高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第3课时学案北师大版选修4-51 4页

4 不等式的证明 第 3 课时 几何法、反证法 1．了解几何法的证明过程，并会用几何法证明简单的不等式． 2．掌握反证法，并会用反证法证明不等式． 1．几何法 通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为______． 【做一做 1】已知 x，y，z∈(0,1)．求证：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1． 2．反证法 反证法证不等式是：先假设所要证的不等式不成立，也就是说不等式的反面成立，以此 为出发点，结合已知条件，进行推理论证，最后推出矛盾的结果，从而断定假设错误，因而 确定要证的不等式成立． 它的步骤是：(1)作出否定____的假设；(2)进行推理，导出____；(3)否定假设，肯定 ____． 【做一做 2】如果 a＞b＞0，证明1 a2＜1 b2． 答案： 1．几何法 【做一做 1】分析：构造一个边长为 1 的正三角形，利用三角形的面积关系来证明． 证明：如图，构造正三角形 ABC，设其边长为 1，BD＝x，AF＝y，CE＝z，则根据面积关 系 S△ABC＞S△BDF＋S△DCE＋S△AEF，得 1·1·sin 60°＞x(1－y)sin 60°＋y(1－z)sin 60°＋z(1 －x)sin 60°． 整理，得 x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1． 即得证． 2．(1)结论 (2)矛盾 (3)结论 【做一做 2】分析：先假设1 a2≥1 b2成立，从假设出发，推出矛盾． 证明：假设1 a2≥1 b2，则1 a2－1 b2＝b2－a2 a2b2 ≥0． ∵a＞b＞0，∴a2b2＞0，b2－a2＝(b＋a)(b－a)≥0． ∵a＞b＞0，∴b＋a＞0， ∴b－a≥0，即 b≥a． 这与已知 a＞b 矛盾． ∴假设不成立，即1 a2＜1 b2成立． 1．反证法中的数学语言 剖析：反证法适宜证明“存在性问题”，“唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至 多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面 列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设． 常见 词语 至少有 一个 至多有 一个 唯一 一个 不是 全 都是 否定 假设 一个也 没有 有两个或 两个以上 没有或有 两个以上 是 不全 不都是 对数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设 的否定也可以举一些特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此． 2．用反证法证明不等式 剖析：(1)用反证法证明，就是从结论的反面出发，要求结论反面的情况只有有限多种， 然后证明这种反面的结论都是不可能的，是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾 的． (2)要证不等式 M＞N，先假设 M≤N，由题设及其他性质推出矛盾，从而肯定 M＞N 成立．凡 涉及的证明不等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、“至少”等字句时，可考虑 使用反证法． (3)用反证法证明不等式要把握三点： ①必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能， 证明都是不完全的． ②反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． ③推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有 的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等等，但推导出的矛盾必须是明显的． 题型一 用几何法证明不等式 【例 1】已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证： a2－ab＋b2＋ b2－bc＋c2≥ a2＋ac＋c2，当 且仅当1 b ＝1 a ＋1 c 时取等号． 分析：从三个根式的结构特点，容易联想到余弦定理，于是可构造图形，利用余弦定理 来证明． 反思：利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形，先要研究所证不等式两边的结构 特点，再把其中的字母当作图形的边长，最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不 等式． 题型二 用反证法证明不等式 【例 2】已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＞2．求证：1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于 2． 分析：由于题目的结论比较复杂，讨论起来比较繁琐，宜采用反证法． 反思：从“正难则反”的角度考虑，即要证明不等式 A＞B，先假设 A≤B．由题设及其 他性质推出矛盾，从而肯定 A＞B．凡涉及到证明不等式为否定命题，唯一性命题式含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反证法． 答案： 【例 1】证明：如图，作 OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB＝∠BOC＝60°，则∠AOC＝120°， AB＝ a2－ab＋b2，BC＝ b2－bc＋c2，AC＝ a2＋ac＋c2． 由几何知识知，AB＋BC≥AC， ∴ a2－ab＋b2＋ b2－bc＋c2≥ a2＋ac＋c2， 当且仅当 A，B，C 三点共线时等号成立． 此时有 1 2 absin 60°＋1 2 bcsin 60°＝1 2 acsin 120°， 即 ab＋bc＝ac． 故当且仅当1 b ＝1 a ＋1 c 时，取得等号． 【例 2】证明：假设1＋b a ，1＋a b 都不小于 2， 即1＋b a ≥2，1＋a b ≥2． ∵a＞0，b＞0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b． 两式相加，得 1＋b＋1＋a≥2(a＋b)． 即 a＋b≤2，这与已知 a＋b＞2 矛盾． 故假设不成立． 因此，1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于 2． 1 若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]内至少有一个值 c，使 f(c)＞0，则实数 p 的取值范围是( )． A． －3，3 2 B． －2，1 5 C．(－1,0) D． －1 2 ，2 3 2 若△ABC 的三边 a，b，c 的倒数成等差数列，则( )． A．∠B＝π 2 B．∠B＜π 2 C．∠B＞π 2 D．∠B＝π 3 3 设 a，b∈R，给出下列条件： ①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1． 其中能推出“a，b 中至少有一个实数大于 1”的条件是__________． 4 已知 a，b，c＞0，a＋b＞c．求证： a a＋1 ＋ b b＋1 ＞ c c＋1 ． 答案： 1．A 如果在[－1,1]内没有满足 f(c)＞0 的数 c， 则 f －1≤ 0， f 1≤ 0， 解得 p≤－1 2 或 p≥1， p≤－3 或 p≥3 2 . ∴此时 p 的取值范围是 p|p≤－3 或 p≥3 2 ，取补集即得所求实数 p 的范围，即 p|－3