2021届高考数学一轮总复习课时作业63古典概型含解析苏教版 11页

课时作业63　古典概型 一、选择题 ‎1．某地铁站有A，B，C三个检票口，甲、乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为(　C　)‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：他们选择检票口的所有情况有n＝3×3＝9(种)，他们选择同一检票口检票的情况有m＝3(种)，∴他们选择同一检票口检票的概率P＝＝＝.故选C.‎ ‎2．已知x，y∈{1,2,3,4,5,6}，且x＋y＝7，则y≥的概率为(　B　)‎ A. B. C. D. 解析：(x，y)的所有可能情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，满足y≥的有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，故所求概率为＝，故选B.‎ ‎3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　C　)‎ A. B. C. D. 解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．‎ ‎∵正确的开机密码只有1种，∴所求概率P＝.‎ ‎4．(2020·榆林质检)从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(　A　)‎ A. B. C. D. 解析：从1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12种结果，其中大于30的两位数有31,32,34,41,42,43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P＝＝.‎ ‎5．(2020·济南市模拟)2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为(　B　)‎ 11‎ A. B. C. D. 解析：从四人中随机选两人的所有情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，(小张、小刘)，(小张、小李)，(小刘、小李)，共6种，其中小王被选中的情况有(小王、小张)，(小王、小刘)，(小王、小李)，共3种，故小王被选中的概率P＝.故选B.‎ ‎6．(2020·贵州省适应性考试)甲、乙、丙三人在贵阳参加2018中国国际大数据产业博览会期间，计划选择到贵州的黄果树瀑布、梵净山两个景点旅游．由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙都到黄果树瀑布旅游的概率为(　D　)‎ A. B. C. D. 解析：用“黄”代表黄果树瀑布，“梵”代表梵净山，则甲、乙、丙三人选择旅游景点的选法有(黄，黄，黄)，(黄，黄，梵)，(黄，梵，黄)，(黄，梵，梵)，(梵，黄，黄)，(梵，黄，梵)，(梵，梵，黄)，(梵，梵，梵)，共8种，其中甲、乙都到黄果树瀑布旅游的选法有(黄，黄，黄)，(黄，黄，梵)，共2种，所以甲、乙都到黄果树瀑布旅游的概率P＝＝，故选D.‎ ‎7．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　D　)‎ A. B. C. D. 解析：将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝.故选D.‎ ‎8．(2020·郑州市质量预测)魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝2x，f2(x)＝2x，f3(x)＝x2，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝.现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是(　A　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f1(x)，f4(x)，f6(x)，共3个；偶函数有f3(x)，f5(x)，共2个；非奇非偶函数为f2(x)．则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f1(x)·f3(x)，f1(x)·f5(x)，f4(x)·f3(x)，f4(x)·f5(x)，f6(x)·f3(x)，f6(x)·f5(x)，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P＝＝.故选A.‎ 二、填空题 ‎9．从四棱锥PABCD的五个顶点中任取两个点，则这两个点均取自侧面PAB的概率是 11‎ .‎ 解析：从四棱锥PABCD的五个顶点中任取两个点，有(P，A)，(P，B)，(P，C)，(P，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种取法，其中两个点均取自侧面PAB的有(P，A)，(P，B)，(A，B)，共3种取法，所以所求概率为.‎ ‎10．(2020·武昌区统考)甲盒中有红、黑皮笔记本各2本，乙盒中有黄、黑皮笔记本各1本，从两盒中各取1本，则取出的2本笔记本是不同颜色的概率为.‎ 解析：解法1：依题意，从甲盒、乙盒中各取1本笔记本共有4×2＝8(种)取法，取出的2本笔记本是不同颜色的方法有2×2＋2×1＝6(种)，所以取出的2本笔记本是不同颜色的概率P＝＝.‎ 解法2：依题意，从甲盒、乙盒中各取1本笔记本共有4×2＝8(种)取法，取出的2本笔记本是相同颜色的方法有2种，所以取出的2本笔记本是相同颜色的概率P′＝＝，所以取出的2本笔记本是不同颜色的概率P＝1－＝.‎ ‎11．两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评，若批改成绩都是两位正整数，且十位数字都是5，则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为0.44.‎ 解析：用(x，y)表示两位教师的批改成绩，‎ 则(x，y)的所有可能情况有10×10＝100种．‎ 当x＝50时，y可取50,51,52，共3种可能；‎ 当x＝51时，y可取50,51,52,53，共4种可能；‎ 当x＝52,53,54,55,56,57时，y的取法均有5种，共30种可能；‎ 当x＝58时，y可取56,57,58,59，共4种可能；‎ 当x＝59时，y可取57,58,59，共3种可能．‎ 综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种，则由古典概型的概率公式可得所求概率P＝＝0.44.‎ 三、解答题 ‎12．(2020·合肥市调研抽测)2018年8月在重庆成功举办了首届“智博会”．某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108,72,72，现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取7人到智博会参观．‎ ‎(1)求从甲、乙、丙三个部门分别抽取的人数；‎ ‎(2)从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报，求这2人来自不同部门的概率．‎ 解：(1)抽取比例为7(108＋72＋72)＝136.‎ 所以应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎(2)7人分别记为A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2，‎ 从中随机抽取2人的所有可能情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2A3，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，‎ 11‎ C1C2，共21种．‎ 其中，2人来自不同部门的可能情况有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共16种．‎ 故所求事件的概率为.‎ ‎13．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果．‎ ‎(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．‎ 解：(1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．‎ ‎(2)不正确．理由如下：‎ 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．‎ ‎14．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ ‎ 支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A ‎27人 ‎3人 仅使用B ‎24人 ‎1人 ‎(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；‎ ‎(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；‎ ‎(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．‎ 解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30人，仅使用B的学生有24＋1＝25人，‎ A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．‎ 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．‎ 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.‎ ‎(2)记事件C为“‎ 11‎ 从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝＝0.04.‎ ‎(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．‎ 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.