高中数学必修2教案：第二章 2_1_2空间中直线与直线之间的位置关系 14页

‎2．1.2　空间中直线与直线之间的位置关系 ‎[学习目标]　1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题．‎ ‎[知识链接]‎ 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种．‎ ‎(1)若从公共点的数目分，可以分为 ‎①只有一个公共点——相交．‎ ‎②没有公共点 ‎(2)若从平面的基本性质分，可以分为 ‎①在同一平面内 ‎②不同在任何一个平面内——异面．‎ ‎2．异面直线 ‎(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．‎ ‎(2)异面直线的画法 ‎3．平行公理(公理4)‎ 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性．‎ 符号表述：⇒a∥c.‎ ‎4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎5．异面直线所成的角 ‎(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]．‎ ‎(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.‎ 要点一　空间两条直线位置关系的判断 例1　如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：‎ ‎①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；‎ ‎②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；‎ ‎③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；‎ ‎④直线AB与直线B1C的位置关系是________．‎ 答案　①平行　②异面　③相交　④异面 解析　直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．‎ 规律方法　1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．‎ ‎2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．‎ 跟踪演练1　(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(　　)‎ A．a∥c B．a、c是异面直线 C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面 ‎(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．‎ ‎(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.‎ 要点二　公理4、等角定理的应用 例2　在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，‎ 求证：(1)EF綊E1F1；‎ ‎(2)∠EA1F＝∠E1CF1.‎ 证明　(1)连接BD，B1D1，‎ 在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，‎ 所以EF綊BD.‎ 同理，E1F1綊B1D1.‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1綊DD1，‎ 所以四边形BB1D1D为平行四边形，‎ 因此，BD綊B1D1，‎ 又EF綊BD，E1F1綊B1D1，‎ 所以EF綊E1F1.‎ ‎(2)取A1B1的中点M，‎ 连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，‎ 又B1C1綊BC，‎ 所以MF1綊BC.‎ 所以四边形BMF1C为平行四边形，‎ 因此，BM∥CF1.‎ 因为A1M＝A1B1，BE＝AB，‎ 且A1B1綊AB，‎ 所以A1M綊BE，‎ 所以四边形BMA1E为平行四边形，‎ 则BM∥A1E.‎ 因此，CF1∥A1E，‎ 同理可证A1F∥CE1.‎ 因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.‎ 规律方法　1.空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．‎ ‎2．求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．‎ 跟踪演练2　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．‎ ‎(1)求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.‎ 证明　(1)在△ABD中，‎ ‎∵E，H分别是AB，AD的中点，‎ ‎∴EH∥BD.‎ 同理FG∥BD，则EH∥FG.‎ 故E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.‎ 又∵四边形EFGH是矩形，‎ ‎∴EH⊥GH.故AC⊥BD.‎ 要点三　求异面直线所成的角 例3　如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小．‎ 解　如图，取BD的中点M，连接EM、FM.‎ 因为E、F分别是AB、CD的中点，‎ 所以EM綊AD，FM綊BC，‎ 则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．‎ AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，‎ 在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，‎ 在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，‎ 则sin∠EMH＝，‎ 于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.‎ 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.‎ 规律方法　1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．‎ ‎2．求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线．(2)证明：用定义证明前一步的角为所求．(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．‎ 跟踪演练3　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，‎ ‎(1)AC和DD1所成的角是________；‎ ‎(2)AC和D1C1所成的角是________；‎ ‎(3)AC和B1D1所成的角是________；‎ ‎(4)AC和A1B所成的角是________．‎ 答案　(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60°‎ 解析　(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.‎ ‎(2)∵D1C1∥DC，∴∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.‎ ‎(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.‎ ‎(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，∴AC和A1B所成的角是60°.‎ ‎1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)‎ A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 答案　D 解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．‎ ‎2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)‎ A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交 答案　B 解析　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.‎ ‎3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)‎ A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 答案　A 解析　我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．‎ ‎4．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是(　　)‎ A．MN≥(AC＋BD)‎ B．MN≤(AC＋BD)‎ C．MN＝(AC＋BD)‎ D．MN<(AC＋BD)‎ 答案　D 解析　如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝AC，‎ NE＝BD，‎ 所以ME＋NE＝(AC＋BD)．‎ 在△MNE中，有ME＋NE>MN，‎ 所以MN<(AC＋BD)．‎ ‎5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________．‎ 答案　 解析　设棱长为1，因为A1B1∥C1D1，‎ 所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角．‎ 在△AED1中，‎ cos∠AED1＝＝＝.‎ ‎1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．‎ ‎2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．‎ 一、基础达标 ‎1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)‎ A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 答案　D 解析　可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．‎ ‎2．a、b为异面直线是指 ‎①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立．(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②③ D．①④‎ 答案　D 解析　②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．‎ ‎3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　)‎ 答案　C 解析　易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．‎ ‎4．下面四种说法：‎ ‎①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；‎ ‎②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；‎ ‎③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；‎ ‎④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 答案　D 解析　若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．‎ ‎5. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°‎ 答案　C 解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，‎ 故选C.‎ ‎6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：‎ ‎①∠BAC＝∠B′A′C′；‎ ‎②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；‎ ‎③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.‎ 一定成立的是________．‎ 答案　③‎ 解析　∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，‎ ‎∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.‎ ‎7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．‎ 解　如图，连接BD、A1D，‎ ‎∵ABCDA1B1C1D1是正方体，‎ ‎∴DD1綊BB1，‎ ‎∴四边形DBB1D1为平行四边形，‎ ‎∴BD∥B1D1.‎ ‎∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，‎ ‎∴A1B＝BD＝A1D，‎ ‎△A1BD是正三角形，‎ ‎∴∠A1BD＝60°.‎ ‎∵∠A1BD是锐角，‎ ‎∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，‎ ‎∴A1B与B1D1所成的角为60°.‎ 二、能力提升 ‎8．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 答案　C 解析　连接BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．‎ 在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，‎ ‎∴∠A1BC1＝60°.‎ 故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.‎ ‎9．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于(　　)‎ A．15° B．30° C．75° D．15°或75°‎ 答案　D 解析　如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綊AB，FG綊CD，‎ ‎∴∠EGF是AB和CD所成的角或是其补角．‎ ‎∵AB＝CD，∴EG＝GF.‎ 当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，‎ 当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.‎ ‎10．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：‎ ‎①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.‎ 以上结论中正确的是________(填序号)．‎ 答案　①③‎ 解析　‎ 把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．‎ ‎11．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．‎ 解　取AC的中点F，连接EF，BF，‎ 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，‎ ‎∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．‎ 在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，‎ 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.‎ 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.‎ 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.‎ 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，‎ ‎∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.‎ 三、探究与创新 ‎12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．‎ 解　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.‎ ‎∵E是AA1的中点，‎ ‎∴EF∥A1B.‎ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，‎ A1D1∥BC，A1D1＝BC，‎ ‎∴四边形A1BCD1是平行四边形．‎ ‎∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.‎ ‎∴E，F，C，D1四点共面．‎ ‎∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，‎ ‎∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.‎ ‎∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.‎ ‎13. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且＝＝＝.‎ ‎(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎(1)证明　∵AA′∩BB′＝O，‎ 且＝＝，‎ ‎∴AB∥A′B′，‎ 同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.‎ ‎(2)解　∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，‎ ‎∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，‎ ‎∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，‎ ‎∴＝2＝.‎