n=1时,‎4a1=a-5,a=‎4a1+5,‎ 又an>0,∴a2=.‎ ‎(2)当n≥2时,4Sn-1=a-4(n-1)-1,‎ ‎∴4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4,‎ 9‎ 即a=a+4an+4=(an+2)2,‎ 又an>0,∴an+1=an+2,‎ ‎∴当n≥2时,{an}是公差为2的等差数列.‎ 又a2,a5,a14成等比数列.‎ ‎∴a=a2·a14,即(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3.‎ 由(1)知a1=1.又a2-a1=3-1=2,‎ ‎∴数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.‎ ‎∴an=2n-1.‎ ‎(3)证明:++…+=+++…+=‎ ‎=<.‎ 9‎