高考数学真题专题归纳专题04立体几何含解析理 36页

专题04 立体几何 ‎【2020年】‎ ‎1.（2020·新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，设，则，‎ 由题意，即，化简得，‎ 解得（负值舍去）.‎ ‎2.（2020·新课标Ⅰ）已知A、B、C为球O球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球O的表面积为（ ）‎ 36‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆半径为r，球的半径为R，依题意，‎ 得，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎，根据圆截面性质平面ABC，‎ ‎，‎ 球O的表面积.‎ ‎3.（2020·新课标Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）‎ A. E B. F C. G D. H ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，‎ 36‎ 图中标出了根据三视图M点所在位置，‎ 可知在侧视图中所对应的点为E。‎ ‎4.（2020·新课标Ⅲ）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形 根据立体图形可得：‎ 根据勾股定理可得：‎ 是边长为的等边三角形 36‎ 根据三角形面积公式可得：‎ 该几何体的表面积是：.‎ ‎5.（2020·北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．‎ ‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，‎ 则其表面积为：.‎ ‎6.（2020·山东卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）‎ A. 20° B. 40°‎ 36‎ C. 50° D. 90°‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，‎ 根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..‎ 由于，所以，‎ 由于，‎ 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.‎ ‎7.（2020·天津卷）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，‎ 即，‎ 所以，这个球的表面积为.‎ ‎8.（2020·浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）‎ 36‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，‎ 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，‎ 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，‎ 所以几何体的体积为：‎ ‎.‎ ‎9.（2020·山东卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图：‎ 36‎ 取的中点为，的中点为，的中点为，‎ 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，‎ 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，‎ 因为，所以侧面，‎ 设为侧面与球面的交线上的点，则，‎ 因为球的半径为，，所以，‎ 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，‎ 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，‎ 因为，所以，‎ 所以根据弧长公式可得.‎ ‎10.（2020·浙江卷）已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ‎，解得.‎ 36‎ ‎11.（2020·江苏卷）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 ‎12.（2020·新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，‎ 其中，且点M为BC边上的中点，‎ 设内切圆的圆心为O，‎ 由于，故，‎ 设内切圆半径为，则：‎ 36‎ ‎，‎ 解得：，其体积：.‎ ‎【2019年】‎ ‎1．【2019·全国Ⅰ卷】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即，故选D．‎ 解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，‎ 又，，‎ 36‎ 中，由余弦定理可得，‎ 作于，，为的中点，，，‎ ‎，，‎ 又，两两垂直，，，，故选D.‎ ‎2．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)‎ A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 ‎ C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 ‎【答案】B ‎【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．‎ ‎3．【2019·全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)‎ 36‎ A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线 ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.‎ 过作于，连接，‎ 平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B．‎ ‎4．【2019·浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是(　　)‎ 36‎ A．158 B．162 ‎ C．182 D．324‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.‎ 故选B.‎ ‎5．【2019·浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则(　　)‎ A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ ‎ C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，为中点，连接VG，在底面的投影为，则在底面的投影在线段上，过作垂直于于E，连接PE，BD，易得，过作交于，连接BF，过作，交于，则，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得，即；‎ 在Rt△PED中，，即，综上所述，答案为B.‎ 36‎ ‎6．【2019·全国Ⅲ卷】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.‎ ‎【答案】118.8‎ ‎【解析】由题意得，，‎ ‎∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．‎ 又长方体的体积为，‎ 所以该模型体积为，‎ 其质量为．‎ ‎7．【2019·北京卷】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．‎ 36‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体，‎ 则几何体的体积.‎ ‎8．【2019·北京卷】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．‎ ‎【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.‎ ‎【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：‎ ‎（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；‎ ‎（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；‎ 36‎ ‎（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.‎ 故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.‎ ‎9．【2019·天津卷】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.‎ ‎10．【2019·江苏卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是 ▲ .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为长方体的体积为120，所以，‎ 因为为的中点，所以，‎ 由长方体的性质知底面，‎ 所以是三棱锥的底面上的高，‎ 所以三棱锥的体积.‎ ‎ 【2018年】‎ 36‎ ‎1．【2018·全国Ⅰ卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A． B． ‎ C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B．‎ ‎2．【2018·全国Ⅰ卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，‎ 所以在正方体中，‎ 平面与线所成的角是相等的，‎ 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，‎ 同理，平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，‎ 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与 36‎ 中间，且过棱的中点的正六边形，且边长为，‎ 所以其面积为，故选A.