2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲空间角的计算课件 48页

第 7 讲 空间角的计算 课标要求 考情风向标 1. 能用向量方法证明 有关线、面位置关系的 一些定理 ( 包括三垂线 定理 ). 2. 能用向量方法解决 线线 、线面、面面的夹 角的计算问题，体会向 量方法在研究几何问 题中的作用 在近年高考中，立体几何常常以锥体或 柱体为载体，命题呈现一题两法的新格 局 . 一直以来立体几何解答题都是让广 大考生又喜又忧 . 为之而喜是只要能建 立直角坐标系，基本上可以处 理立体几 何绝大多数的问题；为之而忧就是对于 不规则的图形来讲建系的难度较大，问 题不能得到很好的解决 . 比较容易建系 的就用空间向量 ( 有三线两两垂直或面 面垂直的 ) ，否则还是利用传统的推理与 证明 1. 异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a ′ 与 b ′. 那么直线 a ′ 与 b ′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所 成的角 ( 或夹角 ) ，其范围是 __ ___ _______. (0° ， 90°] 2. 直线与平面所成的角 (1) 如果直线与平面平行或者在 平面内，则直线与平面所成 的角等于 0°. 90° (2) 如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于 ____. (3) 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角，其范围是 (0° ， 90°). 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最小的角 . 3. 二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角 . 从 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 . 平面角是 直角的二面角叫做 ___________. 直二面角 4. 点到平面的距离 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距 离 . 求点到平面的距离通常运用等体积法，即构造一个三棱锥， 将点到平面的距离转化 为三棱锥的高 . 5. 直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做 这条直线与平面的距离 . 1. 若 a ＝ (1 ， 2 ， 3) 是平面 γ 的一个法向量， 则下列向量中能 ) B 作为平面 γ 的法向量的是 ( A.(0 ， 1 ， 2) C.( － 1 ，－ 2 ， 3) B.(3 ， 6 ， 9) D.(3 ， 6 ， 8) 解析： 向量 (1 ， 2 ， 3) 与向量 (3 ， 6 ， 9) 共线 . C 3. 已知平面 α 上的两个向量 a ＝ (2 ， 3 ， 1) ， b ＝ (5 ， 6 ， 4) ， ) 则平面 α 的一个法向量为 ( A.(1 ，－ 1,1) C.( － 2,1,1) B.(2 ，－ 1,1) D.( － 1,1 ，－ 1) C 4. 如图 8-7-1 ，在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ BC ＝ 2 ， AA 1 ＝ 1 ，则 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成角的正弦值为 __ ___ __. 图 8-7-1 考点 1 线面所 成角的计算 例 1 ： (1) (2018 年浙江 ) 如图 8-7-2 ，已知多面体 ABC - A 1 B 1 C 1 ， A 1 A ， B 1 B ， C 1 C 均垂直于平面 ABC ，∠ ABC ＝ 120° ， A 1 A ＝ 4 ， C 1 C ＝ 1 ， AB ＝ BC ＝ B 1 B ＝ 2. ① 证明： AB 1 ⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 ； ② 求直线 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角的正弦值 . 图 8-7-2 ② 解： 如图 D93 ，过点 C 1 作 C 1 D ⊥ A 1 B 1 ，交直线 A 1 B 1 于点 D ，连接 AD . 图 D93 方法二，① 证明： 如图 D9 4 ，以 AC 的中点 O 为原点，分 别以射线 OB ， OC 为 x ， y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O - xyz . 图 D94 (2)(2018 年天津 ) 如图 8-7-3 ，在四面体 ABCD 中，△ ABC 是等边三角形，平面 ABC ⊥ 平面 ABD ，点 M 为棱 AB 的中点， ① 求证： AD ⊥ BC ； ② 求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； ③ 求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 . 图 8-7-3 ① 证明： 由平面 ABC ⊥ 平面 ABD ，平面 ABC ∩ 平面 ABD ＝ AB ， AD ⊥ AB ，可得 AD ⊥ 平面 ABC ，故 AD ⊥ BC . ② 解： 如图 D95 ，取棱 AC 的中点 N ，连接 MN ， ND . 图 D95 ∵ M 为棱 AB 的中点，∴ MN ∥ BC . ∴∠ DMN ( 或其补角 ) 为异面直线 BC 与 MD 所成的角 . 【 规律方法 】 求直线与平面所成的角，大致有两种基本方 法： ① 传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线 与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小 . 找射影 的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得 到直线在平面内的射影；有时也可通过 找到经过斜线且垂直于 已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面 的交线即为射影 . ② 空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后 利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角 . 考点 2 面面所成角的计算 例 2 ： (1)( 2019 年新课标 Ⅰ ) 如 图 8-7-4 ， 直 四 棱 柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是菱形， AA 1 ＝ 4 ， AB ＝ 2 ，∠ BAD ＝ 60° ， E ， M ， N 分别是 BC ， BB 1 ， A 1 D 的中点 . ① 证明： MN ∥ 平面 C 1 DE ； ② 求二面角 A - MA 1 - N 的正弦值 . 