‎ 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：‎ P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．‎ 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：‎ 事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．‎ ‎15．(2020·东北三省四市一模)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人．为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人．甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]进行分组，得到下列统计图．‎ ‎(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75 min的人数．‎ ‎(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？‎ ‎(3)从第一组生产时间少于75 min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65 min的概率．‎ 解：(1)由题意得，第一组工人20人，其中在75 min内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人，‎ ‎∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为6×10＝60.‎ 第二组工人40人，其中在75 min内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，‎ ‎∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为30×10＝300.‎ 11‎ ‎(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为甲＝‎ ＝78(min)，‎ 第二组工人生产一件产品的平均时间为乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，‎ ‎∴甲>乙，∴乙车间工人的生产效率更高．‎ ‎(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min的工人有6人，其中生产时间少于65 min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65 min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表．‎ 抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，‎ 设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65 min”，‎ 则事件＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共6个，‎ ‎∴P(A)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎16．(2020·郑州市质量预测)2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：‎ 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 ‎40‎ p x 注射疫苗 ‎60‎ q y 总计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.‎ ‎(1)求2×2列联表中p，q，x，y的值．‎ ‎(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？‎ ‎(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．‎ 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：(1)由＝，得p＝60，所以q＝40，x＝100，y＝100.‎ 11‎ ‎(2)由K2＝，‎ 得K2＝＝8<10.828，‎ 所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．‎ ‎(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例32抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a，b，c表示，2只已注射疫苗，分别用D，E表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：‎ ‎(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(a，D，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，(b，D，E)，(c，D，E)，共10种．‎ 其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有：(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，共7种．‎ 所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.‎ ‎17．(2020·长春市质量监测)某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工月收入(单位：元)的频数分布表以及B企业员工月收入(单位：元)的统计图如下．‎ A企业员工月收入的频数分布表 月收入/元 人数 ‎[2 000,3000)‎ ‎5‎ ‎[3 000,4 000)‎ ‎10‎ ‎[4 000,5 000)‎ ‎20‎ ‎[5 000,6 000)‎ ‎42‎ ‎[6 000,7 000)‎ ‎18‎ ‎[7 000,8 000)‎ ‎3‎ ‎[8 000,9 000)‎ ‎1‎ ‎[9 000,10 000]‎ ‎1‎ B企业员工月收入的统计图 ‎　(1)若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工月收入不低于5 000元的概率．‎ 11‎ ‎(2)①若从A企业的月收入在[2 000,5 000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，则这2人月收入都不在[3 000,4 000)的概率是多少？‎ ‎②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业？并说明理由．‎ 解：(1)由题中B企业员工月收入的统计图知100人中月收入不低于5 000元的有68人，故所求概率为＝0.68.‎ ‎(2)①A企业月收入在[2 000,3 000)，[3 000,4 000)，[4 000，5 000)的人数比为124，则按分层抽样的方法抽取的7人中，月收入在[3 000,4 000)的人数为2，设月收入在[3 000,4 000)的2人分别为A，B，其余5人分别为a，b，c，d，e，从这7人中抽取2人共有21种情况，分别为(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，符合抽取的2人月收入都不在[3 000,4 000)的情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，故所求事件的概率为.‎ ‎②A企业员工的平均月收入为 ×(2 500×5＋3 500×10＋4 500×20＋5 500×42＋6 500×18＋7 500×3＋8 500×1＋9 500×1)＝5 260(元)，‎ B企业员工的平均月收入为 ×(2 500×2＋3 500×7＋4 500×23＋5 500×50＋6 500×16＋7 500×2)＝5 270(元)．‎ 参考答案1：选B企业，B企业员工的平均月收入高．‎ 参考答案2：选A企业，A企业员工的平均月收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8 000元以上的高收入是有可能的．‎ 参考答案3：选B企业，B企业员工的平均月收入高，且低收入人数少．‎ ‎(如有其他情况，只要理由充分，也可给分)‎ ‎18．(2020·江西省五校协作体联考)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为1至10分，随机调阅了A，B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：‎ A校样本数据条形图 B校样本数据统计表 11‎ 成绩/分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数/个 ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎21‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；‎ ‎(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15分的概率．‎ 解：(1)从A校样本数据的条形图可知，成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人．A校样本数据的均值为 A＝ ‎＝6(分)，‎ A校样本数据的方差为s＝×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5.‎ 从B校样本数据统计表可知，‎ B校样本数据的均值为 B＝ ‎＝6(分)，‎ B校样本数据的方差为s＝×[9×(4－6)2＋12×(5－6)2＋21×(6－6)2＋9×(7－6)2＋6×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.8.‎ 因为A＝B，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又s