‎ ‎3．【2018·全国Ⅲ卷】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A．‎ ‎4．【2018·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】C 36‎ ‎【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为 故选C.‎ ‎5．【2018·全国Ⅲ卷】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，‎ 当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，‎ ‎，,点M为三角形ABC的重心，，‎ 中，有，，‎ ‎，故选B.‎ ‎6．【2018·全国Ⅱ卷】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B．‎ C． D．‎ 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则，连接，易求得，，则是异面直线与所成的角，‎ 由余弦定理可得.‎ 故选C.‎ 方法二：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，‎ 则,所以,‎ 因为，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为，故选C.‎ ‎7．【2018·浙江卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则 A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1‎ C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1‎ ‎【答案】D ‎【解析】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，SE，SM，OM，OE，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于 36‎ AB， ‎ 因此 从而 因为，所以即，‎ 故选D.‎ ‎8．【2018·江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为.‎ ‎9．【2018·全国II卷】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，‎ 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为 因此圆锥的侧面积为 ‎【2017年】‎ 36‎ ‎1．【2017·全国Ⅱ卷】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，补成直四棱柱，‎ 则所求角为，‎ 易得，因此，故选C．‎ ‎2．【2017·全国Ⅰ卷】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12‎ C．14 D．16‎ ‎【答案】B 36‎ ‎【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B．‎ ‎3．【2017·北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A．3 B．2‎ C．2 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体是四棱锥，如图.‎ 最长的棱长为补成的正方体的体对角线，‎ 即该四棱锥的最长棱的长度为，‎ 故选B．‎ 36‎ ‎4．【2017·全国Ⅱ卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．‎ 故选B．‎ ‎5．【2017·全国Ⅲ卷】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：‎ 36‎ 由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，‎ 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.‎ ‎6．【2017·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，故选A．‎ ‎7．【2017·浙江卷】如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为，则 36‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而三棱锥的高相等，因此，所以选B．‎ ‎8．【2017·全国I卷】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则.‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 三棱锥的体积.‎ 设，x>0，则，‎ 令，即，得，易知在处取得最大值.‎ ‎∴.‎ 36‎ ‎9．【2017·山东卷】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以 ‎.‎ ‎10．【2017·天津卷】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的体积．‎ 36‎ ‎11．【2017·江苏卷】如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球半径为，则．故答案为．‎ ‎12．【2017·全国Ⅲ卷】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】设.由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，，连接AD，等腰中，,当直线AB与a成60°角时，，故，又在中，，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知,为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.‎ 由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线与 36‎ 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.‎ ‎【2016年】‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ 36‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.‎ ‎3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）‎ A. ‎ B. C.D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.‎ 36‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积 ‎，故选B．‎ ‎5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ 36‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.‎ ‎6.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，．故选C．‎ ‎7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .‎ 36‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为，2,2，所以，该三棱锥的体积为.‎ ‎8.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为 ‎9.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ 36‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.‎ ‎10.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中，因为，所以.‎ 由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.‎ 在中，，.‎ 由余弦定理可得，所以.‎ 由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥‎ 36‎ 平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.‎ 过作直线的垂线，垂足为.设，则，‎ 即，解得.‎ 而的面积.‎ 当平面PBD⊥平面BDC时：‎ 四面体的体积.‎ 观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为 ‎ ‎11.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.过作，交的延长线于点E,连接，则为.连接，过B1作 36‎ ‎，交的延长线于点，则为.连接BD，则，则所成的角即为所成的角，为，故所成角的正弦值为，选A.‎ ‎12.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4π （B） （C）6π （D） ‎ ‎【答案】B ‎【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．‎ ‎13.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，‎ 36‎ 因此所求四棱锥的体积．故答案为2．‎ 36‎