图 8-7-4 图 D96 (2)(2019 年新课标 Ⅱ ) 如图 8-7-5 ，长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 1 上， BE ⊥ EC 1 . ① 证明： BE ⊥ 平面 EB 1 C 1 ； ② 若 AE ＝ A 1 E ，求二面角 B - EC - C 1 的正弦值 . 图 8-7-5 ① 证明： 由已知，得 B 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， BE ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ， 故 B 1 C 1 ⊥ BE . 又 BE ⊥ EC 1 ， B 1 C 1 ∩ EC 1 ＝ C 1 ， ∴ BE ⊥ 平面 EB 1 C 1 . ② 解： 由 (1) 知∠ BEB 1 ＝ 90°. 由题设知 Rt△ ABE ≌ Rt A 1 B 1 E ，∴∠ AEB ＝ 45° ， 故 AE ＝ AB ， AA 1 ＝ 2 AB . 建立如图 D97 所示的空间直角坐标系 D - xyz ， 图 D97 【 规律方法 】 求二面角，大致有两种基本方法： (1) 传统立体几何的综合推理法： ① 定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法 . (2) 空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别 求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角 的大小 . 难点突破 ⊙ 利用空间向量求空间角 例题： (2018 年北京 ) 如图 8-7-6 ，在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中， CC 1 ⊥ 平面 ABC ， D ， E ， F ， G 分别为 AA 1 ， AC ， A 1 C 1 ， BB 1 图 8-7-6 (1) 求证： AC ⊥ 平面 BEF ； (2) 求二面角 B - CD - C 1 的余弦值； (3) 证明：直线 FG 与平面 BCD 相交 . (1) 证明： 在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中， ∵ CC 1 ⊥ 平面 ABC ，∴四边形 A 1 ACC 1 为矩形 . 又 E ， F 分别为 AC ， A 1 C 1 的中点，∴ AC ⊥ EF . ∵ AB ＝ BC ，∴ AC ⊥ BE ， ∴ AC ⊥ 平面 BEF . (2) 解： 由 (1 ) 知 AC ⊥ EF ， AC ⊥ BE ， EF ∥ CC 1 . 又 CC 1 ⊥ 平面 ABC ，∴ EF ⊥ 平面 ABC . ∵ BE ⊂ 平面 ABC ，∴ EF ⊥ BE . 如图 8-7-7 建立空间直角坐标系 E - xyz . 图 8-7-7 (3) 证明： 平面 BCD 的法向量为 n ＝ (2 ，－ 1 ，－ 4) ， ∵ G (0,2,1) ， F (0,0,2) ， ∴ GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内， ∴ GF 与平面 BCD 相交 . 【 跟踪训练 】 如图 8-7-8 ，已知多面体 P - ABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PA ⊥ 底面 ABCD ， ED ∥ PA ，且 PA ＝ 2 ED ＝ 2. (1) 证明：平面 PAC ⊥ 平面 PCE ； (2) 若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45° ，求二面角 P - CE - D 的余弦值 . 图 8-7-8 (1) 证明： 如图 D98 ，连接 BD ，交 AC 于点 O ，设 PC 中点 为 F ，连接 OF ， EF . 图 D98 ∵ O ， F 分别为 AC ， PC 的中点， ∴ OF ∥ DE ，且 OF ＝ DE . ∴ 四边形 OFED 为平行四边 形， ∴ OD ∥ EF ，即 BD ∥ EF . ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ BD . ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ BD ⊥ AC . ∵ PA ∩ AC ＝ A ，∴ BD ⊥ 平面 PAC . ∵ BD ∥ EF ，∴ EF ⊥ 平面 PAC . ∵ EF ⊂ 平面 PCE ，∴平面 PAC ⊥ 平面 PCE . (2) 解法一： ∵直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45° ， ∴∠ PCA ＝ 45° ，∴ AC ＝ PA ＝ 2 ， ∴ AC ＝ ，∴ AB ABC 为等边三角形 . 设 BC 的中点为 M ，连接 AM ，则 AM ⊥ BC . 以 A 为原点，直线 AM ， AD ， AP 分别为 x ， y ， z 轴，建立 空间直角坐标系 A - xyz ( 如图 D99). 图 D99 解法二： ∵直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45° ， 且 PA ⊥ 平面 ABCD ，∴∠ PCA ＝ 45° ，∴ AC ＝ PA ＝ 2. ∵ AB ＝ BC ＝ ，∴ 2 ABC 为等边三角形 . ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ，由 (1) 知 PA ∥ OF ， ∴ OF ⊥ 平面 ABCD . ∵ OB ⊂ 平面 ABCD ， OC ⊂ 平面 ABCD ， ∴ OF ⊥ OB 且 OF ⊥ OC . 在菱形 ABCD 中， OB ⊥ OC . 以点 O 为原点，直线 OB ， OC ， OF 分别为 x ， y ， z 轴，建 立空间直角坐标系 O - xyz ( 如图 D100). 图 D100 1. 异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的 方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否 则向量夹角的补角是异面直线所成的角 . 2. 二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的 大小时，当求出两半平面 α ， β 的法向量 n 1 ， n 2 时，要根据向量 坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n 1 ， n 2 的夹角是相等，还是互补 .